Производная - Derivative

В график функции, нарисованный черным, и касательная линия к этой функции, выделенной красным. В склон касательной равна производной функции в отмеченной точке.

В производная из функция действительной переменной измеряет чувствительность к изменению значения функции (выходного значения) по отношению к изменению ее аргумент (входное значение). Деривативы - это фундаментальный инструмент исчисление. Например, производная положения движущегося объекта по отношению к время это объект скорость: измеряет, насколько быстро положение объекта меняется с течением времени.

Производная функции одной переменной при выбранном входном значении, если оно существует, является склон из касательная линия к график функции в таком случае. Касательная линия самая лучшая линейное приближение функции рядом с этим входным значением. По этой причине производная часто описывается как «мгновенная скорость изменения», то есть отношение мгновенного изменения зависимой переменной к изменению независимой переменной.

Производные финансовые инструменты можно обобщить на функции нескольких действительных переменных. В этом обобщении производная интерпретируется как линейное преобразование график которой (после соответствующего перевода) является наилучшим линейным приближением к графику исходной функции. В Матрица якобиана это матрица который представляет это линейное преобразование по отношению к базису, заданному выбором независимых и зависимых переменных. Его можно рассчитать с точки зрения частные производные относительно независимых переменных. Для функция с действительным знаком нескольких переменных матрица Якоби сводится к вектор градиента.

Процесс нахождения производной называется дифференциация. Обратный процесс называется антидифференцировка. В основная теорема исчисления связывает антидифференцировку с интеграция. Дифференцирование и интегрирование составляют две фундаментальные операции в исчислении одной переменной.^{[Примечание 1]}

Дифференциация

Дифференциация это действие по вычислению производной. Производная от a функция у = ж(Икс) переменной Икс является мерой скорости, с которой значение у функции изменяется относительно изменения переменной Икс. Это называется производная из ж относительно Икс. Если Икс и у находятся действительные числа, а если график из ж замышляется против Икс, производная - это склон этого графика в каждой точке.

Наклон линейной функции: ${displaystyle m = {frac {Delta y} {Delta x}}}$

В простейшем случае, кроме тривиального случая постоянная функция, когда у это линейная функция из Икс, что означает, что график у это линия. В этом случае, у = ж(Икс) = mx + б, для действительных чисел м и б, и наклон м дан кем-то

${displaystyle m = {frac {{ext {change in}} y} {{ext {change in}} x}} = {frac {Delta y} {Delta x}},}$

где символ Δ (Дельта ) - это сокращение от "изменение", а комбинации ${displaystyle Delta x}$ и ${displaystyle Delta y}$ см. соответствующие изменения, а именно: ${displaystyle Delta y = f (x + Delta x) -f (x)}$. Приведенная выше формула верна, потому что

${displaystyle {egin {выровнено} y + Delta y & = fleft (x + Delta xight) & = mleft (x + Delta xight) + b = mx + mDelta x + b & = y + mDelta x.end {выровнено} }}$

Таким образом

${displaystyle Delta y = mDelta x.}$

Это дает значение для наклона линии.

Если функция ж не является линейным (т.е. его график не является прямой линией), то изменение у делится на изменение Икс варьируется в рассматриваемом диапазоне: дифференциация - это метод поиска уникального значения для этой скорости изменения, а не в определенном диапазоне ${displaystyle (Delta x),}$ но при любом данном значении Икс.

Скорость изменения как предельное значение

Рисунок 1. В касательная линия в (Икс, ж(Икс))

Фигура 2. В секущий кривить у= ж(Икс) определяется точками (Икс, ж(Икс)) и (Икс + час, ж(Икс + час))

Рисунок 3. Касательная как предел секущих

Рисунок 4. Анимированная иллюстрация: касательная (производная) как предел секущих

Идея, проиллюстрированная рисунками 1–3, состоит в том, чтобы вычислить скорость изменения как предельное значение из соотношение различий Δу / ΔИкс в качестве ΔИкс стремится к 0.

Обозначение

Для производной обычно используются два разных обозначения, одно происходит от Готфрид Вильгельм Лейбниц а другой из Жозеф Луи Лагранж. Третье обозначение, впервые использованное Исаак Ньютон, иногда встречается в физике.

В Обозначения Лейбница, бесконечно малый изменение в Икс обозначается dx, а производная от у относительно Икс написано

${displaystyle {frac {dy} {dx}}}$

предлагая соотношение двух бесконечно малых величин. (Вышеупомянутое выражение читается как "производная от у относительно Икс", "dy к dx", или же "dy над dx". Устная форма"dy dx"часто используется в разговорной речи, хотя может привести к путанице.)

В Обозначения Лагранжа, производная по Икс функции ж(Икс) обозначается f '(Икс) (читать как "ж расцвет Икс") или же ж_Икс′(Икс) (читать как "ж основной Икс из Икс"), в случае неоднозначности переменной, подразумеваемой дифференцированием. Обозначения Лагранжа иногда неправильно приписывают Ньютон.

Обозначение Ньютона для дифференцирования (также называемый точечная запись для дифференциации) ставит точку над зависимой переменной. То есть, если у является функцией т, то производная от у относительно т является

${displaystyle {точка {y}}}$

Высшие производные представлены с использованием нескольких точек, как в

${displaystyle {ddot {y}}, {overset {...} {y}}}$

Обозначение Ньютона обычно используется, когда независимая переменная обозначает время. Если место у является функцией т, тогда ${displaystyle {точка {y}}}$ обозначает скорость^[1] и ${displaystyle {ddot {y}}}$ обозначает ускорение.^[2]

Строгое определение

Секущая приближается к касательной, когда ${displaystyle Delta x o 0}$.

Наиболее распространенный подход к превращению этой интуитивной идеи в точное определение - определение производной как предел разности частных действительных чисел.^[3] Это подход, описанный ниже.

Позволять ж быть вещественной функцией, определенной в открытый район реального числа а. В классической геометрии касательная к графику функции ж в а была единственная линия, проходящая через точку (а, ж(а)) это сделало нет встретить график ж поперечно, что означает, что линия не проходит прямо через график. Производная от у относительно Икс в а это, геометрически, наклон касательной к графику ж в (а, ж(а)). Наклон касательной очень близок к наклону прямой, проходящей через (а, ж(а)) и ближайшая точка на графике, например (а + час, ж(а + час)). Эти строки называются секущие линии. Ценность час близкое к нулю дает хорошее приближение к наклону касательной, а меньшие значения (в абсолютная величина ) из час будет, в общем, лучше отдаст приближения. Склон м секущей линии - это разница между у значения этих точек, деленные на разницу между Икс ценности, то есть

${displaystyle m = {frac {Delta f (a)} {Delta a}} = {frac {f (a + h) -f (a)} {(a + h) - (a)}} = {frac { f (a + h) -f (a)} {h}}.}$

Это выражение Ньютон с коэффициент разницы. Переход от приближенного к точному ответу осуществляется с помощью предел. Геометрически предел секущих - касательная. Следовательно, предел отношения разности при час приближается к нулю, если он существует, должен представлять наклон касательной к (а, ж(а)). Этот предел определяется как производная от функции ж в а:

${displaystyle f '(a) = lim _ {h o 0} {frac {f (a + h) -f (a)} {h}}.}$

Когда предел существует, ж как говорят дифференцируемый в а. Здесь ж′(а) является одним из нескольких распространенных обозначений производной (Смотри ниже ). Из этого определения очевидно, что дифференцируемая функция ж является увеличение тогда и только тогда, когда его производная положительна и убывает если только его производная отрицательна. Этот факт широко используется при анализе поведения функций, например при нахождении локальные экстремумы.

Эквивалентно производная удовлетворяет свойству, что

${displaystyle lim _ {h o 0} {frac {f (a + h) - (f (a) + f '(a) cdot h)} {h}} = 0,}$

которое интуитивно интерпретируется (см. рис. 1), что касательная линия к ж в а дает Лучший линейный приближение

${displaystyle f (a + h) приблизительно f (a) + f '(a) h}$

к ж возле а (т.е. для малых час). Эту интерпретацию проще всего обобщить на другие параметры (Смотри ниже ).

Подстановка 0 для час в разнице частных причин деление на ноль, поэтому наклон касательной нельзя найти напрямую с помощью этого метода. Вместо этого определите Q(час) быть коэффициентом разницы как функцией час:

${displaystyle Q (h) = {frac {f (a + h) -f (a)} {h}}.}$

Q(час) наклон секущей линии между (а, ж(а)) и (а + час, ж(а + час)). Если ж это непрерывная функция, что означает, что его график представляет собой непрерывную кривую без разрывов, то Q является непрерывной функцией вне час = 0. Если предел Lim_час→0Q(час) существует, а это означает, что есть способ выбрать значение для Q(0) что делает Q непрерывная функция, то функция ж дифференцируема в а, и его производная при а равно Q(0).

На практике существование непрерывного продолжения разностного фактора Q(час) к час = 0 отображается изменением числителя для отмены час в знаменателе. Такие манипуляции могут сделать предельное значение Q для маленьких час ясно, хотя Q все еще не определено в час = 0. Этот процесс может быть долгим и утомительным для сложных функций, и для упрощения обычно используются многие ярлыки.

Определение гиперреалов

По отношению к гиперреальный расширение р ⊂ ^∗р действительных чисел, производная действительной функции у = ж(Икс) в реальной точке Икс можно определить как тень частного ∆у/∆Икс за бесконечно малый ∆Икс, куда ∆у = ж(Икс + ∆Икс) − ж(Икс). Здесь естественное продолжение ж к гиперреалам по-прежнему обозначается ж. Здесь говорят, что производная существует, если тень не зависит от выбранной бесконечно малой величины.

Пример

Квадратная функция

Квадратная функция, заданная формулой ж(Икс) = Икс² дифференцируема в Икс = 3, а его производная равна 6. Этот результат устанавливается путем вычисления предела как час приближается к нулю коэффициента разности ж(3):

${displaystyle {egin {выравнивается} f '(3) & = lim _ {h o 0} {frac {f (3 + h) -f (3)} {h}} = lim _ {h o 0} {frac {(3 + h) ^ {2} -3 ^ {2}} {h}} [10pt] & = lim _ {h o 0} {frac {9 + 6h + h ^ {2} -9} { h}} = lim _ {h o 0} {frac {6h + h ^ {2}} {h}} = lim _ {h o 0} {(6 + h)}. конец {выровнено}}}$

Последнее выражение показывает, что коэффициент разности равен 6 + час когда час ≠ 0 и не определено, когда час = 0, из-за определения коэффициента разности. Однако определение предела говорит о том, что коэффициент разности не нужно определять, когда час = 0. Предел - это результат разрешения час перейти к нулю, то есть это значение, которое 6 + час стремится как час становится очень маленьким:

${displaystyle lim _ {h o 0} {(6 + h)} = 6 + 0 = 6.}$

Отсюда наклон графика функции квадрата в точке (3, 9) является 6, а значит, и его производная при Икс = 3 является ж′(3) = 6.

В более общем плане аналогичное вычисление показывает, что производная квадратичной функции при Икс = а является ж′(а) = 2а:

${displaystyle {egin {align} f '(a) & = lim _ {h o 0} {frac {f (a + h) -f (a)} {h}} = lim _ {h o 0} {frac {(a + h) ^ {2} -a ^ {2}} {h}} [0.3em] & = lim _ {h o 0} {frac {a ^ {2} + 2ah + h ^ {2 } -a ^ {2}} {h}} = lim _ {h o 0} {frac {2ah + h ^ {2}} {h}} [0.3em] & = lim _ {h o 0} { (2a + h)} = 2aend {выровнено}}}$

Непрерывность и дифференцируемость

Эта функция не имеет производной в отмеченной точке, так как функция там не является непрерывной (в частности, она имеет скачкообразный разрыв ).

Если ж является дифференцируемый в а, тогда ж также должен быть непрерывный в а. В качестве примера выберите точку а и разреши ж быть ступенчатая функция который возвращает значение 1 для всех Икс меньше, чем а, и возвращает другое значение 10 для всех Икс больше или равно а. ж не может иметь производную в а. Если час отрицательно, то а + час находится в нижней части ступеньки, поэтому секущая линия от а к а + час очень крутой, а как час стремится к нулю, наклон стремится к бесконечности. Если час положительно, то а + час находится на высокой части ступеньки, поэтому секущая от а к а + час имеет нулевой наклон. Следовательно, секущие линии не приближаются ни к одному наклону, так что предела коэффициента разности не существует.

Функция абсолютного значения непрерывна, но не дифференцируема при Икс = 0 поскольку касательные наклоны не приближаются к тому же значению слева, что и справа.

Однако даже если функция непрерывна в какой-то точке, она не может быть дифференцируемой там. Например, абсолютная величина функция дана ж(Икс) = |Икс| непрерывно на Икс = 0, но там его не дифференцировать. Если час положительна, то наклон секущей от 0 до час единица, тогда как если час отрицательна, то наклон секущей от 0 до час отрицательный. Графически это можно увидеть как «изгиб» или «куспид» на графике на Икс = 0. Даже функция с гладким графиком не дифференцируема в точке, где ее касательная вертикальна: Например, функция, заданная ж(Икс) = Икс^1/3 не дифференцируема в Икс = 0.

Таким образом, функция, у которой есть производная, является непрерывной, но есть непрерывные функции, у которых нет производной.

Большинство функций, которые встречаются на практике, имеют производные во всех точках или в почти каждый точка. В начале история исчисления многие математики полагали, что непрерывная функция дифференцируема в большинстве точек. В мягких условиях, например, если функция монотонная функция или Функция Липшица, это правда. Однако в 1872 году Вейерштрасс нашел первый пример функции, непрерывной всюду, но нигде не дифференцируемой. Этот пример теперь известен как Функция Вейерштрасса. В 1931 г. Стефан Банах доказал, что множество функций, имеющих производную в некоторой точке, является скудный набор в пространстве всех непрерывных функций.^[4] Неформально это означает, что практически любые случайные непрерывные функции не имеют производной хотя бы в одной точке.

Производная как функция

Производная дифференцируемой функции в разных точках. В этом случае производная равна:${displaystyle sin left (x ^ {2} ight) + 2x ^ {2} cos left (x ^ {2} ight)}$

Позволять ж - функция, имеющая производную в каждой точке своего домен. Затем мы можем определить функцию, которая отображает каждую точку ${displaystyle x}$ к значению производной от ${displaystyle f}$ в ${displaystyle x}$. Эта функция написана ж′ и называется производная функция или производная от ж.

Иногда ж имеет производную не более чем во всех точках своей области определения. Функция, значение которой при а равно ж′(а) в любое время ж′(а) определено и в другом месте не определено, также называется производной от ж. Это все еще функция, но ее область определения строго меньше, чем область определения ж.

Используя эту идею, дифференцирование становится функцией функций: производная - это оператор чья область определения - это набор всех функций, которые имеют производные в каждой точке их области определения, а диапазон - это набор функций. Если обозначить этот оператор через D, тогда D(ж) это функция ж′. С D(ж) является функцией, ее можно вычислить в точке а. По определению производной функции D(ж)(а) = ж′(а).

Для сравнения рассмотрим функцию удвоения, заданную формулой ж(Икс) = 2Икс; ж является функцией действительного числа с действительным знаком, что означает, что он принимает числа в качестве входных данных и имеет числа в качестве выходных данных:

${displaystyle {egin {выравнивается} 1 & {} mapsto 2, 2 & {} mapsto 4, 3 & {} mapsto 6.end {выравнивается}}}$

Оператор Dоднако не определяется по отдельным номерам. Он определен только для функций:

${displaystyle {egin {align} D (xmapsto 1) & = (xmapsto 0), D (xmapsto x) & = (xmapsto 1), Dleft (xmapsto x ^ {2} ight) & = (xmapsto 2cdot x) .end {выровнено}}}$

Поскольку на выходе D это функция, вывод D можно оценить сразу. Например, когда D применяется к функции квадрата, Икс ↦ Икс², D выводит функцию удвоения Икс ↦ 2Икс, который мы назвали ж(Икс). Затем эта функция вывода может быть оценена для получения ж(1) = 2, ж(2) = 4, и так далее.

Высшие производные

Позволять ж - дифференцируемая функция, и пусть ж ′ быть его производной. Производная от ж ′ (если есть) пишется ж ′′ и называется вторая производная из ж. Аналогичным образом производная второй производной, если она существует, записывается ж ′′′ и называется третья производная из ж. Продолжая этот процесс, можно определить, если он существует, п-я производная как производная от (п-1)-я производная. Эти повторяющиеся производные называются производные высшего порядка. В п-я производная также называется производная порядка п.

Если Икс(т) представляет положение объекта во время т, то старшие производные от Икс иметь конкретные интерпретации в физика. Первая производная от Икс это объект скорость. Вторая производная от Икс это ускорение. Третья производная от Икс это придурок. И, наконец, с четвертой по шестую производные от Икс находятся щелчок, треск и хлопок; наиболее применимо к астрофизика.

Функция ж не обязательно иметь производную (например, если она не непрерывна). Аналогично, даже если ж имеет производную, но может не иметь второй производной. Например, пусть

${displaystyle f (x) = {egin {case} + x ^ {2}, & {ext {if}} xgeq 0 -x ^ {2}, & {ext {if}} xleq 0.end {case} }}$

Расчет показывает, что ж - дифференцируемая функция, производная которой в точке ${displaystyle x}$ дан кем-то

${displaystyle f '(x) = {egin {case} + 2x, & {ext {if}} xgeq 0 -2x, & {ext {if}} xleq 0.end {cases}}}$

f '(Икс) вдвое больше функции абсолютного значения при ${displaystyle x}$, и у него нет производной в нуле. Подобные примеры показывают, что функция может иметь k-я производная для каждого неотрицательного целого числа k но не (k + 1)-я производная. Функция, имеющая k последовательные производные называется k раз дифференцируемый. Если вдобавок k-я производная непрерывна, то функция называется имеющей класс дифференцируемости C^k. (Это более сильное условие, чем наличие k производные, как показывает второй пример Гладкость § Примеры.) Функция, имеющая бесконечно много производных, называется бесконечно дифференцируемый или же гладкий.

На реальной линии каждый полиномиальная функция бесконечно дифференцируемо. По стандарту правила дифференциации, если полином степени п дифференцирован п раз, тогда это становится постоянная функция. Все его последующие производные тождественно равны нулю. В частности, они существуют, поэтому многочлены являются гладкими функциями.

Производные функции ж в какой-то момент Икс обеспечивают полиномиальные приближения к этой функции около Икс. Например, если ж дважды дифференцируема, то

${displaystyle f (x + h) приблизительно f (x) + f '(x) h + {frac {1} {2}} f' '(x) h ^ {2}}$

в том смысле, что

${displaystyle lim _ {h o 0} {frac {f (x + h) -f (x) -f '(x) h- {frac {1} {2}} f' '(x) h ^ {2 }} {h ^ {2}}} = 0.}$

Если ж бесконечно дифференцируема, то это начало Серия Тейлор за ж оценивается в Икс + час вокруг Икс.

Точка перегиба

Точка, в которой вторая производная функции меняет знак, называется точкой. точка перегиба.^[5] В точке перегиба вторая производная может быть равна нулю, как и в случае точки перегиба Икс = 0 функции, заданной ${displaystyle f (x) = x ^ {3}}$, или он может не существовать, как в случае точки перегиба Икс = 0 функции, заданной ${displaystyle f (x) = x ^ {гидроразрыв {1} {3}}}$. В точке перегиба функция переключается из выпуклая функция быть вогнутая функция или наоборот.

Обозначение (подробности)

Обозначения Лейбница

Символы ${displaystyle dx}$, ${displaystyle dy}$, и ${displaystyle {frac {dy} {dx}}}$ были представлены Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1675 г.^[6] Он до сих пор широко используется, когда уравнение у = ж(Икс) рассматривается как функциональная связь между зависимые и независимые переменные. Тогда первая производная обозначается через

${displaystyle {frac {dy} {dx}}, quad {frac {df} {dx}}, {ext {or}} {frac {d} {dx}} f,}$

и когда-то считался бесконечно малый частное. Высшие производные выражаются с помощью обозначений

${displaystyle {frac {d ^ {n} y} {dx ^ {n}}}, quad {frac {d ^ {n} f} {dx ^ {n}}}, {ext {or}} {frac { d ^ {n}} {dx ^ {n}}} f}$

для п-я производная от ${displaystyle y = f (x)}$. Это сокращения для нескольких применений оператора производной. Например,

${displaystyle {frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = {frac {d} {dx}} left ({frac {dy} {dx}} ight).}$

Используя обозначения Лейбница, мы можем записать производную от ${displaystyle y}$ в момент ${displaystyle x = a}$ двумя разными способами:

${displaystyle left. {frac {dy} {dx}} ight | _ {x = a} = {frac {dy} {dx}} (a).}$

Обозначение Лейбница позволяет указать переменную для дифференцирования (в знаменателе), что актуально в частичная дифференциация. Его также можно использовать для записи Правило цепи в качестве^{[Заметка 2]}

${displaystyle {frac {dy} {dx}} = {frac {dy} {du}} cdot {frac {du} {dx}}.}$

Обозначения Лагранжа

Иногда упоминается как простое обозначение,^[7] одно из наиболее распространенных современных обозначений дифференциации связано с Жозеф-Луи Лагранж и использует главный знак, так что производная функции ${displaystyle f}$ обозначается ${displaystyle f '}$. Аналогично обозначаются вторая и третья производные

${displaystyle (f ')' = f ''}$ и ${displaystyle (f '') '= f' ''.}$

Для обозначения количества производных за пределами этой точки некоторые авторы используют римские цифры в надстрочный индекс, в то время как другие помещают число в скобки:

${displaystyle f ^ {mathrm {iv}}}$ или же ${displaystyle f ^ {(4)}.}$

Последнее обозначение обобщается и дает обозначение ${displaystyle f ^ {(n)}}$ для п-я производная от ${displaystyle f}$ - это обозначение наиболее полезно, когда мы хотим говорить о производной как о самой функции, поскольку в этом случае обозначение Лейбница может стать громоздким.

Обозначение Ньютона

Обозначение Ньютона для дифференцирования, также называемого точечной нотацией, ставит точку над именем функции, чтобы представить производную по времени. Если ${displaystyle y = f (t)}$, тогда

${displaystyle {точка {y}}}$ и ${displaystyle {ddot {y}}}$

обозначают соответственно первую и вторую производные от ${displaystyle y}$. Это обозначение используется исключительно для производных финансовых инструментов по времени или длина дуги. Обычно используется в дифференциальные уравнения в физика и дифференциальная геометрия.^[8][9] Точечная запись, однако, становится неуправляемой для производных высокого порядка (порядка 4 или более) и не может иметь дело с несколькими независимыми переменными.

Обозначение Эйлера

Эйлер в обозначении используется дифференциальный оператор ${displaystyle D}$, который применяется к функции ${displaystyle f}$ дать первую производную ${displaystyle Df}$. В п-я производная обозначается ${displaystyle D ^ {n} f}$.

Если у = ж(Икс) является зависимой переменной, то часто нижний индекс Икс прилагается к D чтобы уточнить независимую переменную ИксТогда записываются обозначения Эйлера

${displaystyle D_ {x} y}$ или же ${displaystyle D_ {x} f (x)}$,

хотя этот индекс часто опускается, когда переменная Икс понимается, например, когда это единственная независимая переменная, присутствующая в выражении.

Обозначения Эйлера полезны для формулировки и решения линейные дифференциальные уравнения.

Правила расчета

Производная функции, в принципе, может быть вычислена из определения, рассматривая коэффициент разности и вычисляя его предел. На практике, когда известны производные нескольких простых функций, производные других функций легче вычислить с помощью правила для получения производных более сложных функций от более простых.

Правила для основных функций

Вот правила для производных наиболее распространенных базовых функций, где а это действительное число.

• Производные от полномочий:

${displaystyle {frac {d} {dx}} x ^ {a} = ax ^ {a-1}.}$

• Экспоненциальный и логарифмический функции:

${displaystyle {frac {d} {dx}} e ^ {x} = e ^ {x}.}$

${displaystyle {frac {d} {dx}} a ^ {x} = a ^ {x} ln (a), qquad a> 0}$

${displaystyle {frac {d} {dx}} ln (x) = {frac {1} {x}}, qquad x> 0.}$

${displaystyle {frac {d} {dx}} log _ {a} (x) = {frac {1} {xln (a)}}, qquad x, a> 0}$

• Тригонометрические функции:

${displaystyle {frac {d} {dx}} sin (x) = cos (x).}$

${displaystyle {frac {d} {dx}} cos (x) = - sin (x).}$

${displaystyle {frac {d} {dx}} an (x) = sec ^ {2} (x) = {frac {1} {cos ^ {2} (x)}} = 1+ an ^ {2} ( Икс).}$

• Обратные тригонометрические функции:

${displaystyle {frac {d} {dx}} arcsin (x) = {frac {1} {sqrt {1-x ^ {2}}}}, qquad -1$

${displaystyle {frac {d} {dx}} arccos (x) = - {frac {1} {sqrt {1-x ^ {2}}}}, qquad -1$

${displaystyle {frac {d} {dx}} arctan (x) = {frac {1} {1 + x ^ {2}}}}$

Правила совмещенных функций

Вот некоторые из самых основных правил вывода производной от составная функция от производных основных функций.

• Постоянное правило: если ж(Икс) постоянна, то

${displaystyle f '(x) = 0.}$

• Правило суммы:

${displaystyle (alpha f + eta g) '= alpha f' + eta g '}$ для всех функций ж и грамм и все реальные числа ${displaystyle alpha}$ и ${displaystyle eta}$.

• Правило продукта:

${displaystyle (fg) '= f'g + fg'}$ для всех функций ж и грамм. Как частный случай, это правило включает факт ${displaystyle (alpha f) '= alpha f'}$ в любое время ${displaystyle alpha}$ константа, потому что ${displaystyle alpha 'f = 0cdot f = 0}$ по постоянному правилу.

• Правило частного:

${displaystyle left ({frac {f} {g}} ight) '= {frac {f'g-fg'} {g ^ {2}}}}$ для всех функций ж и грамм на всех входах, где грамм ≠ 0.

• Правило цепи для составных функций: если ${displaystyle f (x) = h (g (x))}$, тогда

${displaystyle f '(x) = h' (g (x)) cdot g '(x).}$

Пример расчета

Производная функции, заданной формулой

${displaystyle f (x) = x ^ {4} + sin left (x ^ {2} ight) -ln (x) e ^ {x} +7}$

является

${displaystyle {egin {выравнивается} f '(x) & = 4x ^ {(4-1)} + {frac {dleft (x ^ {2} ight)} {dx}} cos left (x ^ {2} ight ) - {frac {dleft (ln {x} ight)} {dx}} e ^ {x} -ln (x) {frac {dleft (e ^ {x} ight)} {dx}} + 0 & = 4x ^ {3} + 2xcos left (x ^ {2} ight) - {frac {1} {x}} e ^ {x} -ln (x) e ^ {x} .end {выровнено}}}$

Здесь второй член был вычислен с использованием Правило цепи и в-третьих, используя правило продукта. Известные производные элементарных функций Икс², Икс⁴, грех (Икс), ln (Икс) и ехр (Икс) = е^Икс, а также константа 7.

В высших измерениях

Векторозначные функции

А вектор-функция у действительной переменной отправляет действительные числа векторам в некоторых векторное пространство р^п. Векторнозначная функция может быть разбита на ее координатные функции у₁(т), у₂(т), ..., у_п(т), означающий, что у(т) = (у₁(т), ..., у_п(т)). Это включает, например, параметрические кривые в р² или же р³. Координатные функции являются вещественными функциями, поэтому к ним применимо приведенное выше определение производной. Производная от у(т) определяется как вектор, называется касательный вектор, координаты которого являются производными координатных функций. То есть,

${displaystyle mathbf {y} '(t) = (y' _ {1} (t), ldots, y '_ {n} (t)).}$

Эквивалентно,

${displaystyle mathbf {y} '(t) = lim _ {h o 0} {frac {mathbf {y} (t + h) -mathbf {y} (t)} {h}},}$

если предел существует. Вычитание в числителе - это вычитание векторов, а не скаляров. Если производная от у существует для каждого значения т, тогда у′ - еще одна вектор-функция.

Если е₁, ..., е_п стандартная основа для р^п, тогда у(т) также можно записать как у₁(т)е₁ + … + у_п(т)е_п. Если предположить, что производная векторной функции сохраняет линейность свойство, то производная от у(т) должно быть

${displaystyle y '_ {1} (t) mathbf {e} _ {1} + cdots + y' _ {n} (t) mathbf {e} _ {n}}$

потому что каждый из базисных векторов является константой.

Это обобщение полезно, например, если у(т) - вектор положения частицы в момент времени т; тогда производная у′(т) это скорость вектор частицы в момент времени т.

Частные производные

Предположим, что ж функция, которая зависит от нескольких переменных, например,

${displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}$

ж может быть интерпретирован как семейство функций одной переменной, индексированной другими переменными:

${displaystyle f (x, y) = f_ {x} (y) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}$

Другими словами, каждое значение Икс выбирает функцию, обозначенную ж_Икс, которая является функцией одного действительного числа.^{[Заметка 3]} То есть,

${displaystyle xmapsto f_ {x},}$

${displaystyle f_ {x} (y) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}$

Когда-то значение Икс выбран, скажем а, тогда ж(Икс, у) определяет функцию ж_а что посылает у к а² + ау + у²:

${displaystyle f_ {a} (y) = a ^ {2} + ay + y ^ {2}.}$

В этом выражении а это постоянный, а не Переменная, так ж_а является функцией только одной действительной переменной. Следовательно, определение производной функции одной переменной применяется:

${displaystyle f_ {a} '(y) = a + 2y.}$

Вышеуказанная процедура может выполняться для любого выбора а. Объединение производных вместе в функцию дает функцию, которая описывает изменение ж в у направление:

${displaystyle {frac {partial f} {partial y}} (x, y) = x + 2y.}$

Это частная производная от ж относительно у. Здесь ∂ округлый d называется символ частной производной. Чтобы отличить это от буквы d, ∂ иногда произносится как «der», «del» или «partial» вместо «dee».

В целом частная производная функции ж(Икс₁, …, Икс_п) в направлении Икс_я в точке (а₁, ..., а_п) определяется как:

${displaystyle {frac {partial f} {partial x_ {i}}} (a_ {1}, ldots, a_ {n}) = lim _ {h o 0} {frac {f (a_ {1}, ldots, a_ {i} + h, ldots, a_ {n}) - f (a_ {1}, ldots, a_ {i}, ldots, a_ {n})} {h}}.}$

В приведенном выше коэффициенте разницы все переменные, кроме Икс_я фиксируются. Этот выбор фиксированных значений определяет функцию одной переменной

${displaystyle f_ {a_ {1}, ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, ldots, a_ {n}} (x_ {i}) = f (a_ {1}, ldots, a_ { i-1}, x_ {i}, a_ {i + 1}, ldots, a_ {n}),}$

и по определению

${displaystyle {frac {df_ {a_ {1}, ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, ldots, a_ {n}}} {dx_ {i}}} (a_ {i}) = {frac {partial f} {partial x_ {i}}} (a_ {1}, ldots, a_ {n}).}$

Другими словами, разные варианты а индексировать семейство функций с одной переменной, как в приведенном выше примере. Это выражение также показывает, что вычисление частных производных сводится к вычислению производных с одной переменной.

Это фундаментально для изучения функции нескольких действительных переменных. Позволять ж(Икс₁, ..., Икс_п) быть таким функция с действительным знаком. Если все частные производные ∂ж / ∂Икс_j из ж определены в точке а = (а₁, ..., а_п)эти частные производные определяют вектор

${displaystyle abla f (a_ {1}, ldots, a_ {n}) = left ({frac {partial f} {partial x_ {1}}} (a_ {1}, ldots, a_ {n}), ldots, {frac {partial f} {partial x_ {n}}} (a_ {1}, ldots, a_ {n}) ight),}$

который называется градиент из ж в а. Если ж дифференцируем в каждой точке некоторой области, то градиент является вектор-функция ∇ж что отображает точку (а₁, ..., а_п) к вектору ∇ж(а₁, ..., а_п). Следовательно, градиент определяет векторное поле.

Направленные производные

Если ж является действительной функцией на р^п, то частные производные от ж измерить его изменение в направлении осей координат. Например, если ж является функцией Икс и у, то его частные производные измеряют изменение ж в Икс направление и у направление. Однако они не измеряют напрямую изменение ж в любом другом направлении, например, по диагональной линии у = Икс. Они измеряются с использованием производных по направлению. Выберите вектор

${displaystyle mathbf {v} = (v_ {1}, ldots, v_ {n}).}$

В производная по направлению из ж в направлении v в момент Икс это предел

${displaystyle D_ {mathbf {v}} {f} (mathbf {x}) = lim _ {hightarrow 0} {frac {f (mathbf {x} + hmathbf {v}) -f (mathbf {x})} { час}}.}$

В некоторых случаях может быть проще вычислить или оценить производную по направлению после изменения длины вектора. Часто это делается, чтобы превратить задачу в вычисление производной по направлению в направлении единичного вектора. Чтобы увидеть, как это работает, предположим, что v = λты. Заменять час = k/λ в коэффициент разницы. Коэффициент разницы становится:

${displaystyle {frac {f (mathbf {x} + (k / lambda) (lambda mathbf {u})) - f (mathbf {x})} {k / lambda}} = lambda cdot {frac {f (mathbf { x} + kmathbf {u}) -f (mathbf {x})} {k}}.}$

Это λ умноженное на разностное отношение производной по направлению ж относительно ты. Кроме того, принимая предел как час стремится к нулю - это то же самое, что брать предел как k стремится к нулю, потому что час и k кратны друг другу. Следовательно, D_v(ж) = λD_ты(ж). Из-за этого свойства масштабирования производные по направлению часто рассматриваются только для единичных векторов.

Если все частные производные от ж существуют и непрерывны в Икс, то они определяют производную по направлению от ж в направлении v по формуле:

${displaystyle D_ {mathbf {v}} {f} ({oldsymbol {x}}) = sum _ {j = 1} ^ {n} v_ {j} {frac {partial f} {partial x_ {j}}} .}$

Это следствие определения полная производная. Отсюда следует, что производная по направлению равна линейный в v, означающий, что D_{v + ш}(ж) = D_v(ж) + D_ш(ж).

То же определение работает, когда ж функция со значениями в р^м. Приведенное выше определение применяется к каждому компоненту векторов. В этом случае производная по направлению представляет собой вектор в р^м.

Полная производная, полный дифференциал и матрица Якоби

Когда ж - функция из открытого подмножества р^п к р^м, то производная по направлению ж в выбранном направлении является наилучшим линейным приближением к ж в этот момент и в том направлении. Но когда п > 1, ни одна производная по направлению не может дать полную картину поведения ж. Полная производная дает полную картину, учитывая сразу все направления. То есть для любого вектора v начинается с а, имеет место формула линейного приближения:

${displaystyle f (mathbf {a} + mathbf {v}) приблизительно f (mathbf {a}) + f '(mathbf {a}) mathbf {v}.}$

Так же, как производная с одной переменной, ж ′(а) выбрано так, чтобы погрешность этого приближения была как можно меньше.

Если п и м оба едины, то производная ж ′(а) это число, а выражение ж ′(а)v это произведение двух чисел. Но в высших измерениях это невозможно ж ′(а) быть числом. Если бы это было число, то ж ′(а)v будет вектором в р^п в то время как другие члены будут векторами в р^м, и поэтому формула не имеет смысла. Чтобы формула линейного приближения имела смысл, ж ′(а) должна быть функцией, которая отправляет векторы в р^п к векторам в р^м, и ж ′(а)v должен обозначать эту функцию, вычисленную в v.

Чтобы определить, что это за функция, обратите внимание, что формулу линейного приближения можно переписать как

${displaystyle f (mathbf {a} + mathbf {v}) -f (mathbf {a}) приблизительно f '(mathbf {a}) mathbf {v}.}$

Обратите внимание, что если мы выберем другой вектор ш, то это приближенное уравнение определяет другое приближенное уравнение путем подстановки ш за v. Он определяет третье приближенное уравнение, подставляя оба ш за v и а + v за а. Вычитая эти два новых уравнения, мы получаем

${displaystyle f (mathbf {a} + mathbf {v} + mathbf {w}) -f (mathbf {a} + mathbf {v}) -f (mathbf {a} + mathbf {w}) + f (mathbf { a}) приблизительно f '(mathbf {a} + mathbf {v}) mathbf {w} -f' (mathbf {a}) mathbf {w}.}$

Если предположить, что v мала и что производная непрерывно изменяется в а, тогда ж ′(а + v) примерно равно ж ′(а), а значит, правая часть примерно равна нулю. Левую часть можно переписать по-другому, используя формулу линейной аппроксимации с v + ш заменен на v. Из формулы линейной аппроксимации следует:

${displaystyle {egin {align} 0 & приблизительно f (mathbf {a} + mathbf {v} + mathbf {w}) -f (mathbf {a} + mathbf {v}) -f (mathbf {a} + mathbf {w}) ) + f (mathbf {a}) & = (f (mathbf {a} + mathbf {v} + mathbf {w}) -f (mathbf {a})) - (f (mathbf {a} + mathbf { v}) -f (mathbf {a})) - (f (mathbf {a} + mathbf {w}) -f (mathbf {a})) & приблизительно f '(mathbf {a}) (mathbf {v} + mathbf {w}) -f '(mathbf {a}) mathbf {v} -f' (mathbf {a}) mathbf {w} .end {выровнено}}}$

Это говорит о том, что ж ′(а) это линейное преобразование из векторного пространства р^п в векторное пространство р^м. Фактически, это возможно сделать точный вывод, измерив погрешность приближений. Предположим, что ошибка в этой формуле линейного приближения ограничена постоянным временем ||v||, где постоянная не зависит от v но постоянно зависит от а. Затем, после добавления соответствующего члена ошибки, все приведенные выше приблизительные равенства можно перефразировать как неравенства. Особенно, ж ′(а) является линейным преобразованием с точностью до малой погрешности. В пределе как v и ш стремятся к нулю, следовательно, это должно быть линейное преобразование. Поскольку мы определяем полную производную, беря предел как v идет в ноль, ж ′(а) должно быть линейное преобразование.

В одной переменной тот факт, что производная является наилучшим линейным приближением, выражается тем фактом, что это предел разностных отношений. Однако обычный коэффициент разности не имеет смысла в более высоких измерениях, потому что обычно невозможно разделить векторы. В частности, числитель и знаменатель разностного частного даже не находятся в одном и том же векторном пространстве: числитель находится в кодомене р^м а знаменатель лежит в области р^п. Кроме того, производная - это линейное преобразование, объект, отличный от числителя и знаменателя. Чтобы уточнить идею, что ж ′(а) является наилучшим линейным приближением, необходимо адаптировать другую формулу для производной с одной переменной, в которой эти проблемы исчезают. Если ж : р → р, то обычное определение производной можно изменить, чтобы показать, что производная от ж в а это уникальный номер ж ′(а) такой, что

${displaystyle lim _ {h o 0} {frac {f (a + h) - (f (a) + f '(a) h)} {h}} = 0.}$

Это эквивалентно

${displaystyle lim _ {h o 0} {гидроразрыв {| f (a + h) - (f (a) + f '(a) h) |} {| h |}} = 0}$

потому что предел функции стремится к нулю тогда и только тогда, когда предел абсолютного значения функции стремится к нулю. Эту последнюю формулу можно адаптировать к ситуации с множеством переменных, заменив абсолютные значения на нормы.

Определение полная производная из ж в а, следовательно, это единственное линейное преобразование ж ′(а) : р^п → р^м такой, что

${displaystyle lim _ {mathbf {h} o 0} {frac {lVert f (mathbf {a} + mathbf {h}) - (f (mathbf {a}) + f '(mathbf {a}) mathbf {h}) ) Vert} {lVert mathbf {h} Vert}} = 0.}$

Здесь час вектор в р^п, поэтому нормой в знаменателе является стандартная длина на р^п. Тем не мение, ж′(а)час вектор в р^м, а норма в числителе - стандартная длина на р^м. Если v вектор, начинающийся в а, тогда ж ′(а)v называется продвигать из v к ж и иногда пишется ж_∗v.

Если полная производная существует при а, то все частные производные и производные по направлениям ж существовать в а, и для всех v, ж ′(а)v является производной по направлению от ж в направлении v. Если мы напишем ж используя координатные функции, так что ж = (ж₁, ж₂, ..., ж_м), то полная производная может быть выражена с использованием частных производных как матрица. Эта матрица называется Матрица якобиана из ж в а:

${displaystyle f '(mathbf {a}) = operatorname {Jac} _ {mathbf {a}} = left ({frac {partial f_ {i}} {partial x_ {j}}} ight) _ {ij}.}$

Существование полной производной ж′(а) строго сильнее, чем существование всех частных производных, но если частные производные существуют и непрерывны, то полная производная существует, задается якобианом и непрерывно зависит от а.

Определение полной производной включает определение производной одной переменной. То есть, если ж является действительной функцией действительной переменной, то полная производная существует тогда и только тогда, когда существует обычная производная. Матрица Якоби сводится к матрице 1 × 1, единственным элементом которой является производная ж′(Икс). Эта матрица 1 × 1 удовлетворяет тому свойству, что ж(а + час) − (ж(а) + ж ′(а)час) приблизительно равно нулю, другими словами, что

${displaystyle f (a + h) приблизительно f (a) + f '(a) h.}$

Вплоть до изменения переменных это утверждение, что функция ${displaystyle xmapsto f (a) + f '(a) (x-a)}$ наилучшее линейное приближение к ж в а.

Полная производная функции не дает другую функцию так же, как в случае одной переменной. Это связано с тем, что полная производная функции многих переменных должна записывать гораздо больше информации, чем производная функции одной переменной. Вместо этого полная производная дает функцию от касательный пучок источника к касательному пучку цели.

Естественный аналог полных производных второго, третьего и более высоких порядков не является линейным преобразованием, не является функцией на касательном расслоении и не строится путем многократного взятия полной производной. Аналог производной высшего порядка, называемый струя, не может быть линейным преобразованием, поскольку производные более высокого порядка отражают тонкую геометрическую информацию, такую ​​как вогнутость, которую нельзя описать в терминах линейных данных, таких как векторы. Это не может быть функцией касательного расслоения, потому что касательное расслоение имеет место только для базового пространства и производных по направлениям. Поскольку струи захватывают информацию более высокого порядка, они принимают в качестве аргументов дополнительные координаты, представляющие изменения направления более высокого порядка. Пространство, определяемое этими дополнительными координатами, называется струйный пучок. Связь между полной производной и частными производными функции аналогична соотношению между kструя-го порядка функции и ее частные производные порядка меньше или равного k.

Повторно взяв полную производную, можно получить более высокие версии Производная Фреше специализируется на р^п. В kПолная производная-го порядка может быть интерпретирована как карта

${displaystyle D ^ {k} f: mathbb {R} ^ {n} o L ^ {k} (mathbb {R} ^ {n} imes cdots imes mathbb {R} ^ {n}, mathbb {R} ^ { m})}$

что берет точку Икс в р^п и присваивает ему элемент пространства k-линейные карты из р^п к р^м - «лучший» (в определенном точном смысле) k-линейное приближение к ж в таком случае. Предварительно составив его с диагональная карта Δ, Икс → (Икс, Икс), обобщенный ряд Тейлора можно начать как

${displaystyle {egin {выровнено} f (mathbf {x}) & приблизительно f (mathbf {a}) + (Df) (mathbf {xa}) + left (D ^ {2} fight) (Delta (mathbf {xa}) ) + cdots & = f (mathbf {a}) + (Df) (mathbf {xa}) + left (D ^ {2} fight) (mathbf {xa}, mathbf {xa}) + cdots & = f (mathbf {a}) + sum _ {i} (Df) _ {i} (x_ {i} -a_ {i}) + sum _ {j, k} left (D ^ {2} fight) _ {jk } (x_ {j} -a_ {j}) (x_ {k} -a_ {k}) + конец CD {выровнен}}}$

где f (а) отождествляется с постоянной функцией, Икс_я − а_я компоненты вектора Икс − а, и (Df)_я и (D²ж)_jk компоненты Df и D²ж как линейные преобразования.

Обобщения

Концепция производной может быть расширена на многие другие параметры. Общей нитью является то, что производная функции в точке служит линейное приближение функции в этой точке.

• Важное обобщение производных проблем сложные функции из комплексные переменные, например, функции из (области в) комплексных чисел C к C. Понятие производной такой функции получается заменой вещественных переменных комплексными переменными в определении. Если C отождествляется с р² написав комплексное число z в качестве Икс + иу, то дифференцируемая функция из C к C безусловно дифференцируема как функция от р² к р² (в том смысле, что все его частные производные существуют), но в целом обратное неверно: комплексная производная существует только в том случае, если действительная производная равна сложный линейный и это налагает отношения между частными производными, называемые Уравнения Коши – Римана - видеть голоморфные функции.
• Другое обобщение касается функций между дифференцируемые или гладкие многообразия. Интуитивно говоря, такое многообразие M это пространство, которое можно аппроксимировать около каждой точки Икс векторным пространством, называемым его касательное пространство: прототипом является гладкая поверхность в р³. Производная (или дифференциал) (дифференцируемого) отображения ж: M → N между коллекторами, в точке Икс в M, тогда линейная карта из касательного пространства M в Икс к касательному пространству N в ж(Икс). Производная функция становится картой между касательные пучки из M и N. Это определение является основным в дифференциальная геометрия и имеет много применений - см. pushforward (дифференциал) и откат (дифференциальная геометрия).
• Дифференциация также может быть определена для карт между бесконечное измерение векторные пространства Такие как Банаховы пространства и Пространства фреше. Существует обобщение обеих производных по направлению, называемое Производная Гато, и дифференциала, называемого Производная Фреше.
• Один из недостатков классической производной состоит в том, что очень многие функции не дифференцируемы. Тем не менее, есть способ расширить понятие производной так, чтобы все непрерывный функции и многие другие функции можно различать с помощью концепции, известной как слабая производная. Идея состоит в том, чтобы встроить непрерывные функции в большее пространство, называемое пространством распределения и требуют только, чтобы функция была дифференцируемой «в среднем».
• Свойства производной вдохновили на введение и изучение многих подобных объектов в алгебре и топологии - см., Например, дифференциальная алгебра.
• Дискретный эквивалент дифференцирования есть конечные разности. Изучение дифференциального исчисления объединено с исчислением конечных разностей в исчисление шкалы времени.
• Также см арифметическая производная.

История

Исчисление, известный в своей ранней истории как исчисление бесконечно малых, это математический дисциплина сосредоточена на пределы, функции, производные, интегралы, и бесконечная серия. Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц независимо открыл исчисление в середине 17 века. Однако каждый изобретатель утверждал, что другой украл его работу в горький спор это продолжалось до конца их жизни.

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

Библиография

Распечатать

Интернет-книги

внешняя ссылка

• «Производная», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Ханская академия: «Ньютон, Лейбниц и Усэйн Болт»
• Вайсштейн, Эрик В. «Производная». MathWorld.
• Онлайн-калькулятор производных финансовых инструментов из вольфрам Альфа.