Каррирование - Википедия - Currying

В математика и Информатика, карри это техника преобразования функция это требует нескольких аргументы в последовательность функций, каждая из которых принимает один аргумент. Например, каррирование функции ${ displaystyle f}$ который принимает три аргумента, создает три функции:

${ displaystyle { begin {align} x = f (a, b, c) & { text {становится:}} h = g (a) i = h (b) x = i ( c) { text {или вызывается последовательно:}} x = g (a) (b) (c) end {выравнивается}}}$

Или, более абстрактно, функция, которая принимает два аргумента, один из ${ displaystyle X}$ и один из ${ displaystyle Y}$ , и производит выходные в ${ displaystyle Z,}$ путем каррирования преобразуется в функцию, которая принимает единственный аргумент из ${ displaystyle X}$ и производит как выходы функции из ${ displaystyle Y}$ к ${ displaystyle Z.}$ Каррирование связано, но не так, как частичное применение.

Каррирование полезно как в практических, так и в теоретических целях. В функциональные языки программирования и многие другие, он предоставляет способ автоматического управления передачей аргументов функциям и исключениям. В теоретическая информатика, он позволяет изучать функции с несколькими аргументами в более простых теоретических моделях, которые предоставляют только один аргумент. Наиболее общие настройки для строгого определения каррирования и снятия каррирования находятся в закрытые моноидальные категории, который лежит в основе обширного обобщения Переписка Карри – Ховарда доказательств и программ для соответствия со многими другими структурами, включая квантовую механику, кобордизмы и теорию струн.^[1] Он был представлен Готтлоб Фреге,^[2]^[3] разработан Моисей Шёнфинкель,^[3]^[4]^[5]^[6]и далее развито Хаскелл Карри.^[7]^[8]

Не спеша это двойной преобразование в каррирование, и его можно рассматривать как форму дефункционализация. Требуется функция ${ displaystyle f}$ возвращаемое значение - другая функция ${ displaystyle g}$ , и дает новую функцию ${ displaystyle f '}$ который принимает в качестве параметров аргументы для обоих ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$ , и возвращает, в результате, применение ${ displaystyle f}$ и впоследствии, ${ displaystyle g}$ , к этим аргументам. Процесс можно повторять.

Мотивация

Каррирование позволяет работать с функциями, которые принимают несколько аргументов, и использовать их в средах, где функции могут принимать только один аргумент. Например, некоторые аналитические методы может применяться только к функции с одним аргументом. Практические функции часто принимают больше аргументов, чем это. Frege показали, что достаточно предоставить решения для случая с одним аргументом, поскольку вместо этого можно преобразовать функцию с несколькими аргументами в цепочку функций с одним аргументом. Это преобразование называется каррированием.^[9] Все "обычные" функции, которые обычно встречаются в математический анализ или в компьютерное программирование можно карри. Однако есть категории, в которых каррирование невозможно; самые общие категории, которые позволяют каррирование: закрытые моноидальные категории.

Немного языки программирования почти всегда используют каррированные функции для получения нескольких аргументов; примечательные примеры ML и Haskell, где в обоих случаях все функции имеют ровно один аргумент. Это свойство унаследовано от лямбда-исчисление, где функции с несколькими аргументами обычно представлены в каррированной форме.

Каррирование связано, но не так, как частичное применение. На практике методика программирования закрытие может использоваться для частичного применения и своего рода каррирования, скрывая аргументы в среде, которая передается с функцией каррирования.

Иллюстрация

Предположим, у нас есть функция ${ displaystyle f: mathbb {R} times mathbb {R} to mathbb {R}}$ что занимает два настоящий номер ( ${ Displaystyle mathbb {R}}$ ) аргументы и выводит действительные числа, и это определяется ${ Displaystyle е (х, у) = х + у ^ {2}}$ . Каррирование переводит это в функцию ${ displaystyle h}$ который принимает единственный действительный аргумент и выводит функции из ${ Displaystyle mathbb {R}}$ к ${ Displaystyle mathbb {R}}$ . В символах ${ displaystyle h: mathbb {R} to mathbb {R} ^ { mathbb {R}}}$ , куда ${ Displaystyle mathbb {R} ^ { mathbb {R}}}$ обозначает набор всех функций, которые принимают единственный реальный аргумент и производят реальные выходные данные. Для каждого реального числа ${ displaystyle x}$ , определим функцию ${ displaystyle h_ {x}: mathbb {R} to mathbb {R}}$ к ${ displaystyle h_ {x} (y) = x + y ^ {2}}$ , а затем определим функцию ${ displaystyle h: mathbb {R} to mathbb {R} ^ { mathbb {R}}}$ к ${ Displaystyle ч (х) = ч_ {х}}$ . Так, например, ${ displaystyle h (2)}$ это функция, которая отправляет свой реальный аргумент ${ displaystyle y}$ к выходу ${ displaystyle 2 + y ^ {2}}$ , или же ${ displaystyle h (2) (y) = h_ {2} (y) = 2 + y ^ {2}}$ . Мы видим, что в целом

{ Displaystyle ч (х) (у) = х + у ^ {2} = е (х, у)}

так что исходная функция ${ displaystyle f}$ и его каррирование ${ displaystyle h}$ передают точно такую же информацию. В этой ситуации мы также пишем

{ displaystyle { text {curry}} (е) = ч.}

Это также работает для функций с более чем двумя аргументами. Если ${ displaystyle f}$ были функцией трех аргументов ${ displaystyle f (x, y, z)}$ , его карри ${ displaystyle h}$ будет иметь собственность

{ Displaystyle е (х, у, z) = час (х) (у) (г).}

История

Название «каррирование» придумал Кристофер Стрейчи в 1967 г.^{[нужна цитата ]}, это ссылка на логика Хаскелл Карри. Альтернативное название «Schönfinkelisation» было предложено в качестве ссылки на Моисей Шёнфинкель.^[10] В математическом контексте принцип можно проследить до работы в 1893 г. Frege.

Определение

Каррирование легче всего понять, если начать с неформального определения, которое затем можно адаптировать для многих различных областей. Во-первых, необходимо установить некоторые обозначения. Обозначение ${ Displaystyle от X до Y}$ обозначает все функции из ${ displaystyle X}$ к ${ displaystyle Y}$ . Если ${ displaystyle f}$ такая функция, запишем ${ displaystyle f двоеточие от X до Y}$ . Позволять ${ Displaystyle X раз Y}$ обозначить заказанные пары элементов ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ соответственно, то есть Декартово произведение из ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ . Здесь, ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ могут быть наборами, типами или объектами других типов, как описано ниже.

Учитывая функцию

{ Displaystyle е двоеточие (X раз Y) до Z}

,

карри создает новую функцию

{ displaystyle h двоеточие X to (Y to Z)}

.

То есть, ${ displaystyle h}$ принимает аргумент от ${ displaystyle X}$ и возвращает функцию, отображающую ${ displaystyle Y}$ к ${ displaystyle Z}$ . Это определяется

{ Displaystyle ч (х) (у) = е (х, у)}

за ${ displaystyle x}$ из ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle y}$ из ${ displaystyle Y}$ . Затем мы также пишем

{ displaystyle { text {curry}} (е) = ч.}

Не спеша является обратным преобразованием, и его легче всего понять в терминах правого сопряженного функция ${ displaystyle operatorname {apply}.}$

Теория множеств

В теория множеств, обозначение ${ displaystyle Y ^ {X}}$ используется для обозначения набор функций из набора ${ displaystyle X}$ к набору ${ displaystyle Y}$ . Каррирование - это естественная биекция между набором ${ displaystyle A ^ {B times C}}$ функций из ${ displaystyle B times C}$ к ${ displaystyle A}$ , а множество ${ displaystyle (A ^ {C}) ^ {B}}$ функций из ${ displaystyle B}$ к набору функций из ${ displaystyle C}$ к ${ displaystyle A}$ . В символах:

{ displaystyle A ^ {B times C} cong (A ^ {C}) ^ {B}}

В самом деле, именно эта естественная биекция оправдывает экспоненциальная запись для набора функций. Как и во всех случаях каррирования, приведенная выше формула описывает присоединенная пара функторов: для каждого фиксированного набора ${ displaystyle C}$ , функтор ${ Displaystyle B mapsto B times C}$ сопряжена слева к функтору ${ Displaystyle A mapsto A ^ {C}}$ .

в категория наборов, то объект ${ displaystyle Y ^ {X}}$ называется экспоненциальный объект.

Функциональные пространства

В теории функциональные пространства, например, в функциональный анализ или же теория гомотопии, обычно интересует непрерывные функции между топологические пространства. Один пишет ${ displaystyle { text {Hom}} (X, Y)}$ (в Hom функтор ) для набора все функции от ${ displaystyle X}$ к ${ displaystyle Y}$ , и использует обозначения ${ displaystyle Y ^ {X}}$ для обозначения подмножества непрерывных функций. Здесь, ${ displaystyle { text {curry}}}$ это биекция

{ displaystyle { text {curry}}: { text {Hom}} (X times Y, Z) to { text {Hom}} (X, { text {Hom}} (Y, Z) ),}

в то время как uncurrying - обратная карта. Если набор ${ displaystyle Y ^ {X}}$ непрерывных функций из ${ displaystyle X}$ к ${ displaystyle Y}$ дается компактно-открытая топология, а если пробел ${ displaystyle Y}$ является локально компактный Хаусдорф, тогда

{ displaystyle { text {curry}}: Z ^ {X times Y} to (Z ^ {Y}) ^ {X}}

это гомеоморфизм. Это также верно, когда ${ displaystyle X}$ , ${ displaystyle Y}$ и ${ displaystyle Y ^ {X}}$ находятся компактно генерируемый,^[11]^{(Глава 5)}^[12] хотя есть еще случаи.^[13]^[14]

Одно полезное следствие состоит в том, что функция непрерывна если и только если его карри форма непрерывна. Еще один важный результат: карта приложения, обычно называемый "оценкой" в этом контексте, является непрерывным (обратите внимание, что оценка это совершенно другая концепция в информатике.)

${ displaystyle { begin {align} && { text {eval}}: Y ^ {X} times X to Y && (f, x) mapsto f (x) end {выравнивается}}}$

непрерывно, когда ${ displaystyle Y ^ {X}}$ компактно-открытый и ${ displaystyle Y}$ локально компактный Хаусдорф.^[15] Эти два результата являются центральными для установления преемственности гомотопия, т.е. когда ${ displaystyle X}$ это единичный интервал ${ displaystyle I}$ , так что ${ displaystyle Z ^ {I times Y} cong (Z ^ {Y}) ^ {I}}$ может рассматриваться как гомотопия двух функций из ${ displaystyle Y}$ к ${ displaystyle Z}$ , или, что то же самое, одиночный (непрерывный) путь в ${ Displaystyle Z ^ {Y}}$ .

Алгебраическая топология

В алгебраическая топология каррирование служит примером Двойственность Экмана – Хилтона, и, как таковой, играет важную роль в различных условиях. Например, пространство петли примыкает к уменьшенная приостановка; это обычно записывается как

{ Displaystyle [ Sigma X, Z] приблизительно [X, Omega Z]}

куда ${ displaystyle [A, B]}$ это набор гомотопические классы карт ${ displaystyle A rightarrow B}$ , и ${ displaystyle Sigma A}$ это приостановка из А, и ${ displaystyle Omega A}$ это пространство петли из А. По сути, подвеска ${ displaystyle Sigma X}$ можно рассматривать как декартово произведение ${ displaystyle X}$ с единичным интервалом по модулю отношения эквивалентности, чтобы превратить интервал в цикл. Карри форма затем отображает пространство ${ displaystyle X}$ в пространство функций из циклов в ${ displaystyle Z}$ , то есть из ${ displaystyle X}$ в ${ displaystyle Omega Z}$ .^[15] потом ${ displaystyle { text {curry}}}$ это присоединенный функтор который отображает подвесы в пространства петель, а uncurrying является двойственным.^[15]

Двойственность между картографический конус и отображающий слой (кофибрация и расслоение )^[11]^{(главы 6,7)} можно понимать как форму каррирования, что, в свою очередь, приводит к двойственности длинный точный и согласовывать Последовательности кукол.

В гомологическая алгебра, взаимосвязь между каррированием и снятием каррирования известна как тензор-гом присоединение. Здесь возникает интересный поворот: Hom функтор и тензорное произведение функтор может не поднимать для точная последовательность; это приводит к определению Функтор Ext и Функтор Tor.

Теория предметной области

В теория порядка, то есть теория решетки из частично упорядоченные наборы, ${ displaystyle { text {curry}}}$ это непрерывная функция когда решетке задана Топология Скотта.^[16] Непрерывные по Скотту функции были впервые исследованы в попытке предоставить семантику для лямбда-исчисление (поскольку обычной теории множеств для этого недостаточно). В более общем плане непрерывные по Скотту функции теперь изучаются в теория предметной области, который включает в себя изучение денотационная семантика компьютерных алгоритмов. Обратите внимание, что топология Скотта сильно отличается от многих распространенных топологий, которые можно встретить в категория топологических пространств; топология Скотта обычно тоньше, и не трезвый.

Понятие непрерывности проявляется в теория гомотопического типа, где, грубо говоря, две компьютерные программы можно считать гомотопными, т.е. вычислять одни и те же результаты, если они могут быть "непрерывно" рефакторинг от одного к другому.

Лямбда-исчисления

В теоретическая информатика, каррирование позволяет изучать функции с несколькими аргументами в очень простых теоретических моделях, таких как лямбда-исчисление, в котором функции принимают только один аргумент. Рассмотрим функцию ${ displaystyle f (x, y)}$ принимая два аргумента и имея тип ${ Displaystyle (Х раз Y) до Z}$ , что следует понимать так, что Икс должен иметь тип ${ displaystyle X}$ , у должен иметь тип ${ displaystyle Y}$ , а сама функция возвращает тип ${ displaystyle Z}$ . Карри форма ж определяется как

{ Displaystyle { текст {карри}} (е) = лямбда х. ( лямбда у. (е (х, у)))}

куда ${ displaystyle lambda}$ является абстрактором лямбда-исчисления. Поскольку карри принимает в качестве входных данных функции с типом ${ Displaystyle (Х раз Y) до Z}$ , можно сделать вывод, что сам тип карри

{ displaystyle { text {curry}}: ((X times Y) to Z) to (X to (Y to Z))}

Оператор → часто рассматривается правоассоциативный, поэтому тип каррированной функции ${ Displaystyle X к (Y к Z)}$ часто пишется как ${ Displaystyle от X до Y до Z}$ . Наоборот, приложение-функция считается левоассоциативный, так что ${ displaystyle f (x, y)}$ эквивалентно

{ Displaystyle (({ текст {карри}} (е) ; х) ; у) = { текст {карри}} (е) ; х ; у}

.

То есть круглые скобки не требуются, чтобы однозначно определить порядок приложения.

Каррированные функции могут использоваться в любых язык программирования что поддерживает закрытие; однако неторопливые функции обычно предпочтительны из соображений эффективности, так как в этом случае можно избежать накладных расходов на частичное приложение и создание замыкания для большинства вызовов функций.

Теория типов

В теория типов, общая идея система типов в информатике формализуется в особую алгебру типов. Например, при написании ${ displaystyle f двоеточие от X до Y}$ , цель состоит в том, чтобы ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ находятся типы, а стрелка ${ displaystyle to}$ это конструктор типов, в частности, тип функции или типа стрелки. Аналогично декартово произведение ${ Displaystyle X раз Y}$ типов строится Тип продукта конструктор ${ displaystyle times}$ .

Теоретико-типовой подход выражен в языках программирования, таких как ML и языки, производные от него и вдохновленные им: CaML, Haskell и F #.

Теоретико-типовой подход является естественным дополнением к языку теория категорий, как описано ниже. Это потому, что категории, в частности, моноидальные категории, есть внутренний язык, с просто типизированное лямбда-исчисление являясь наиболее ярким примером такого языка. Это важно в этом контексте, потому что его можно построить из конструктора одного типа, типа стрелки. Затем карринг наделяет язык естественным типом продукта. Соответствие между объектами в категориях и типах затем позволяет интерпретировать языки программирования как логику (через Переписка Карри – Ховарда ), а также других типов математических систем, о которых будет сказано ниже.

Логика

Под Переписка Карри – Ховарда, существование currying и uncurrying эквивалентно логической теореме ${ Displaystyle (A земля B) к C Leftrightarrow A к (B к C)}$ , так как кортежи (Тип продукта ) соответствует конъюнкции в логике, а тип функции - импликации.

В экспоненциальный объект ${ displaystyle Q ^ {P}}$ в категории Гейтинговые алгебры обычно записывается как материальное значение ${ displaystyle P to Q}$ . Дистрибутивные алгебры Гейтинга являются Булевы алгебры, а экспоненциальный объект имеет явный вид ${ displaystyle neg P lor Q}$ , давая понять, что экспоненциальный объект действительно материальное значение.^[17]

Теория категорий

Приведенные выше понятия каррирования и снятия сдерживания находят свое наиболее общее абстрактное утверждение в теория категорий. Каррирование - это универсальная собственность из экспоненциальный объект, и вызывает примыкание в декартовы закрытые категории. То есть есть естественный изоморфизм между морфизмы из бинарный продукт ${ Displaystyle е двоеточие (X раз Y) до Z}$ и морфизмы в экспоненциальный объект ${ displaystyle g двоеточие X в Z ^ {Y}}$ .

Это обобщает на более широкий результат в закрытые моноидальные категории: Каррирование - это утверждение, что тензорное произведение и внутренний Hom находятся присоединенные функторы; то есть для каждого объекта ${ displaystyle B}$ Существует естественный изоморфизм:

{ displaystyle mathrm {Hom} (A otimes B, C) cong mathrm {Hom} (A, B Rightarrow C).}

Здесь, Hom обозначает (внешний) Hom-функтор всех морфизмов в категории, а ${ Displaystyle B Rightarrow C}$ обозначает внутренний гом-функтор в замкнутой моноидальной категории. Для категория наборов, эти два одинаковые. Когда произведение является декартовым произведением, тогда внутреннее hom ${ Displaystyle B Rightarrow C}$ становится экспоненциальным объектом ${ displaystyle C ^ {B}}$ .

Каррирование может нарушиться одним из двух способов. Один - если категория не закрыто, и, следовательно, не имеет внутреннего гом-функтора (возможно, из-за того, что существует более одного выбора для такого функтора). Другой способ, если это не так моноидальный, и, следовательно, не имеет продукта (то есть не имеет способа записывать пары объектов). Категории, в которых есть как продукты, так и внутренние предметы, в точности являются закрытыми моноидальными категориями.

Установки декартовых закрытых категорий достаточно для обсуждения классическая логика; более общая установка замкнутых моноидальных категорий подходит для квантовые вычисления.^[18]

Разница между ними в том, что товар для декартовых категорий (таких как категория наборов, полные частичные заказы или же Гейтинговые алгебры ) это просто Декартово произведение; это интерпретируется как упорядоченная пара пунктов (или список). Просто типизированное лямбда-исчисление это внутренний язык декартовых закрытых категорий; и именно по этой причине пары и списки являются основными типы в теория типов из LISP, схема и много функциональные языки программирования.

Напротив, продукт для моноидальные категории (Такие как Гильбертово пространство и векторные пространства из функциональный анализ ) это тензорное произведение. Внутренний язык таких категорий - линейная логика, форма квантовая логика; соответствующий система типов это система линейного типа. Такие категории подходят для описания запутанные квантовые состояния, и, в более общем плане, позволяют обширное обобщение Переписка Карри – Ховарда к квантовая механика, к кобордизмы в алгебраическая топология, и чтобы теория струн.^[1] В система линейного типа, и линейная логика полезны для описания примитивы синхронизации, например, взаимоисключающие замки и работа торговых автоматов.

Контраст с частичным применением функции

Каррирование и приложение с частичными функциями часто смешивают.^[19] Одно из существенных различий между ними заключается в том, что вызов частично примененной функции сразу возвращает результат, а не другую функцию в цепочке каррирования; это различие можно ясно проиллюстрировать для функций, арность больше двух.^[20]

Учитывая функцию типа ${ Displaystyle е двоеточие (X раз Y раз Z) к N}$ , каррирование производит ${ displaystyle { text {curry}} (е) двоеточие X to (Y to (Z to N))}$ . То есть, хотя оценка первой функции может быть представлена как ${ Displaystyle f (1,2,3)}$ , оценка каррированной функции будет представлена как ${ displaystyle f _ { text {curried}} (1) (2) (3)}$ , применяя каждый аргумент по очереди к функции с одним аргументом, возвращенной предыдущим вызовом. Обратите внимание, что после вызова ${ displaystyle f _ { text {curried}} (1)}$ , у нас остается функция, которая принимает один аргумент и возвращает другую функцию, а не функцию, которая принимает два аргумента.

В отличие, приложение с частичной функцией относится к процессу фиксации ряда аргументов функции, создавая другую функцию меньшей арности. Учитывая определение ${ displaystyle f}$ выше, мы могли бы исправить (или «привязать») первый аргумент, создав функцию типа ${ displaystyle { text {partial}} (е) двоеточие (Y times Z) to N}$ . Оценка этой функции может быть представлена как ${ displaystyle f _ { text {partial}} (2,3)}$ . Обратите внимание, что результатом частичного применения функции в этом случае является функция, которая принимает два аргумента.

Интуитивно понятно, что приложение с частичной функцией говорит: "Если вы исправите первый аргумент функции, вы получите функцию оставшихся аргументов ". Например, если функция div означает операцию деления Икс/у, тогда div с параметром Икс фиксируется на 1 (т.е. div 1) - это другая функция: такая же, как функция inv который возвращает мультипликативное обратное значение своего аргумента, определяемого inv(у) = 1/у.

Практическая мотивация частичного применения состоит в том, что очень часто функции, полученные путем предоставления некоторых, но не всех аргументов функции, полезны; например, во многих языках есть функция или оператор, аналогичный плюс один. Частичное применение упрощает определение этих функций, например, путем создания функции, которая представляет оператор сложения с привязкой 1 в качестве первого аргумента.

Частичное приложение можно рассматривать как оценку каррированной функции в фиксированной точке, например данный ${ Displaystyle е двоеточие (X раз Y раз Z) к N}$ и ${ displaystyle a in X}$ тогда ${ displaystyle { text {curry}} ({ text {partial}} (f) _ {a}) (y) (z) = { text {curry}} (f) (a) (y) ( z)}$ или просто ${ displaystyle { text {partial}} (f) _ {a} = { text {curry}} _ {1} (f) (a)}$ куда ${ displaystyle { text {curry}} _ {1}}$ первый параметр curries f.

Таким образом, частичное применение сводится к каррированной функции в фиксированной точке. Кроме того, каррированная функция в фиксированной точке (тривиально) является частичным приложением. В качестве дополнительных доказательств обратите внимание, что для любой функции ${ displaystyle f (x, y)}$ , функция ${ Displaystyle г (у, х)}$ можно определить так, что ${ Displaystyle г (у, х) = е (х, у)}$ . Таким образом, любое частичное приложение можно свести к одной операции карри. Таким образом, карри более подходящим образом определяется как операция, которая во многих теоретических случаях часто применяется рекурсивно, но теоретически неотличима (если рассматривать ее как операцию) от частичного приложения.

Таким образом, частичное применение можно определить как объективный результат однократного применения оператора карри при некотором упорядочивании входных данных некоторой функции.

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б Джон С. Баэз и Майк Стэй "Физика, топология, логика и вычисления: розеттский камень ", (2009) ArXiv 0903.0340 в Новые структуры для физики, изд. Боб Кок, Конспект лекций по физике т. 813, Springer, Берлин, 2011 г., стр. 95-174.
^ Готтлоб Фреге, Grundgesetze der Arithmetik I, Йена: Verlag Hermann Pohle, 1893, §36.
^ ^а ^б Уиллард Ван Орман Куайн, Введение в Моисей Шёнфинкель "Bausteine der Mathematischen Logik", стр. 355–357, особенно. 355. Перевод Стефана Бауэра-Менгельберга как «О строительных блоках математической логики» в Жан ван Хейеноорт (1967), Справочник по математической логике, 1879–1931 гг.. Издательство Гарвардского университета, стр. 355–66.
^ Стрейчи, Кристофер (2000). «Основные понятия языков программирования». Вычисление высшего порядка и символическое вычисление. 13: 11–49. Дои:10.1023 / А: 1010000313106. S2CID 14124601. Существует устройство, разработанное Шенфинкелем, для сведения операторов с несколькими операндами к последовательному применению операторов с одним операндом.CS1 maint: ref = harv (связь) (Перепечатанные конспекты лекций 1967 г.)
^ Рейнольдс, Джон С. (1972). "Определительные интерпретаторы языков программирования высшего порядка". Материалы ежегодной конференции ACM. 2 (4): 717–740. Дои:10.1145/800194.805852. S2CID 163294. В последней строке мы использовали трюк под названием Currying (в честь логика Х. Карри), чтобы решить проблему введения двоичной операции в язык, где все функции должны принимать один аргумент. (Рефери замечает, что, хотя «Карриинг» вкуснее, «Шенфинкелинг» может быть более точным.)CS1 maint: ref = harv (связь)
^ Кеннет Слоннегер и Барри Л. Курц. Формальный синтаксис и семантика языков программирования. 1995. стр. 144.
^ Хенк Барендрегт, Эрик Барендсен "Введение в лямбда-исчисление ", Март 2000 г., стр. 8.
^ Карри, Хаскелл; Фейс, Роберт (1958). Комбинаторная логика. я (2-е изд.). Амстердам, Нидерланды: Издательская компания Северной Голландии.
^ Грэм Хаттон. «Часто задаваемые вопросы по comp.lang.functional: Currying». nott.ac.uk.
^ И. Хайм и А. Кратцер (1998). Семантика в генеративной грамматике. Блэквелл.
^ ^а ^б J.P. May, Краткий курс алгебраической топологии, (1999) Чикагские лекции по математике ISBN 0-226-51183-9
^ Компактно порожденное топологическое пространство в nLab
^ П. И. Бут и Дж. Тиллотсон "Моноидальные замкнутые, декартовы замкнутые и удобные категории топологических пространств ", Тихоокеанский математический журнал, 88 (1980) стр. 33-53.
^ Удобная категория топологических пространств в nLab
^ ^а ^б ^c Джозеф Дж. Ротман, Введение в алгебраическую топологию (1988) Спрингер-Верлаг ISBN 0-387-96678-1 (См. Доказательство в главе 11.)
^ Барендрегт, Х. (1984). Лямбда-исчисление. Северная Голландия. ISBN 978-0-444-87508-2. (См. Теоремы 1.2.13, 1.2.14)
^ Сондерс Мак Лейн и Иеке Мурдейк, Пучки в геометрии и логике (1992) Спрингер ISBN 0-387-97710-4 (См. Главу 1, стр. 48–57.)
^ Самсон Абрамски и Боб Кук "Категорическая семантика квантовых протоколов."
^ «Блог Uncarved: приложение с частичными функциями не выполняет каррирование». uncarved.com. Архивировано из оригинал на 2016-10-23.
^ «Функциональное программирование за 5 минут». Слайды.

внешняя ссылка

Карри Шенфинкеллинг на Репозиторий портлендских паттернов
Каррирование! = Обобщенное частичное приложение! - сообщение на Lambda-the-Ultimate.org

[rosetta-1] а ^б Джон С. Баэз и Майк Стэй "Физика, топология, логика и вычисления: розеттский камень ", (2009) ArXiv 0903.0340 в Новые структуры для физики, изд. Боб Кок, Конспект лекций по физике т. 813, Springer, Берлин, 2011 г., стр. 95-174.

[2] Готтлоб Фреге, Grundgesetze der Arithmetik I, Йена: Verlag Hermann Pohle, 1893, §36.

[:0-3] а ^б Уиллард Ван Орман Куайн, Введение в Моисей Шёнфинкель "Bausteine der Mathematischen Logik", стр. 355–357, особенно. 355. Перевод Стефана Бауэра-Менгельберга как «О строительных блоках математической логики» в Жан ван Хейеноорт (1967), Справочник по математической логике, 1879–1931 гг.. Издательство Гарвардского университета, стр. 355–66.

[4] Стрейчи, Кристофер (2000). «Основные понятия языков программирования». Вычисление высшего порядка и символическое вычисление. 13: 11–49. Дои:10.1023 / А: 1010000313106. S2CID 14124601. Существует устройство, разработанное Шенфинкелем, для сведения операторов с несколькими операндами к последовательному применению операторов с одним операндом.CS1 maint: ref = harv (связь) (Перепечатанные конспекты лекций 1967 г.)

[5] Рейнольдс, Джон С. (1972). "Определительные интерпретаторы языков программирования высшего порядка". Материалы ежегодной конференции ACM. 2 (4): 717–740. Дои:10.1145/800194.805852. S2CID 163294. В последней строке мы использовали трюк под названием Currying (в честь логика Х. Карри), чтобы решить проблему введения двоичной операции в язык, где все функции должны принимать один аргумент. (Рефери замечает, что, хотя «Карриинг» вкуснее, «Шенфинкелинг» может быть более точным.)CS1 maint: ref = harv (связь)

[6] Кеннет Слоннегер и Барри Л. Курц. Формальный синтаксис и семантика языков программирования. 1995. стр. 144.

[7] Хенк Барендрегт, Эрик Барендсен "Введение в лямбда-исчисление ", Март 2000 г., стр. 8.

[8] Карри, Хаскелл; Фейс, Роберт (1958). Комбинаторная логика. я (2-е изд.). Амстердам, Нидерланды: Издательская компания Северной Голландии.

[9] Грэм Хаттон. «Часто задаваемые вопросы по comp.lang.functional: Currying». nott.ac.uk.

[10] И. Хайм и А. Кратцер (1998). Семантика в генеративной грамматике. Блэквелл.

[may-11] а ^б J.P. May, Краткий курс алгебраической топологии, (1999) Чикагские лекции по математике ISBN 0-226-51183-9

[12] Компактно порожденное топологическое пространство в nLab

[13] П. И. Бут и Дж. Тиллотсон "Моноидальные замкнутые, декартовы замкнутые и удобные категории топологических пространств ", Тихоокеанский математический журнал, 88 (1980) стр. 33-53.

[14] Удобная категория топологических пространств в nLab

[rotman-15] а ^б ^c Джозеф Дж. Ротман, Введение в алгебраическую топологию (1988) Спрингер-Верлаг ISBN 0-387-96678-1 (См. Доказательство в главе 11.)

[16] Барендрегт, Х. (1984). Лямбда-исчисление. Северная Голландия. ISBN 978-0-444-87508-2. (См. Теоремы 1.2.13, 1.2.14)

[17] Сондерс Мак Лейн и Иеке Мурдейк, Пучки в геометрии и логике (1992) Спрингер ISBN 0-387-97710-4 (См. Главу 1, стр. 48–57.)

[18] Самсон Абрамски и Боб Кук "Категорическая семантика квантовых протоколов."

[19] «Блог Uncarved: приложение с частичными функциями не выполняет каррирование». uncarved.com. Архивировано из оригинал на 2016-10-23.

[20] «Функциональное программирование за 5 минут». Слайды.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]