Аполлонические круги - Apollonian circles

Некоторые аполлонические круги. Каждый синий круг пересекает каждый красный круг под прямым углом. Каждый красный круг проходит через две точки, C и D, и каждый синий кружок разделяет две точки.

Аполлонические круги две семьи круги такой, что каждый круг в первом семействе пересекает каждый кружок во втором семействе ортогонально, наоборот. Эти круги составляют основу биполярные координаты. Они были обнаружены Аполлоний Пергский, известный Греческий геометр.

Определение

Аполлонические круги определяются двумя разными способами: отрезок обозначенный CD.

Каждый кружок в первом семействе (синие кружки на рисунке) связан с положительным настоящий номер р, и определяется как геометрическое место точек Икс такое, что отношение расстояний от Икс к C и чтобы D равно р,

{displaystyle left {Xmid {frac {d (X, C)} {d (X, D)}} = right}.}

Для значений р близка к нулю, соответствующая окружность близка к C, а для значений р близка к ∞, соответствующая окружность близка к D; для промежуточного значения р = 1, окружность вырождается в прямую, серединный перпендикуляр к CD. Уравнение, определяющее эти круги как геометрическое место, можно обобщить, чтобы определить Круги Ферма – Аполлония больших наборов взвешенных точек.

Каждый круг во втором семействе (красные круги на рисунке) связан с углом θ, и определяется как геометрическое место точек Икс так что вписанный угол CXD равно θ,

{displaystyle left {Xmid; C {hat {X}} D; = heta ight}.}

Сканирование θ от 0 до π генерирует набор всех окружностей, проходящих через две точки C и D.

Две точки, где пересекаются все красные кружки, - это ограничивающие точки пар кругов в синей семье.

Биполярные координаты

Данный синий круг и данный красный круг пересекаются в двух точках. Для получения биполярного координаты, требуется метод, чтобы указать, какая точка является правильной. Изоптическая дуга - это геометрическое место точек Икс что видит точки C и D под заданным углом ориентированных векторов, т.е.

{displaystyle isopt (heta) = {Xmid angle ({overrightarrow {XC}}, {overrightarrow {XD}}) = heta + 2kpi}.}.

Такая дуга содержится в красном круге и ограничена точками C и D. Оставшаяся часть соответствующего красного круга - это ${displaystyle isopt (heta + pi)}$ . Когда нам действительно нужен весь красный круг, необходимо использовать описание с использованием ориентированных углов прямых линий.

{displaystyle {m {full; red; circle}} = {Xmid angle ({overrightarrow {XC}}, {overrightarrow {XD}}) = heta + kpi}}

Карандаши кругов

Обе семьи аполлонических кругов карандаши кругов. Каждый определяется двумя любыми его членами, называемыми генераторы карандаша. В частности, один из них эллиптический карандаш (красные круги на рисунке), который определяется двумя образующими, которые проходят друг через друга точно два точки (C и D). Другой - это гиперболический карандаш (синее семейство кругов на рисунке), который определяется двумя образующими, которые не пересекаются друг с другом в любой точка.^[1]

Радикальная ось и центральная линия

Любые два из этих кружков в карандаше имеют одинаковые радикальная ось, и все кружки в карандаше имеют коллинеарен центры. Любые три или более круга из одной семьи называются коаксиальные круги или же коаксиальные круги.^[2]

Эллиптический пучок окружностей, проходящих через две точки C и D (набор красных кружков на рисунке) имеет линию CD как его коренная ось. Центры окружностей этого карандаша лежат на серединном перпендикуляре к CDГиперболический пучок, определяемый точками C и D (синие кружки) имеет свою радикальную ось на серединном перпендикуляре прямой CD, и весь его круг с центром на линии CD.

Инверсная геометрия, ортогональное пересечение и системы координат

Инверсия круга преобразует плоскость таким образом, что круги превращаются в круги, а пучки кругов - в пучки кругов. Тип пучка сохраняется: обращение эллиптического пучка - это другой эллиптический пучок, обращение гиперболического пучка - это еще один гиперболический пучок, а обращение параболического пучка - это еще один параболический пучок.

Относительно легко показать с помощью инверсии, что в аполлонических кругах каждый синий круг пересекает каждый красный круг ортогонально, т.е. прямой угол. Инверсия синих аполлонических окружностей относительно окружности с центром в точке C приводит к пучку концентрических окружностей с центром на изображении точки D. Та же самая инверсия преобразует красные круги в набор прямых линий, каждая из которых содержит изображение D. Таким образом, эта инверсия преобразует биполярная система координат определяемый аполлоническими кругами в полярная система координат Очевидно, трансформированные карандаши встречаются под прямым углом. Поскольку инверсия - это конформное преобразование, он сохраняет углы между кривыми, которые он преобразовывает, поэтому исходные аполлонические окружности также пересекаются под прямым углом.

В качестве альтернативы,^[3] свойство ортогональности двух пучков следует из определяющего свойства радикальной оси, что из любой точки Икс на коренной оси карандаша п длины касательных от Икс к каждому кругу в п все равны. Отсюда следует, что круг с центром в Икс с длиной, равной этим касательным, пересекает все окружности п перпендикулярно. Такая же конструкция может применяться для каждого Икс на радикальной оси п, образуя еще один пучок кругов, перпендикулярных п.

В более общем смысле, для каждого пучка кругов существует единственный пучок, состоящий из кругов, перпендикулярных первому пучку. Если один карандаш эллиптический, то его перпендикулярный пучок гиперболический, и наоборот; в этом случае два карандаша образуют набор аполлонических кругов. Пучок окружностей, перпендикулярных параболическому карандашу, тоже параболический; он состоит из окружностей, имеющих одну и ту же общую точку касания, но с перпендикулярной касательной в этой точке.^[4]

Смотрите также

Примечания

^ Швердтфегер (1979, стр. 8–10).
^ MathWorld использует «коаксиальный», а Акопян и Заславский (2007) предпочитаю «коаксиальный».
^ Акопян и Заславский (2007), п. 59.
^ Швердтфегер (1979, pp. 30–31, теорема A).

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Коаксиальные круги». MathWorld.
Дэвид Б. Суровски: Высшая математика для старших классов. п. 31 год

[1] Швердтфегер (1979, стр. 8–10).

[2] MathWorld использует «коаксиальный», а Акопян и Заславский (2007) предпочитаю «коаксиальный».

[3] Акопян и Заславский (2007), п. 59.

[4] Швердтфегер (1979, pp. 30–31, теорема A).

[1]

[2]

[3]

[4]