Метод механических теорем - The Method of Mechanical Theorems

Метод механических теорем (Греческий: Περὶ μηχανικῶν θεωρημάτων πρὸς Ἐρατοσθένη ἔφοδος), также называемый Метод, считается одним из основных сохранившихся произведений древнегреческий эрудит Архимед. Метод принимает форму письма Архимеда к Эратосфен,^[1] главный библиотекарь Библиотека Александрии, и содержит первое подтвержденное явное использование неделимые (иногда называемый бесконечно малые ).^[2][3] Первоначально считалось, что работа утеряна, но в 1906 году была обнаружена заново в знаменитом здании. Архимед Палимпсест. Палимпсест включает описание Архимеда «механического метода», названного так потому, что он опирается на закон рычага, который впервые продемонстрировал Архимед, а центр массы (или же центроид ), которые он нашел для многих особых форм.

Архимед не признавал метод неделимых как часть строгой математики и поэтому не публиковал свой метод в официальных трактатах, содержащих результаты. В этих трактатах он доказывает те же теоремы. истощение, нахождение строгих оценок сверху и снизу, которые сходятся к требуемому ответу. Тем не менее именно механический метод был тем, что он использовал для открытия соотношений, которым он позже дал строгие доказательства.

Площадь параболы

Чтобы объяснить метод Архимеда сегодня, удобно использовать немного декартовой геометрии, хотя в то время это, конечно, было недоступно. Его идея состоит в том, чтобы использовать закон рычага для определения площадей фигур по известному центру масс других фигур. Самый простой пример на современном языке - это область параболы. Архимед использует более элегантный метод, но на декартовом языке его метод вычисляет интеграл

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} x ^ {2} , dx = { frac {1} {3}},}$

что сейчас легко проверить с помощью elementary интегральное исчисление.

Идея состоит в том, чтобы механически сбалансировать параболу (изогнутая область, интегрированная выше) с определенным треугольником, сделанным из того же материала. Парабола - это область в Икс-у самолет между Иксось и у = Икс² в качестве Икс изменяется от 0 до 1. Треугольник - это область в Икс-у самолет между Икс-ось и линия у = Икс, также как Икс варьируется от 0 до 1.

Разрежьте параболу и треугольник на вертикальные срезы, по одному для каждого значенияИкс. Представьте себе, что Икс- ось рычажная, с точкой опоры наИкс = 0. Значение закон рычага заявляет, что два объекта на противоположных сторонах точки опоры будут уравновешивать, если у каждого из них одинаковое крутящий момент, где крутящий момент объекта равен его весу, умноженному на расстояние до точки опоры. Для каждого значенияИкс, срез треугольника в позиции x имеет массу, равную его высотеИкс, и находится на расстоянииИкс от точки опоры; таким образом, он уравновесил бы соответствующий кусок параболы высотой Икс², если последние были перемещены в Икс = −1, на расстоянии 1 по другую сторону от оси.

Поскольку каждая пара срезов уравновешивается, перемещение всей параболы к Икс = −1 уравновесит весь треугольник. Это означает, что если исходная неразрезанная парабола висит на крючке за острие Икс = −1 (так что вся масса параболы прикреплена к этой точке), он уравновесит треугольник, расположенный между Икс = 0 иИкс = 1.

Центр масс треугольника может быть легко найден следующим методом, также принадлежащим Архимеду. Если средняя линия проводится от любой одной из вершин треугольника к противоположному краю E, треугольник будет балансировать на медиане, рассматриваемой как точка опоры. Причина в том, что если треугольник разделен на бесконечно малые отрезки, параллельные E, каждый сегмент имеет одинаковую длину на противоположных сторонах медианы, поэтому баланс следует симметрии. Этот аргумент легко сделать строгим, если истощение используя маленькие прямоугольники вместо бесконечно малых линий, и это то, что Архимед делает в О равновесии плоскостей.

Таким образом, центр масс треугольника должен находиться в точке пересечения медиан. Для рассматриваемого треугольника одна медиана - это линия у = Икс/ 2, а вторая медиана - это линия у = 1 − Икс. Решая эти уравнения, мы видим, что пересечение этих двух медиан находится выше точки Икс = 2/3, так что суммарное воздействие треугольника на рычаг такое, как если бы вся масса треугольника давила на эту точку (или свисала с нее). Общий крутящий момент, создаваемый треугольником, равен его площади 1/2, умноженной на расстояние 2/3 его центра масс от точки опоры. Икс = 0. Этот крутящий момент 1/3 уравновешивает параболу, которая находится на расстоянии -1 от точки опоры. Следовательно, площадь параболы должна быть 1/3, чтобы дать ей противоположный крутящий момент.

Этот тип метода может использоваться, чтобы найти площадь произвольного участка параболы, и аналогичные аргументы могут использоваться, чтобы найти интеграл любой степени Икс, хотя без алгебры высшие степени усложняются. Архимед дошел только до интеграла Икс³, который он использовал для нахождения центра масс полушария, а в другой работе - центра масс параболы.

Первое предложение в палимпсесте

Рассмотрим парабола на рисунке справа. Выберите две точки на параболе и назовите их А и B.

Предположим, что отрезок AC параллельна оси симметрии параболы. Далее предположим, что отрезок прямой до н.э лежит на линии, которая касательная к параболе на BПервое предложение гласит:

Площадь треугольника ABC ровно в три раза больше площади, ограниченной параболой и секущая линия AB.

Доказательство:

Позволять D быть серединой AC. Постройте отрезок линии JB через D, где расстояние от J к D равно расстоянию от B к D. Будем думать о сегменте JB как «рычаг» с D как его точка опоры. Как ранее показал Архимед, центр масс треугольника находится в точке я на «рычаге», где DI :БД = 1: 3. Следовательно, достаточно показать, что если весь вес внутренней части треугольника лежит в я, а весь вес сечения параболы при J, рычаг находится в равновесии.

Рассмотрим бесконечно малое поперечное сечение треугольника, заданное отрезком ОН, где точка ЧАС лежит на до н.э, смысл E лежит на AB, и ОН параллельна оси симметрии параболы. Назовите пересечение ОН и парабола F и пересечение ОН и рычаг грамм. Если весь вес треугольника лежит на я, он оказывает такой же крутящий момент на рычаг JB как это происходит на ОН. Таким образом, мы хотим показать, что если вес поперечного сечения ОН покоится на грамм и вес сечения EF секции параболы опирается на J, то рычаг находится в равновесии. Другими словами, достаточно показать, что EF :GD = EH :JD. Но это обычное следствие уравнения параболы.Q.E.D.

Объем шара

Опять же, чтобы осветить механический метод, удобно использовать немного координатной геометрии. Если сфера радиуса 1 помещена с центром в Икс = 1, радиус вертикального сечения ${ displaystyle rho _ {S}}$ в любом Икс от 0 до 2 определяется по следующей формуле:

${ displaystyle rho _ {S} (x) = { sqrt {x (2-x)}}.}$

Масса этого поперечного сечения для балансировки на рычаге пропорциональна площади:

${ displaystyle pi rho _ {S} (x) ^ {2} = 2 pi x- pi x ^ {2}.}$

Затем Архимед рассмотрел возможность поворота треугольной области между у = 0 и у = Икс и Икс = 2 на Икс-у самолет вокруг Иксось, чтобы сформировать конус. Поперечное сечение этого конуса представляет собой окружность радиуса ${ displaystyle rho _ {C}}$

${ Displaystyle rho _ {C} (х) = х}$

а площадь этого поперечного сечения равна

${ displaystyle pi rho _ {C} ^ {2} = pi x ^ {2}.}$

Итак, если кусочки конуса и сферы обе должны быть взвешены вместе, общая площадь поперечного сечения составляет:

${ Displaystyle М (х) = 2 пи х.}$

Если два среза разместить вместе на расстоянии 1 от точки опоры, их общий вес будет точно уравновешен кругом площади ${ displaystyle 2 pi}$ На расстоянии Икс от точки опоры с другой стороны. Это означает, что конус и сфера вместе, если весь их материал был перемещен в х = 1, сбалансировал бы цилиндр с радиусом основания 1 и длиной 2 с другой стороны.

В качестве Икс от 0 до 2, центр тяжести цилиндра будет находиться на расстоянии 1 от точки опоры, поэтому можно считать, что весь вес цилиндра находится в положении 1. Условие баланса гарантирует, что объем конуса плюс объем шара равен объему цилиндра.

Объем цилиндра - это площадь поперечного сечения, ${ displaystyle 2 pi}$ умножить на высоту, которая равна 2, или ${ displaystyle 4 pi}$. Архимед мог также найти объем конуса, используя механический метод, поскольку, говоря современным языком, задействованный интеграл точно такой же, как и интеграл для площади параболы. Объем конуса равен 1/3 площади основания, умноженной на высоту. Основание конуса представляет собой круг радиуса 2 с площадью ${ displaystyle 4 pi}$, а высота равна 2, поэтому площадь ${ displaystyle 8 pi / 3}$. Вычитание объема конуса из объема цилиндра дает объем сферы:

${ displaystyle V_ {S} = 4 pi - {8 over 3} pi = {4 over 3} pi.}$

Зависимость объема сферы от радиуса очевидна из масштабирования, хотя в то время это было нетривиально сделать строго. Затем метод дает знакомую формулу для объем шара. Масштабируя размеры линейно, Архимед легко расширил объемный результат до сфероиды.

Аргумент Архимеда почти идентичен приведенному выше аргументу, но его цилиндр имел больший радиус, так что конус и цилиндр висели на большем расстоянии от точки опоры. Он считал этот аргумент своим величайшим достижением, прося, чтобы на его надгробной плите была выгравирована соответствующая фигура сбалансированной сферы, конуса и цилиндра.

Площадь поверхности шара

Чтобы найти площадь поверхности сферы, Архимед утверждал, что точно так же, как площадь круга можно представить себе как бесконечное множество бесконечно малых прямоугольных треугольников, идущих по окружности (см. Измерение круга ), объем сферы можно представить как разделенный на множество конусов с высотой, равной радиусу, и основанием на поверхности. Все конусы имеют одинаковую высоту, поэтому их объем равен 1/3 площади основания, умноженной на высоту.

Архимед утверждает, что общий объем сферы равен объему конуса, основание которого имеет ту же площадь поверхности, что и сфера, а высота - радиус. Нет никаких подробностей для аргументации, но очевидная причина состоит в том, что конус можно разделить на бесконечно малые конусы, разделив основную площадь наверх, и каждый конус вносит свой вклад в соответствии со своей основной площадью, точно так же, как и в сфере. .

Пусть поверхность шара будетS. Объем конуса с площадью основания S и высота р является ${ displaystyle scriptstyle Sr / 3}$, который должен равняться объему сферы: ${ displaystyle scriptstyle 4 pi r ^ {3} / 3}$. Следовательно, площадь поверхности шара должна быть ${ displaystyle 4 pi r ^ {2}}$, или «четырехкратный наибольший круг». Архимед строго доказывает это в На сфере и цилиндре.

Криволинейные формы с рациональными объемами

Одна из замечательных особенностей Метод заключается в том, что Архимед находит две формы, определяемые секциями цилиндров, объем которых не включаетπ, несмотря на то, что формы имеют криволинейные границы. Это центральный момент исследования - некоторые криволинейные формы можно исправить с помощью линейки и циркуля, так что существуют нетривиальные рациональные отношения между объемами, определяемыми пересечениями геометрических тел.

Архимед подчеркивает это в начале трактата и предлагает читателю попытаться воспроизвести результаты каким-либо другим методом. В отличие от других примеров, объем этих форм не вычисляется строго ни в одной из его других работ. Из фрагментов палимпсеста видно, что Архимед действительно вписывал и описывал формы, чтобы доказать строгие границы объема, хотя детали не сохранились.

Две формы, которые он рассматривает, представляют собой пересечение двух цилиндров под прямым углом ( бицилиндр ), которая является областью (Икс, у, z) подчиняясь:

(2 цил) ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} <1, ; ; ; y ^ {2} + z ^ {2} <1,}$

и круговая призма, которая представляет собой область, подчиняющуюся:

(CirP) ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} <1, ; ; ; ; ; 0$

Обе задачи имеют нарезку, которая дает простой интеграл для механического метода. Для круглой призмы разрежьте Икс-оси на ломтики. Регион в у-z плоскость в любом x - это внутренность прямоугольного треугольника со стороной ${ displaystyle scriptstyle { sqrt {1-x ^ {2}}}}$ чья площадь ${ displaystyle scriptstyle {1 over 2} (1-x ^ {2})}$, чтобы общий объем был:

(CirP) ${ displaystyle displaystyle int _ {- 1} ^ {1} {1 over 2} (1-x ^ {2}) , dx}$

которые легко исправить механическим способом. Добавив к каждому треугольному сечению сечение треугольной пирамиды площадью ${ Displaystyle scriptstyle х ^ {2} / 2}$ уравновешивает призму с постоянным поперечным сечением.

Для пересечения двух цилиндров разрез теряется в рукописи, но его можно очевидным образом восстановить параллельно с остальной частью документа: если плоскость x-z является направлением среза, уравнения для цилиндра дают, что ${ Displaystyle scriptstyle х ^ {2} , <, 1-y ^ {2}}$ пока ${ displaystyle scriptstyle z ^ {2} , <, 1-y ^ {2}}$, который определяет область, которая представляет собой квадрат в Икс-z плоскость длины стороны ${ displaystyle scriptstyle 2 { sqrt {1-y ^ {2}}}}$, чтобы общий объем был:

(2 цил) ${ displaystyle displaystyle int _ {- 1} ^ {1} 4 (1-y ^ {2}) , dy.}$

И это тот же интеграл, что и в предыдущем примере.

Другие предложения в палимпсесте

Ряд предложений геометрии доказывается в палимпсесте аналогичными аргументами. Одна из теорем состоит в том, что расположение центра масс полушарие находится на 5/8 пути от полюса к центру сферы. Эта проблема примечательна тем, что вычисляет кубический интеграл.

Смотрите также

• Архимед Палимпсест
• Метод неделимых
• Метод истощения

Примечания

Рекомендации

• Архимед (1912), Метод Архимеда, недавно открытый Хейбергом; приложение к сочинениям Архимеда, Издательство Кембриджского университета (переведено Томас Литтл Хит ).
• Ян Хогендейк (2002). «Площадь поверхности бицилиндра и метод Архимеда». Historia Mathematica. 29 (2): 199–203. Дои:10.1006 / hmat.2002.2349. МИСТЕР  1896975.