Аналитик - The Analyst

Для использования в других целях см. Аналитик (значения).

Аналитик, с субтитрами "Беседа, адресованная неверному математику. ГДЕ исследуется, являются ли объект, принципы и выводы современного анализа более отчетливыми или более очевидными, чем религиозные мистерии и точки веры.", это книга, изданная Джордж Беркли в 1734 году. Считается, что "неверный математик" был Эдмонд Галлей, хотя другие предполагали, что сэр Исаак Ньютон был предназначен. Видеть (Бертон 1997, 477).

Предпосылки и цель

С первых дней своей писательской деятельности Беркли взялся за сатирическое перо, чтобы атаковать то, что тогда называлось 'вольнодумцы (секуляристы, скептики, агностики, атеисты и т. д. - короче говоря, любой, кто сомневался в истинности принятой христианской религии или призывал к уменьшению религиозности в общественной жизни). В 1732 году в последней части этой работы Беркли опубликовал Алсифрон, серия диалогов, направленных на разные типы «вольнодумцев». Одним из архетипов, к которому обратился Беркли, был светский ученый, отказавшийся от христианства. загадки как ненужный суеверия, и заявил о своей уверенности в достоверности человеческого разума и науки. Вопреки своим аргументам Беркли тонко защищал обоснованность и полезность этих элементов христианской веры.

Алсифрон был широко прочитан и вызвал некоторый переполох. Но это был небрежный комментарий, высмеивающий аргументы Беркли «вольнодумным» королевским астрономом сэром Эдмунд Галлей это побудило Беркли снова взять ручку и попробовать новый прием. Результат был Аналитик, задуманная как сатира, атакующая основы математики с такой же энергией и стилем, как «вольнодумцы», которые обычно нападали на религиозные истины.

Беркли стремился разделить математику, утверждал, что обнаружил многочисленные пробелы в доказательствах, выступал против использования бесконечно малых величин, диагонали единичного квадрата, самого существования чисел и т. Д. Основной целью было не столько издевательство над математиками или математиками, сколько скорее, чтобы показать, что математики, как и христиане, полагались на непостижимые «загадки» в основе своих рассуждений. Более того, существование этих «суеверий» не было фатальным для математических рассуждений, более того, оно было подспорьем. То же самое и с христианскими верующими и их «тайнами». Беркли пришел к выводу, что достоверность математики не больше, чем достоверность религии.

Содержание

Аналитик была прямая атака на основы исчисление, особенно по понятию Ньютона флюсии и дальше Лейбниц понятие о бесконечно малый изменять. В разделе 16 Беркли критикует

... ошибочный способ перейти к определенному пункту предположения об инкременте, а затем сразу же сместить ваше предположение к предположению об отсутствии приращения. . . Поскольку, если бы это второе предположение было сделано до общего разделения о, все исчезло сразу, и вы, должно быть, ничего не получили в соответствии с вашим предположением. Принимая во внимание, что с помощью этого Уловки сначала деления, а затем изменения вашего предположения, вы сохраняете 1 и nxп-1. Но, несмотря на все эти обращения, чтобы скрыть это, заблуждение все равно остается.[1]

Его наиболее часто цитируемый отрывок:

А что это за флюксии? Скорости мимолетных приращений? И что это за мимолетные Инкременты? Они не являются ни конечными Величинами, ни бесконечно малыми Величинами, ни еще ничем. Разве нельзя называть их призраками ушедших количеств?[2]

Беркли не оспаривал результатов расчетов; он признал, что результаты были верными. Суть его критики заключалась в том, что исчисление не было более строгим с точки зрения логики, чем религия. Вместо этого он сомневался, что математики «подчиняются авторитету, а все доверяют».[3] так же, как и последователи религиозных догм. По словам Бертона, Беркли представил остроумную теорию компенсации ошибок, которая должна была объяснить правильность результатов расчетов. Беркли утверждал, что специалисты по математическому анализу ввели несколько ошибок, которые аннулировались, оставив правильный ответ. По его собственным словам, «благодаря двукратной ошибке вы приходите, хотя и не к науке, но к истине».[4]

Анализ

Идея о том, что Ньютон был предполагаемым получателем дискурса, ставится под сомнение отрывком, который появляется в конце книги: «Вопрос 58: Действительно ли это результат Размышления, что одни и те же люди восхищаются великим писателем за его подвижки и высмеивают его за его религию?» [5]

Здесь Беркли высмеивает тех, кто прославляет Ньютона (изобретателя «флюксий», примерно эквивалентных дифференциалам более поздних версий дифференциального исчисления) как гения, высмеивая при этом его хорошо известную религиозность. Поскольку Беркли здесь явно привлекает внимание к религиозной вере Ньютона, это, кажется, указывает на то, что он не имел в виду, чтобы его читатели отождествляли «неверного (то есть не имеющего веры) математика» с Ньютоном.

Историк математики Джудит Грабинер комментирует: «Критика Беркли строгости расчетов была остроумной, недоброй и - в отношении критикуемых им математических практик - по существу правильной» (Грабинер 1997 ). Хотя его критика математических практик была обоснованной, его эссе подвергалось критике по логическим и философским причинам.

Например, Дэвид Шерри утверждает, что критика Беркли исчисления бесконечно малых состоит из логической критики и метафизической критики. Логическая критика - это критика fallacia предположение, что означает получение баллов в аргументе с помощью одного предположения и, при сохранении этих баллов, завершение аргумента с помощью противоречивого предположения. Метафизическая критика - это вызов самому существованию таких понятий, как флюксии, моменты и бесконечно малые величины, и она уходит своими корнями в Беркли. эмпирик философия, не терпящая выражения без референта (Шерри 1987 ). Андерсен (2011) показали, что доктрина Беркли о компенсации ошибок содержит логическую замкнутость. А именно, Беркли полагается на определение Аполлонием касательной параболы в собственном определении Беркли производной квадратичной функции.

Влияние

Через два года после этой публикации Томас Байес опубликовал анонимно «Введение в доктрину флюксий и защиту математиков от возражений автора аналитика» (1736 г.), в котором он защищал логическое основание исчисления Исаака Ньютона от критики, изложенной в Аналитик. Колин Маклорен двухтомный Трактат о флюсиях опубликованная в 1742 году, также началась как ответ на атаки Беркли, призванные показать строгость исчисления Ньютона путем сведения его к методам греческой геометрии (Грабин 1997 ).

Несмотря на эти попытки, исчисления продолжали разрабатываться с использованием нестрогих методов примерно до 1830 года, когда Огюстен Коши, и позже Бернхард Риманн и Карл Вейерштрасс, переопределил производная и интеграл используя строгое определение понятия предел. Идея использования пределов в качестве основы для исчисления была предложена д'Аламбер, но определение Даламбера не было строгим по современным стандартам (Бертон 1997 ). Понятие пределов уже появилось в работе Ньютона (Pourciau 2001 ), но не было сформулировано с достаточной ясностью, чтобы выдержать критику Беркли (Эдвардс 1994 ).

В 1966 г. Авраам Робинсон представил Нестандартный анализ, что обеспечило прочную основу для работы с бесконечно малыми количествами. Это предоставило еще один способ поставить исчисление на математически строгую основу, которая была в духе того, как исчисление проводилось до (ε, δ) -определение предела был полностью разработан.

Призраки ушедшего количества

К концу Аналитик, Беркли обращается к возможным обоснованиям основ исчисления, которые могут выдвинуть математики. В ответ на эту идею потоки могут быть определены с использованием предельных соотношений исчезающих величин (Бойер 1991 ), Беркли писал:

Действительно, следует признать, что [Ньютон] использовал Флюксии, как Эшафот здания, как вещи, которые нужно отложить в сторону или избавиться от них, как только были найдены конечные Линии, пропорциональные им. Но затем эти конечные экспоненты находятся с помощью Fluxions. Следовательно, все, что получается с помощью таких Экспонентов и Пропорций, должно быть приписано Флюксиям, что, следовательно, должно быть понято заранее. А что это за флюксии? Скорости мимолетных приращений? И что это за мимолетные Инкременты? Они не являются ни конечными Величинами, ни бесконечно малыми Величинами, ни еще ничем. Разве мы не можем называть их Призраками ушедших Величин?[6]

Эдвардс описывает это как самый запоминающийся момент книги (Эдвардс 1994 ). Кац и Шерри утверждают, что это выражение было предназначено для обращения как к бесконечно малым, так и к теории флюксий Ньютона. (Кац и Шерри 2012 )

Сегодня фраза «призраки умерших величин» также используется при обсуждении атак Беркли на другие возможные основы исчисления. В частности, это используется при обсуждении бесконечно малые (Аркерид 2005 ), но он также используется при обсуждении дифференциалы (Лидер 1986 ), и адекватность (Кляйнер и Мовшовиц-Хадар 1994 ).

Текст и комментарий

Полный текст Аналитик можно прочитать на Wikisource, а также на сайте Дэвида Р. Уилкинса,[7] который включает некоторые комментарии и ссылки на ответы современников Беркли.

Аналитик также воспроизводится с комментариями в недавних работах:

  • Уильяма Эвальда От Канта до Гильберта: Справочник по основам математики.[8]

Эвальд заключает, что возражения Беркли против расчетов его времени в то время в основном были приняты правильно.

  • Обзор Д. М. Джессефа в «Достопримечательности западной математики» за 2005 год.[9]

Рекомендации

Сноски
  1. ^ Беркли, Джордж (1734). Аналитик: Беседа, адресованная неверному математику . Лондон. п. 25 - через Wikisource.
  2. ^ Там же., п. 59.
  3. ^ Там же., п. 93.
  4. ^ Там же., п. 34.
  5. ^ Там же., п. 92.
  6. ^ Там же., п. 59.
  7. ^ Уилкинс, Д. Р. (2002). «Аналитик». История математики. Тринити-колледж, Дублин.
  8. ^ Эвальд, Уильям, изд. (1996). От Канта до Гильберта: Справочник по основам математики. я. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0198534709.
  9. ^ Джессеф, Д. М. (2005). «Аналитик». В Граттан-Гиннесс, Айвор (ред.). Достопримечательности западной математики 1640–1940 гг.. Эльзевир. С. 121–30. ISBN  978-0444508713.
Другие источники
  • Kleiner, I .; Мовшовиц-Хадар Н. (декабрь 1994 г.), «Роль парадоксов в эволюции математики», Американский математический ежемесячник, 101 (10): 963–974, Дои:10.2307/2975163, JSTOR  2975163
  • Лидер, Соломон (май 1986 г.), «Что такое дифференциал? Новый ответ из обобщенного интеграла Римана», Американский математический ежемесячник, 93 (5): 348–356, Дои:10.2307/2323591, JSTOR  2323591
  • Pourciau, Брюс (2001), «Newtion и понятие предела», Historia Math., 28 (1): 393–30, Дои:10.1006 / hmat.2000.2301
  • Роберт, Ален (1988), Нестандартный анализ, Нью-Йорк: Wiley, ISBN  978-0-471-91703-8
  • Шерри, Д. (1987), «По следам аналитика Беркли: Строгая математика?", Исследования в области исторической философии и науки, 18 (4): 455–480, Дои:10.1016/0039-3681(87)90003-3
  • Wren, F. L .; Гарретт, Дж. А. (май 1933 г.), "Развитие фундаментальных концепций инфинитезимального анализа", Американский математический ежемесячник, 40 (5): 269–281, Дои:10.2307/2302202, JSTOR  2302202