Закрытая категория - Closed category

В теория категорий, филиал математика, а закрытая категория особый вид категория.

В местная малая категория, то внешний дом (Икс, у) отображает пару объектов в набор из морфизмы. Так что в категория наборов, это объект самой категории. Точно так же в закрытой категории (объект) морфизмов от одного объекта к другому можно рассматривать как лежащие внутри категории. Это внутренний дом [Икс, у].

Каждая закрытая категория имеет забывчивый функтор в категорию множеств, которая, в частности, переводит внутренний hom на внешний.

Определение

А закрытая категория можно определить как категория ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ с так называемым внутренний функтор Hom

${ displaystyle left [- - right]: { mathcal {C}} ^ {op} times { mathcal {C}} to { mathcal {C}}}$ ,

с левым Йонеда стрелы естественный в ${ displaystyle B}$ и ${ displaystyle C}$ и ненатуральный в ${ displaystyle A}$

${ Displaystyle L: влево [B C вправо] в влево [ влево [A B вправо] влево [A C вправо] вправо]}$

и с неподвижным объектом ${ displaystyle I}$ из ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ так что есть естественный изоморфизм

${ displaystyle i_ {A}: A cong left [I A right]}$

и естественное преобразование

${ displaystyle j_ {A}: I to left [A A right]. ,}$

Примеры

• Декартовы закрытые категории закрытые категории. В частности, любые топос закрыто. Канонический пример - это категория наборов.
• Компактные закрытые категории закрытые категории. Канонический пример - это категория FdVect с конечномерными векторные пространства как объекты и линейные карты как морфизмы.
• В общем, любой моноидальная замкнутая категория это закрытая категория. В этом случае объект ${ displaystyle I}$ - моноидальная единица.

Рекомендации

• Эйленберг, С. & Келли, Г. Закрытые категории Материалы конференции по категориальной алгебре. (La Jolla, 1965) Springer. 1966. С. 421–562.
• Закрытая категория в nLab