Адекватность - Adequality

Адекватность это метод, разработанный Пьер де Ферма в его трактате Methodus ad disquirendam maximam et minimam^[1] (а латинский трактат, распространенный во Франции ок. 1636) для расчета максимумы и минимумы функций, касательные кривым, площадь, центр массы, наименьшее действие, и другие проблемы в исчисление. В соответствии с Андре Вайль, Ферма »вводит технический термин adaequalitas, adaequare и т. Д., Который, по его словам, позаимствован из Диофант. Как показывает Диофант V.11, это означает приблизительное равенство, и именно так Ферма объясняет это слово в одном из своих более поздних сочинений »(Weil 1973).^[2] Диофант придумал слово παρισότης (parisotēs) для обозначения примерного равенства.^[3] Клод Гаспар Баше де Мезириак перевел греческое слово Диофанта на латынь как adaequalitas.^{[нужна цитата ]} Пол Таннери В французском переводе трактатов Ферма о максимумах и минимумах на латинском языке используются слова адеквация и адегалер.^{[нужна цитата ]}

Метод Ферма

Ферма подержанный адекватность сначала для нахождения максимумов функций, а затем адаптировал его для нахождения касательных к кривым.

Чтобы найти максимум срока ${ displaystyle p (x)}$, Ферма приравнял (точнее адекватно) ${ displaystyle p (x)}$ и ${ Displaystyle р (х + е)}$ и после занятий алгеброй он мог сократить множитель ${ displaystyle e,}$ а затем отбросьте все оставшиеся термины, включающие ${ displaystyle e.}$ Чтобы проиллюстрировать метод на собственном примере Ферма, рассмотрим задачу нахождения максимума ${ displaystyle p (x) = bx-x ^ {2}}$ (По словам Ферма, это значит разделить линию длиной ${ displaystyle b}$ в какой-то момент ${ displaystyle x}$, так что произведение двух полученных частей будет максимальным.^[1]) Ферма адекватный ${ displaystyle bx-x ^ {2}}$ с ${ displaystyle b (x + e) ​​- (x + e) ​​^ {2} = bx-x ^ {2} + be-2ex-e ^ {2}}$. То есть (используя обозначения ${ displaystyle backsim}$ для обозначения адекватности, введенной Пол Таннери ):

${ displaystyle bx-x ^ {2} backsim bx-x ^ {2} + be-2ex-e ^ {2}.}$

Отмена условий и разделение на ${ displaystyle e}$ Ферма прибыл в

${ displaystyle b backsim 2x + e.}$

Удаление терминов, содержащих ${ displaystyle e}$ Ферма пришел к желаемому результату, что максимум достигается при ${ displaystyle x = b / 2}$.

Ферма также использовал свой принцип для математического вывода Законы Снеллиуса рефракции прямо из принципа, согласно которому свет проходит наиболее быстрый путь.^[4]

Критика Декарта

Метод Ферма подвергся резкой критике со стороны его современников, особенно Декарт. Виктор Кац предполагает, что это связано с тем, что Декарт независимо открыл ту же новую математику, известную как его метод нормалей, и Декарт очень гордился своим открытием. Кац также отмечает, что, хотя методы Ферма были ближе к будущим достижениям в исчислении, методы Декарта оказали более непосредственное влияние на развитие.^[5]

Научная полемика

Эта статья может требовать уборка встретиться с Википедией стандарты качества. Конкретная проблема: отображается слишком много ненужной информации с плохим форматированием Пожалуйста помоги улучшить эту статью если вы можете. (Сентябрь 2016) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

И Ньютон, и Лейбниц называли работу Ферма предшественником исчисление бесконечно малых. Тем не менее, среди современных ученых существуют разногласия по поводу точного значения адекватности Ферма. Ферма адекватность был проанализирован в ряде научных исследований. В 1896 г. Пол Таннери опубликовал французский перевод латинских трактатов Ферма о максимумах и минимумах (Fermat, Œuvres, Vol. III, pp. 121–156). Таннери перевел термин Ферма как «adégaler» и принял «адеквацию» Ферма. Кожевенный завод также представил символ ${ displaystyle backsim}$ на адекватность в математических формулах.

Генрих Вилейтнер (1929)^[6] написал:

Ферма заменяет А с А+E. Затем он задает новое выражение примерно равный (Angenähert Gleich) к старому, отменяет равные члены с обеих сторон и делит на максимально возможную степень E. Затем он отменяет все условия, содержащие E и устанавливает те, которые остаются равными друг другу. Из этого [необходимого] А полученные результаты. Который E должно быть как можно меньше, нигде не сказано и в лучшем случае выражается словом "adaequalitas".

(Вилейтнер использует символ ${ Displaystyle scriptstyle sim}$.)

Макс Миллер (1934)^[7] написал:

Затем следует поставить оба члена, выражающие максимум и минимум, примерно равный (Näherungsweise Gleich), как говорит Диофант.

(Миллер использует символ ${ Displaystyle scriptstyle приблизительно}$.)

Жан Итар (1948)^[8] написал:

Известно, что выражение «adégaler» заимствовано Ферма от Диофанта, переведено Ксиландером и Баше. Речь идет о примерное равенство (égalité приблизительный) ".

(Итард использует символ ${ Displaystyle scriptstyle backsim}$.)

Йозеф Эренфрид Хофманн (1963)^[9] написал:

Ферма выбирает количество час, считал достаточно малым, и положил ж(Икс + час) примерно равный (Ungefähr Gleich) к ж(Икс). Его технический термин adaequare.

(Хофманн использует символ ${ Displaystyle scriptstyle приблизительно}$.)

Пер Стрёмхольм (1968)^[10] написал:

В основе подхода Ферма лежало сравнение двух выражений, которые, хотя и имели одинаковую форму, были не совсем равно. Эту часть процесса он назвал "Comparare par adaequalitatem" или же "компаратор на adaequalitatem", и это означало, что в остальном строгая идентичность между двумя сторонами" уравнения "была разрушена изменением переменной с помощью маленький количество:

${ displaystyle scriptstyle f (A) { sim} f (A + E)}$.

В этом, как я полагаю, и заключалось реальное значение его использования πἀρισον Диофанта, подчеркивая малость вариации. Обычный перевод слова «adaequalitas» выглядит так:примерное равенство", но я предпочитаю"псевдравенство"представить мысль Ферма на этом этапе.

Далее он отмечает, что «в M1 (метод 1) никогда не возникало вопроса об изменении E ставится равным нулю. Слова, которые Ферма использовал для выражения процесса подавления терминов, содержащих E было «elido», «deleo» и «expungo», а по-французски - «i'efface» и «i'ôte». Трудно поверить, что здравомыслящий человек, желающий выразить свое значение и ищущий слова, постоянно находил бы такие извилистые способы сообщить тот простой факт, что термины исчезли, потому что E был нулевым (стр. 51)

Клаус Дженсен (1969)^[11] написал:

Более того, применяя понятие adégalité - который составляет основу общего метода Ферма построения касательных и под которым понимается сравнение двух величин как если бы они были равны, хотя на самом деле они не ("tamquam essent aequalia, licet revera aequalia non sint") - я буду использовать более распространенный в настоящее время символ ${ Displaystyle scriptstyle приблизительно}$.

Цитата на латинском языке взята из «Ферма», изданного Таннери 1891 года, том 1, страница 140.

Майкл Шон Махони (1971)^[12] написал:

Метод максимумов и минимумов Ферма, который явно применим к любому многочлену 'P (x), изначально опирался на чисто финитистический алгебраические основы. Предполагалось, противно, неравенство двух равных корней, чтобы определить, согласно теории уравнений Вите, связь между этими корнями и одним из коэффициентов многочлена, отношение, которое было полностью общим. Это соотношение затем привело к экстремальному решению, когда Ферма удалил свой контрфактическое предположение и установите корни равными. Заимствуя термин Диофанта, Ферма назвал это контрфактическое равенство «адекватность».

(Махони использует символ ${ Displaystyle scriptstyle приблизительно}$.) На стр. 164, конец сноски 46, Махони отмечает, что одним из значений адекватности является примерное равенство или же равенство в предельном случае.

Чарльз Генри Эдвардс младший (1979)^[13] написал:

Например, чтобы определить, как разделить отрезок длины ${ displaystyle scriptstyle b}$ на два сегмента ${ displaystyle scriptstyle x}$ и ${ displaystyle scriptstyle b-x}$ чей продукт ${ Displaystyle scriptstyle х (b-x) = bx-x ^ {2}}$ является максимальным, то есть найти прямоугольник с периметром ${ displaystyle scriptstyle 2b}$ имеющий максимальную площадь, он [Ферма] поступает следующим образом. Сначала он заменил ${ displaystyle scriptstyle x + e}$

(он использовал А, E вместо Икс, е) для неизвестного Икс, а затем записал следующее "псевдравенство" чтобы сравнить полученное выражение с исходным:

${ displaystyle scriptstyle b (x + e) ​​- (x + e) ​​^ {2} = bx + be-x ^ {2} -2xe-e ^ {2} ; sim ; bx-x ^ { 2}.}$

После отмены условий он разделил на е чтобы получить ${ displaystyle scriptstyle b-2 , x-e ; sim ; 0.}$ Наконец, он отбросил оставшийся термин, содержащий е, трансформируя псевдравенство в истинное равенство ${ displaystyle scriptstyle x = { frac {b} {2}}}$ что дает ценность Икс что делает ${ displaystyle scriptstyle bx-x ^ {2}}$ максимальный. К сожалению, Ферма так и не объяснил логическую основу этого метода с достаточной ясностью или полнотой, чтобы предотвратить разногласия между историками относительно того, что именно он имел в виду или имел в виду ».

Кирсти Андерсен (1980)^[14] написал:

Два выражения максимума или минимума сделаны "адекватный", что означает что-то вроде как можно почти равны.

(Андерсен использует символ ${ Displaystyle scriptstyle приблизительно}$.)

Герберт Брегер (1994)^[15] написал:

Хочу выдвинуть свою гипотезу: Ферма использовал слово «adaequare» в смысле "поставить равным" ... В математическом контексте единственное различие между "aequare" и "adaequare", по-видимому, состоит в том, что последний придает большее значение факту достижения равенства.

(Стр. 197f.)

Джон Стиллвелл (Stillwell 2006, p. 91) писал:

Ферма представил идею адекватности в 1630-х годах, но он опередил свое время. Его преемники не желали отказываться от удобства обычных уравнений, предпочитая использовать равенство нечетко, а не точно. Идея адекватности возродилась только в ХХ веке, в т.н. нестандартный анализ.

Энрико Джусти (2009)^[16] цитирует письмо Ферма к Марин Мерсенн где Ферма писал:

Cette compareison par adégalité produit deux termes inégaux qui enfin produisent l'égalité (selon ma méthode) qui nous donne la solution de la question "(" Это сравнение по адекватности дает два неравных условия, которые в конечном итоге приводят к равенству (по моему методу), которое дает нам решение проблемы ») ..

Джусти отмечает в сноске, что это письмо, похоже, ускользнуло от внимания Брегера.

Клаус Барнер (2011)^[17] утверждает, что Ферма использует два разных латинских слова (aequabitur и adaequabitur), чтобы заменить обычный в настоящее время знак равенства, aequabitur когда уравнение касается действительного тождества между двумя константами, универсально действующей (доказанной) формулы или условного уравнения, adaequabiturоднако, когда уравнение описывает связь между двумя переменными, которые не независимый (и уравнение не является действительной формулой). На странице 36 Барнер пишет: «Почему Ферма постоянно повторял свою непоследовательную процедуру для всех своих примеров для метода касательных? Почему он никогда не упоминал секанс, которой он фактически оперировал? Я не знаю».

Кац, Шапс, Шнидер (2013)^[18] утверждают, что применение Ферма техники к трансцендентным кривым, таким как циклоида, показывает, что метод адекватности Ферма выходит за рамки чисто алгебраического алгоритма и что, вопреки интерпретации Брегера, технические термины парижане как использовали Диофант и adaequalitas в терминах Ферма оба означают «приблизительное равенство». Они развивают формализацию техники адекватности Ферма в современной математике как стандартная функция детали что завершает конечный гиперреальное число к ближайшему настоящий номер.

Смотрите также

• Принцип Ферма
• Трансцендентный закон однородности

Рекомендации

Библиография

• Брегер, Х. (1994) "Тайны adaequare: оправдание Ферма", Архив истории точных наук 46(3):193–219.
• Эдвардс, К. Х. младший (1994), Историческое развитие математического анализа, Springer
• Джусти, Э. (2009) "Les méthodes des maxima et minima de Fermat", Ann. Фак. Sci. Toulouse Math. (6) 18, Fascicule Special, 59–85.
• Грабинер, Джудит В. (сентябрь 1983 г.), "Меняющаяся концепция изменений: производная от Ферма до Вейерштрасса", Математический журнал, 56 (4): 195–206, Дои:10.2307/2689807, JSTOR  2689807
• Кац, В. (2008), История математики: введение, Эддисон Уэсли
• Стиллвелл, Дж. (2006) Тоска по невозможному. Удивительные истины математики, стр. 91, А. К. Петерс, ООО, Уэллсли, Массачусетс.
• Вайль, А., Рецензия на книгу: Математическая карьера Пьера де Ферма. Бык. Амер. Математика. Soc. 79 (1973), нет. 6, 1138–1149.