Метод истощения - Method of exhaustion

В этой статье рассказывается о методе определения площади фигуры с помощью ограничений. О методе доказательства см. Доказательство истощением.

В метод истощения (латинский: метод исчерпания; Французский: méthode des anciens) - метод нахождения площадь из форма к начертание внутри него последовательность из полигоны чей области сходиться в область содержания форма. Если последовательность построена правильно, разница в площади между п-й многоугольник и содержащая его фигура станут сколь угодно малыми при п становится большим. Поскольку эта разница становится сколь угодно малой, возможные значения площади формы систематически «исчерпываются» областями нижней границы, последовательно устанавливаемыми членами последовательности.

Метод исчерпания обычно требует формы доказательство от противного, известный как сокращение до абсурда. Это сводится к нахождению области области путем ее первого сравнения с площадью второй области (которая может быть «исчерпана», так что ее площадь становится сколь угодно близкой к истинной области). Доказательство включает предположение, что истинная область больше, чем вторая область, и затем доказательство того, что это утверждение ложно, а затем предположение, что оно меньше, чем вторая область, и доказательство этого утверждения также ложным.

История

Григорий Сент-Винсент

Идея зародилась в конце V века до нашей эры. Антифон, хотя не совсем понятно, насколько хорошо он это понял.[1] Теория была подтверждена несколькими десятилетиями позже Евдокс Книдский, который использовал его для расчета площадей и объемов. Позже он был изобретен заново в Китай к Лю Хуэй в 3 веке нашей эры, чтобы найти площадь круга.[2] Впервые этот термин был использован в 1647 г. Григорий Сент-Винсент в Опус геометрический квадратный, круглая и секционная.

Метод истощения рассматривается как предшественник методов исчисление. Развитие аналитическая геометрия и строгий интегральное исчисление в 17-19 веках включили метод исчерпания, так что он больше не используется явно для решения проблем. Важным альтернативным подходом был Принцип Кавальери, также называемый метод неделимых которые в конечном итоге превратились в бесконечно малый исчисление Роберваль, Торричелли, Уоллис, Лейбниц, и другие.

Евклид

Евклид использовал метод исчерпания, чтобы доказать следующие шесть утверждений в 12-й книге своего Элементы.

Предложение 2.: Площадь кругов пропорциональна квадрату их диаметров.[3]

Предложение 5.: Объемы двух тетраэдров одинаковой высоты пропорциональны площадям их треугольных оснований.[4]

Предложение 10: Объем конуса составляет треть объема соответствующего цилиндра, имеющего такое же основание и высоту.[5]

Предложение 11.: Объем конуса (или цилиндра) одинаковой высоты пропорционален площади основания.[6]

Предложение 12: Объем похожего на другой конуса (или цилиндра) пропорционален кубу отношения диаметров оснований.[7]

Предложение 18.: Объем сферы пропорционален кубу ее диаметра.[8]

Архимед

Основная статья: число Пи
Архимед использовал метод истощения для вычисления площади внутри круга.

Архимед использовал метод истощения как способ вычисления площади внутри круга путем заполнения круг с многоугольник большей площади и большего количества стороны. Частное, образованное площадью этого многоугольника, деленной на квадрат радиуса круга, можно сделать произвольно близким к π, поскольку количество сторон многоугольника становится большим, доказывая, что площадь внутри круга радиуса r равна πr2, π определяется как отношение длины окружности к диаметру (C / d).

Он также предоставил оценки 3 +10/71 < π < 3 + 10/70, (давая диапазон 1/497) путем сравнения периметров круга с периметрами вписанных и описанных 96-сторонних правильных многоугольников.

Другие результаты, полученные им с помощью метода истощения, включали:[9]

  • Площадь, ограниченная пересечением прямой и параболы, составляет 4/3 площади треугольника с таким же основанием и высотой;
  • Площадь эллипса пропорциональна прямоугольнику, стороны которого равны его большой и малой осям;
  • Объем сферы в 4 раза больше, чем у конуса с основанием того же радиуса и высотой, равной этому радиусу;
  • Объем цилиндра, высота которого равна его диаметру, составляет 3/2 объема шара такого же диаметра;
  • Площадь ограничена одним спираль вращение и прямая составляют 1/3 от окружности с радиусом, равным длине отрезка прямой;
  • Использование метода истощения также привело к успешной оценке бесконечный геометрический ряд (в первый раз).

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ «Антифон (480 г. до н.э. - 411 г. до н.э.)». www-history.mcs.st-andrews.ac.uk.
  2. ^ Дун, Лю. 1966. "Сравнение исследований кругов Архимеда и Лю Хуэя. "Стр. 279–87 в Китайские исследования в истории и философии науки и техники 179, под редакцией Д. Фана и Р. С. Коэна. Kluwer Academic Publishers. ISBN  0-7923-3463-9. п. 279.
  3. ^ "Элементы Евклида, книга XII, предложение 2". aleph0.clarku.edu.
  4. ^ "Элементы Евклида, книга XII, предложение 5". aleph0.clarku.edu.
  5. ^ "Элементы Евклида, книга XII, предложение 10". aleph0.clarku.edu.
  6. ^ "Элементы Евклида, книга XII, предложение 11". aleph0.clarku.edu.
  7. ^ "Элементы Евклида, книга XII, предложение 12". aleph0.clarku.edu.
  8. ^ "Элементы Евклида, книга XII, предложение 18". aleph0.clarku.edu.
  9. ^ Смит, Дэвид Э (1958). История математики. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  0-486-20430-8.