Сверхконечное множество - Википедия - Hyperfinite set

В нестандартный анализ, филиал математика, а гиперконечное множество или же * -конечный набор это тип внутренний набор. Внутренний набор ЧАС внутренней мощности грамм ∈ *N (в сверхъестественное ) гиперконечен если и только если существует внутренний биекция между грамм = {1,2,3,...,грамм} и ЧАС.^[1][2] Сверхконечные множества разделяют свойства конечных множеств: гиперконечное множество имеет минимальные и максимальные элементы, и может быть получено сверхконечное объединение гиперконечного набора гиперконечных множеств. Сумма элементов любого гиперконечного подмножества *р всегда существует, что ведет к возможности четко определенного интеграция.^[2]

Сверхконечные множества можно использовать для аппроксимации других множеств. Если гиперконечное множество аппроксимирует интервал, оно называется близкий интервал относительно этого интервала. Рассмотрим гиперконечное множество ${ displaystyle K = {k_ {1}, k_ {2}, dots, k_ {n}}}$ со сверхъестественным п. K является ближайшим интервалом для [а,б] если k₁ = а и k_п = б, и если разница между последовательными элементами K является бесконечно малый. Иначе говоря, требуется, чтобы для каждого р ∈ [а,б] Существует k_я ∈ K такой, что k_я ≈ р. Это, например, позволяет приблизиться к единичный круг, рассматриваемый как множество ${ Displaystyle е ^ {я тета}}$ для θ в интервале [0,2π].^[2]

В общем, подмножества гиперконечных множеств не являются гиперконечными, часто потому, что они не содержат крайних элементов родительского множества.^[3]

Сверхмощная конструкция

Что касается сверхмощный конструкция, гиперреальная линия *р определяется как совокупность классы эквивалентности последовательностей ${ Displaystyle langle и_ {п}, п = 1,2, ldots rangle}$ реальных чисел ты_п. А именно, класс эквивалентности определяет гиперреальное, обозначенное ${ Displaystyle [и_ {п}]}$ в обозначениях Гольдблатта. Аналогично, произвольное гиперконечное множество в *р имеет форму ${ displaystyle [A_ {n}]}$, и определяется последовательностью ${ Displaystyle langle A_ {п} rangle}$ конечных множеств ${ Displaystyle A_ {п} substeq mathbb {R}, п = 1,2, ldots}$^[4]

Примечания

внешняя ссылка

• М. Инсолл. «Сверхконечное множество». MathWorld.