Макс Келли - Max Kelly

Грегори Максвелл "Макс" Келли (5 июня 1930 - 26 января 2007), математик, основатель процветающей австралийской школы теория категорий.

Уроженец Австралия Келли получил докторскую степень в Кембриджский университет в гомологическая алгебра в 1957 г., опубликовав свою первую статью в этой области в 1959 г., Однопространственные аксиомы теории гомологий. Он преподавал на кафедре чистой математики в Сиднейский университет с 1957 по 1966 год, пройдя путь от лектора до читателя. В 1963–1965 годах он был приглашенным научным сотрудником в Тулейнский университет и Университет Иллинойса, где с Сэмюэл Эйленберг он формализовал и развил понятие обогащенная категория основанный на тогдашней интуиции о том, гомсеты категории столь же абстрактной, как и сами объекты.

Впоследствии он разработал это понятие значительно более подробно в своей монографии 1982 г. Основные понятия теории обогащенных категорий (далее сокращенно BCECT). Позволять ${ displaystyle { cal {V}}}$ быть моноидальная категория, и обозначим через ${ displaystyle { cal {V}}}$-Кошка категории ${ displaystyle { cal {V}}}$-обогащенные категории. Помимо прочего, Келли показал, что ${ displaystyle { cal {V}}}$-Cat имеет все взвешенные пределы и копределы, даже если ${ displaystyle { cal {V}}}$ не имеет всех обычных пределов и копределов. Он также разработал обогащенные аналоги Кан расширения, плотность Йонеда вложение, и по существу алгебраические теории. Явно фундаментальная роль категории Набор в его трактовке заслуживает внимания с учетом народной интуиции, согласно которой обогащенные категории освобождают теорию категорий от последних остатков Набор как область области обычного внешнего гом-функтора.

В 1967 году Келли был назначен профессором чистой математики в Университет Нового Южного Уэльса. В 1972 году он был избран Член Австралийской академии наук. Он вернулся в Сиднейский университет в 1973 году и работал профессором математики до выхода на пенсию в 1994 году. В 2001 году он был удостоен награды правительства Австралии. Столетняя медаль. Он продолжал работать на кафедре в качестве научного сотрудника и почетного профессора до своей смерти в возрасте 76 лет 26 января 2007 года.

Келли работал над многими другими аспектами теории категорий, помимо расширенных категорий, как индивидуально, так и в рамках ряда плодотворных совместных работ. Его аспирант Росс-стрит Сам является известным теоретиком категорий и одним из первых участников австралийской школы теории категорий.

Следующий аннотированный список статей включает в себя несколько работ, написанных не Келли, которые охватывают тесно связанные работы.

Структуры по категориям

• Келли, Г. М. (2005) [1982]. «Основные понятия теории обогащенных категорий». Перепечатки в теории и приложениях категорий. 10: 1–136. Первоначально опубликовано как Серия конспектов лекций Лондонского математического общества 64 к Издательство Кембриджского университета в 1982 г. Эта книга обеспечивает как фундаментальное развитие теории расширенных категорий, так и в последних двух главах исследование обобщенных по существу алгебраических теорий в расширенном контексте. Главы: 1. Элементарные понятия; 2. Категории функторов; 3. Индексированные [т.е. взвешенные] пределы и копределы; 4. Кан расширения; 5. Плотность; 6. Существенно-алгебраические теории, определяемые регламентом и набросками.

Во многих статьях Келли обсуждаются структуры, которые могут нести категории. Вот несколько его работ по этой теме. В дальнейшем "SLNM" означает Конспект лекций по математике, а названия четырех журналов, наиболее часто публикующих исследования по категориям, сокращены следующим образом: JPAA = Журнал чистой и прикладной алгебры, TAC = Теория и приложения категорий, ACS = Прикладные категориальные структуры, CTGDC = Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques (Том XXV (1984) и позже), CTGD = Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle (Том XXIV (1983) и ранее). Веб-сайт, архивирующий как CTGD и CTGDC является здесь.

Предварительные мероприятия

• Келли, Г. М.; Улица, Росс (1974). «Обзор элементов 2-х категорий». Категория семинара (Proceedings Sydney Category Theory Seminar 1972/1973). SLNM. 420. С. 75–103. Дои:10.1007 / BFb0063101. ISBN  978-3-540-06966-9. «В § 1 мы репетируем самые элементарные факты о [двойных категориях и] 2-категориях ... в основном для того, чтобы ввести наши обозначения и особенно операцию вставки, которую мы используем постоянно. В § 2 мы используем операцию вставки, чтобы дать трактовку , который кажется нам более простым и полным, чем все, что мы видели, [биекции «товарищей»] ${ displaystyle (бу, u'a) cong (f'b, af)}$ вытекающие из дополнений ${ displaystyle f dashv u}$ и ${ displaystyle f ' dashv u'}$ в любой 2-й категории и ее естественности. В § 3 мы напоминаем основные свойства монад в 2-категории, а затем упоминаем некоторые их обогащения, которые становятся доступными в 2-категории 2-категорий (потому что это действительно 3-категория). Обсуждение семинара по расширению Kan от Димитрия Заганидиса, 09.03.2014

Некоторые особые категории конструкций могут нести

• Келли, Г. М. (1965). «Тензорные продукты по категориям». J. Алгебра. 2: 15–37. Дои:10.1016/0021-8693(65)90022-0.

• Эйленберг, Самуэль; Келли, Дж. Макс (1966). «Закрытые категории». Труды конференции по категориальной алгебре (Ла Холья, 1965). Springer-Verlag. С. 421–562. Дои:10.1007/978-3-642-99902-4_22. ISBN  978-3-642-99902-4.

• Келли, Г. М. (1986). «Обзор совокупности обогащенных и обычных категорий». CTGDC. 27 (2): 109–132. МИСТЕР  0850527.

• Им, Гын Бин; Келли, Г. М. (1986). «Универсальное свойство сверточной моноидальной структуры». JPAA. 43 (1): 75–88. Дои:10.1016/0022-4049(86)90005-8.

Категории с несколькими структурами или многими

• Foltz, F .; Lair, C .; Келли, Г. М. (1980). «Алгебраические категории с небольшим количеством моноидальных биклапанных структур или без них». JPAA. 17 (2): 171–177. Дои:10.1016/0022-4049(80)90082-1.

• Келли, Г. М.; Росси, Ф. (1985). «Топологические категории со многими симметричными моноидальными замкнутыми структурами». Бык. Austral. Математика. Soc. 31 (1): 41–59. Дои:10.1017 / S0004972700002264.

Клубы

• Келли, Г. М. (1972). «Абстрактный подход к согласованности». Согласованность в категориях. SLNM. 281. С. 106–147. Дои:10.1007 / BFb0059557. ISBN  978-3-540-05963-9. В основном синтаксические клубы и способы их подачи. Близко к статье «Функториальное исчисление многих переменных. I».

• Келли, Г. М. (1974). «О клубах и учениях». Категория семинара (Proceedings Sydney Category Theory Seminar 1972/1973). SLNM. 420. С. 181–256. Дои:10.1007 / BFb0063104. ISBN  978-3-540-06966-9.

• Келли, Г. М. (1992). «О клубах и конструкторах типов данных». Приложения категорий в компьютерных науках (Труды симпозиума Лондонского математического общества, Дарем, 1991 г.). Издательство Кембриджского университета. С. 163–190. Дои:10.1017 / CBO9780511525902.010. ISBN  9780511525902. Обсуждение семинара по расширению Kan, 17 апреля 2017 г., автор: Pierre Cagne

• Гарнер, Ричард (2006). "Двойные клубы". CTGDC. 47 (4): 261–317. arXiv:math.CT / 0606733.

Согласованность

Для обзора более ранних и более поздних взглядов Келли на согласованность см. «Абстрактный подход к согласованности» (1972) и «О клубах и конструкторах типов данных» (1992), перечисленные в разделе о клубах.

• Мак-Лейн, Сондерс (1963). «Естественная ассоциативность и коммутативность». Исследования Университета Райса. 49 (4): 28–46. HDL:1911/62865.

• Келли, Г. М. (1964). «Об условиях Маклейна когерентности естественной ассоциативности, коммутативности и т. Д.». J. Алгебра. 1 (4): 397–402. Дои:10.1016/0021-8693(64)90018-3.

• Келли, Г. М.; Мак-Лейн, Сондерс (1971). «Согласованность в закрытых категориях». JPAA. 1 (2): 97–140. Дои:10.1016/0022-4049(71)90013-2. : Erratum

• Келли, Г. М.; Мак-Лейн, Сондерс (1972). «Замкнутая когерентность для естественного преобразования». Согласованность в категориях. SLNM. 281. С. 1–28. Дои:10.1007 / BFb0059554. ISBN  978-3-540-05963-9.

• Келли, Г. М. (1972). «Теорема исключения сечения». Согласованность в категориях. SLNM. 281. С. 196–213. Дои:10.1007 / BFb0059559. ISBN  978-3-540-05963-9. В основном это технический результат, необходимый для доказательства результатов согласованности о закрытых категориях и, в более общем смысле, о правых сопряженных.

• Келли, Г. М. (1974). «Теоремы когерентности для слабых алгебр и для законов распределения». Категория семинара (Proceedings Sydney Category Theory Seminar 1972/1973). SLNM. 420. С. 281–375. Дои:10.1007 / BFb0063106. ISBN  978-3-540-06966-9. В этой статье Келли вводит идею о том, что результаты когерентности можно рассматривать как эквивалентности в подходящей 2-категории между псевдо и строгими алгебрами.

• Келли, Г. М.; ЛаПлаза, М. Л. (1980). «Связность компактных закрытых категорий». JPAA. 19: 193–213. Дои:10.1016/0022-4049(80)90101-2.

• Власть, Джон (1989). «Общий результат согласованности». JPAA. 57 (2): 165–173. Дои:10.1016/0022-4049(89)90113-8.

• Отсутствие, Стивен (1993). «Кодовые объекты и согласованность (Посвящается Максу Келли по случаю его 70-летия)». JPAA. 175 (1): 223–241. Дои:10.1016 / S0022-4049 (02) 00136-6. Обсуждение семинара по расширению Kan, 02.06.2014, автор Alex Corner

Теории Ловера, коммутативные теории и сопряжение структура-семантика

• Фаро, Эмилио; Келли, Г. М. (2000). «О канонической алгебраической структуре категории». JPAA. 154 (1–3): 159–176. Дои:10.1016 / S0022-4049 (99) 00187-5. Для категорий ${ displaystyle A}$ удовлетворяющие некоторым условиям малости, "применяя" структурный "функтор Ловера к гом-функтору ${ displaystyle { rm {H}} = { rm {Hom}} _ {A}: A ^ { rm {op}} times A to { rm {Set}}}$ создает теорию Ловера ${ displaystyle A ^ {*}}$, называется каноническая алгебраическая структура из ${ displaystyle A}$". --- В первом разделе авторы" вкратце напоминают основные факты о теориях Ловера и сопряжении структуры и семантики ", прежде чем приступить к применению их к ситуации, описанной выше." Краткий "обзор занимает более трех страниц в Печатный журнал. Возможно, это наиболее полное изложение того, как Келли формулирует, анализирует и использует понятие теории Ловера.

Локальная ограниченность и презентабельность

• Келли, Г. М.; Отсутствие, Стивен (2001). "${ displaystyle { cal {V}}}$-Cat является локально презентабельным или локально ограниченным, если ${ displaystyle { cal {V}}}$ это так ". TAC. 8 (23): 555–575.

Монады

• Улица, Росс (1972). «Формальная теория монад». JPAA. 2 (2): 149–168. Дои:10.1016/0022-4049(72)90019-9. МИСТЕР  0299653. Обсуждение семинара по расширению Kan 27.01.2014, Эдуард Бальзин

• Blackwell, R .; Келли, Г. М.; Власть, А. Дж. (1989). «Двумерная теория монад». JPAA. 59 (1): 1–41. Дои:10.1016/0022-4049(89)90160-6. Обсуждение семинара по расширению Kan, 28 апреля 2014 г., автор: Sam van Gool

Монадичность

• Келли, Г. М. (1980). «Примеры немонадических структур по категориям». JPAA. 18 (1): 59–66. Дои:10.1016/0022-4049(80)90116-4.

• Келли, Г. М.; Ле Кререр, И. Дж. (1997). «О монадичности над графами категорий с пределами». CTGDC. 38 (3): 179–191. МИСТЕР  1474564.

• Келли, Г. М.; Отсутствие, Стивен (2000). «О монадичности категорий с выбранными копределами». TAC. 7 (7): 148–170.

• Адамек, Иржи; Келли, Г. М. (2000). "${ displaystyle { cal {M}}}$-Полнота редко бывает монадической над графами ». TAC. 7 (8): 171–205.

Операды

• Келли, Г. М. (2005) [1972]. «По операм Дж. П. Мэя». Перепечатки в теории и приложениях категорий. 13: 1–13. Обсуждение семинара по расширению Kan, 01.03.2017, Саймон Чо

Презентаций

• Dubuc, Eduardo J .; Келли, Г. М. (1983). «Представление топоев как алгебраических по отношению к категориям или графам». J. Алгебра. 81 (2): 420–433. Дои:10.1016/0021-8693(83)90197-7.

• Келли, Г. М.; Власть, А. Дж. (1993). «Дополнения, чьи графы являются соуравнителями, и представления финитарно обогащенных монад». JPAA. 89 (1–2): 163–179. Дои:10.1016/0022-4049(93)90092-8. «Наша основная цель - показать, что - в контексте теории расширенных категорий - каждая конечная монада в локально конечно представимой категории ${ displaystyle { cal {A}}}$ допускает презентацию с точки зрения ${ displaystyle { cal {A}}}$-объекты Bc 'основных операций арности c' (где c пробегает конечно представимые объекты ${ displaystyle { cal {A}}}$) и ${ displaystyle { cal {A}}}$-объекты Ec «уравнений арности c» между производными операциями ». - Раздел 4 озаглавлен« Конечные обогащенные монады как алгебры для конечных монад »; раздел 5« Представления конечных монад »; он связан с теориями Ловера.

• Келли, Г. М.; Отсутствие, Стивен (1993). «Функторы, сохраняющие конечное произведение, расширения Кана и сильно конечные 2-монады». ACS. 1 (1): 85–94. Дои:10.1007 / BF00872987. Используя результаты из статьи Келли-Пауэра «Дополнения, счетчики которых являются соэквалайзерами, и представления финитарно обогащенных монад», «Мы изучаем эти 2-монады на 2-категории. Кот категорий, которые, как эндофункторы, являются левыми расширениями Кана своих ограничений на подкатегорию конечных дискретных категорий, описывая их алгебры синтаксически. Доказательство того, что эндофункторы этого типа замкнуты относительно композиции, включает лемму о левых расширениях Кана вдоль функтора, сохраняющего копроизведение, в контексте декартовых замкнутых категорий, что тесно связано с более ранним результатом Борсё и Дэя ". словами, они изучают "подкласс финитарных 2-монад на Кот состоящий из тех, алгебры которых могут быть описаны с помощью только функторов ${ displaystyle { cal {A ^ {n} to { cal {A}}}}}$, куда ${ displaystyle n}$ является натуральным числом (а также естественными преобразованиями между ними и уравнениями между производными операциями) ». Улица, Росс (2015). «Расширения Кана и декартовы моноидальные категории». Seminarberichte der Mathematik. 87: 89–96. arXiv:1409.6405. Bibcode:2014arXiv1409.6405S. «Существование сопряженных к алгебраическим функторам категорий моделей теорий Ловера следует из сохраняющего конечное произведение левого расширения Кана. Результат в этом направлении был доказан в Приложении 2 к докторской диссертации Брайана Дэя 1970 года. Его контекстом были категории, обогащенные декартова замкнутая база. Обобщение описывается здесь с тем же самым доказательством. Мы вводим понятие декартовой моноидальной категории в расширенном контексте. С расширенной точки зрения мы даем результат о левом расширении вдоль промоноидального модуля и другие связанные результаты. "

Эскизы, теории и модели

Для презентации в необогащенной обстановке некоторых из основных идей второй половины BCECTсм. «По существу-алгебраическая теория, порожденная эскизом». В первом абзаце заключительного раздела этой статьи излагается необогащенная версия последней провозглашенной теоремы (6.23) из BCECT, вплоть до обозначений; Основная часть статьи посвящена доказательству этой теоремы в необогащенном контексте.

• Фрейд, П. Дж.; Келли, Г. М. (1972). «Категории непрерывных функторов, I». JPAA. 2 (3): 169–191. Дои:10.1016/0022-4049(72)90001-1. МИСТЕР  0322004. : Есть очень значительный Erratum  ; Обсуждение семинара по расширению Kan, 15 февраля 2014 г., автор: Fosco Loregian

• Келли, Г. М. (1982). «О существенно-алгебраической теории, порожденной эскизом». Бык. Austral. Математика. Soc. 26 (1): 45–56. Дои:10.1017 / S0004972700005591.

• Келли, Г. М. (1982). «Структуры, определяемые конечными пределами в расширенном контексте, I». CTGD. 23 (1): 3–42. МИСТЕР  0648793. Обсуждение расширенных взвешенных ограничений на семинаре по Кану на 03.04.2017 Обсуждение расширенных взвешенных ограничений Дэвид Джаз Майерс, с последующим 2017-04-03 обсуждение тем же комментатором других частей статьи SFL

Различие собственности / структуры

• Келли, Г. М.; Отсутствие, Стивен (1997). «О структурах имущественного типа». TAC. 3 (9): 213–250. «мы рассматриваем в 2-категории те 2-монады, для которых структура алгебры по существу уникальна, если она существует, давая точное математическое определение« существенно уникальности »и исследуя его последствия. Мы называем такие 2-монады подобный собственности. Далее мы рассматриваем более ограниченный класс полностью подобный собственности 2-монады, состоящие из таких свойств-подобных 2-монад, для которых все 2-клетки между (даже слабыми) морфизмами алгебры являются 2-клетками алгебры. Рассмотрение слабых морфизмов приводит нас к новой характеристике тех монад, изученных Коком и Зоберлейном, для которых «структура сопряжена с единицей» и которые мы теперь называем вялый идемпотент 2-монады: и эти, и их колакс-идемпотент дуалы полностью подобны собственности. В конце мы покажем, что (по крайней мере для финитарных 2-монад) классы подобия собственности, полной собственности и слабые идемпотенты являются коррефлективными среди всех 2-монад ".

Категории функторов и функториальные исчисления

Обратите внимание, что категории пучков и моделей являются подкатегориями категорий функторов, состоящими из функторов, сохраняющих определенную структуру. Здесь мы рассматриваем общий случай, функторы требуются только для сохранения структуры, присущей исходной и целевой категориям.

• Эйленберг, Сэмюэл; Келли, Г. М. (1966). «Обобщение функториального исчисления». J. Алгебра. 3 (3): 366–375. Дои:10.1016/0021-8693(66)90006-8. Сравните с улицей «Функториальное исчисление в моноидальных бикатегориях» ниже.

• Day, B.J .; Келли, Г. М. (1969). «Обогащенные функторные категории». Отчеты Семинара III категории Среднего Запада. SLNM. 106. С. 178–191. Дои:10.1007 / BFb0059146. ISBN  978-3-540-04625-7.

• Келли, Г. М. (1972). «Функториальное исчисление многих переменных. I.». Согласованность в категориях. SLNM. 281. С. 66–105. Дои:10.1007 / BFb0059556. ISBN  978-3-540-05963-9. В основном смысловые клубы. Близко к статье «Абстрактный подход к когерентности».

• Улица, Росс (2003). «Функториальное исчисление в моноидальных бикатегориях». ACS. 11 (3): 219–227. Дои:10.1023 / А: 1024247613677. "Определение и исчисление экстраординарных естественных преобразований расширено до контекста, внутреннего по отношению к любой автономной моноидальной бикатегории. Первоначальное исчисление заимствовано из геометрии моноидальной бикатегории ${ displaystyle { cal {V { bf {-Mod}}}}}$ чьи объекты являются категориями, обогащенными кополной симметричной моноидальной категорией ${ displaystyle { cal {V}}}$ и чьи морфизмы являются модулями. "Сравните с Эйленберг-Келли" Обобщение функториального исчисления "выше.

Бимодули, распределители, профункторы, стрела, расслоения и оборудование

В нескольких своих статьях Келли касался структур, описанных в заголовке. Для удобства читателя и облегчения сравнения в следующий список включены несколько тесно связанных статей других авторов.

Фибрации, кофибрации и бимодули

• Грей, Джон У. (1966). «Категории волоконных и комбинированных волокон». Труды конференции по категориальной алгебре (La Jolla, 1965). С. 21–83. Дои:10.1007/978-3-642-99902-4_2. ISBN  978-3-642-99904-8.

• Улица, Росс (1974). «Расслоения и лемма Йонеды в 2-категории». Категория семинара (Proceedings Sydney Category Theory Seminar 1972/1973). SLNM. 420. С. 104–133. Дои:10.1007 / BFb0063102. ISBN  978-3-540-06966-9. МИСТЕР  0396723. Смотрите также: Коцк, Андерс (5 декабря 2013 г.). «Слоения как алгебры Эйленберга-Мура». С. 1–24. arXiv:1312.1608 [math.CT ]. Кок пишет: «Стрит, вероятно, был первым, кто заметил, что опфибрации могут быть описаны как псевдоалгебры для монады KZ [также известной как слабая идемпотентная 2-монада ]; фактически, в [F&YL], p. 118, он использует это описание как свое определение понятия опфибрации, поэтому не приводится никаких доказательств. Также loc.cit. не дает доказательства того, что расщепленные опфибрации являются строгими алгебрами. Так что в этом смысле раздел 6 настоящей статьи лишь дополняет loc.cit. предоставив элементарные доказательства этих фактов ".

• Улица, Росс (1980). «Волокна в бикатегориях». CTGD. 21 (2): 111–160. МИСТЕР  0574662., а в 1987 г. исправление на четырех страницах и дополнение. В этой статье обсуждаются отношения между ${ displaystyle { cal {V}}}$-бимодули и двусторонние расслоения и кофибрации в ${ displaystyle { cal {V}}}$-Cat: "The ${ displaystyle { cal {V}}}$-модули составляют бикодискретные кофибрации в ${ displaystyle { cal {V}}}$-Cat. "--- Статья Касангяна, Келли и Росси о кофибрациях тесно связана с этими конструкциями.

• Kasangian, S .; Келли, Г. М.; Росси, Ф. (1983). «Кофибрации и реализация недетерминированных автоматов». CTGD. 24 (1): 23–46. МИСТЕР  0702718. Среди прочего, они развивают теорию бимодулей над двузамкнутой, но не обязательно симметричной моноидальной категорией. ${ displaystyle { cal {V}}}$. Их развитие теории кофибраций смоделировано по образцу работы Стрит «Волокна в бикатегориях».

• Штрайхер, Томас (2018). "Волокнистые категории а-ля Жан Бенабу". С. 1–97. arXiv:1801.02927 [math.CT ]. "Понятие волокнистая категория был введен А. Гротендиком по чисто геометрическим причинам. «Логический» аспект расслоенных категорий и, в частности, их актуальность для теория категорий над произвольной базовой категорией с откатами был исследован и детально разработан Жаном Бенабу. Цель этих заметок - объяснить подход Бенабу к расслоенным категориям, который в основном неопубликован, но присущ большинству областей теории категорий, в частности теории топосов и категориальной логики ".

Cosmoi

• Улица, Росс (1974). «Элементарный космос I». Категория семинара (Proceedings Sydney Category Theory Seminar 1972/1973). SLNM. 420. С. 134–180. Дои:10.1007 / BFb0063103. ISBN  978-3-540-06966-9. МИСТЕР  0354813.

• Улица, Росс (1980). «Космои внутренних категорий». Пер. Амер. Математика. Soc. 258 (2): 278–318. Дои:10.1090 / S0002-9947-1980-0558176-3. МИСТЕР  0558176.

Смена базы и оборудования

• Вуд, Р. Дж. (1982). "Абстрактные узкие стрелки I". CTGD. 23 (3): 279–290. МИСТЕР  0675339.

• Вуд, Р. Дж. (1985). «Стрелка II». CTGDC. 26 (2): 135–168. МИСТЕР  0794752.

• Carboni, A .; Келли, Г. М.; Вуд, Р. Дж. (1991). «2-категоричный подход к замене базового и геометрического морфизмов I». CTGDC. 32 (1): 47–95. МИСТЕР  1130402.

• Carboni, A .; Келли, Г. М.; Verity, D .; Вуд, Р. Дж. (1998). "2-категориальный подход к изменению базового и геометрического морфизмов II". TAC. 4 (5): 82–136. "Мы вводим понятие оборудование что обобщает более раннее понятие стрелковое оборудование и включает такие знакомые конструкции, как rel${ displaystyle { cal {K}}}$, spn${ displaystyle { cal {K}}}$, номинал${ displaystyle { cal {K}}}$, и профи${ displaystyle { cal {K}}}$ для подходящей категории ${ displaystyle { cal {K}}}$, наряду со связанными конструкциями, такими как ${ displaystyle { cal {V}}}$-профи возникающие из подходящей моноидальной категории ${ displaystyle { cal {V}}}$."

• Шульман, Михаил (2008). «Оснащенные бикатегории и моноидальные расслоения». TAC. 20 (18): 650–738. В данной статье обобщается понятие оборудования. Автор пишет: «Авторы [CKW91, CKVW98] рассматривают родственное понятие« оборудование », где ${ displaystyle K}$ заменяется 1-категорией, но о горизонтальной композиции забывают ». В частности, одна из его конструкций дает то, что [CKVW98] называет отмеченное звездочкой остроконечное оборудование.

• Верити, Доминик (2011) [1992]. «Расширенные категории, внутренние категории и изменение базы». Перепечатки в теории и приложениях категорий. 20: 1–266. «[C] глава 1 представляет общую теорию изменения основы для теорий категорий, систематизированную в структуры, называемые оборудованием. Они обеспечивают абстрактную основу, которая объединяет исчисления функторов и профункторов данной теории категорий в единую аксиоматизированную структуру в способ, применимый как к обогащенным, так и к внутренним теориям ".

• Улица, Росс; Уолтерс, Роберт (1978). «Структуры Йонеды по 2-м разрядам». J. Алгебра. 50 (2): 360–379. Дои:10.1016/0021-8693(78)90160-6. МИСТЕР  0463261., Обсуждение семинара по расширению Kan 24 марта 2014 г., автор Александр Кэмпбелл

• Carboni, A .; Уолтерс, Р.Ф.С. (1987). «Декартовы бикатегории I». JPAA. 49 (1–2): 11–32. Дои:10.1016/0022-4049(87)90121-6.

• Carboni, A .; Келли, Г. М.; Уолтерс, Р.Ф.К .; Вуд, Р. Дж. (2008). «Декартовы бикатегории II». TAC. 19 (6): 93–124. arXiv:0708.1921. Bibcode:2007arXiv0708.1921C. "Понятие декартова бикатегория, введенная Карбони и Уолтерсом для локально упорядоченных бикатегорий, распространяется на общие бикатегории. Показано, что декартова бикатегория - это симметричная моноидальная бикатегория ».

Системы факторизации, рефлексивные подкатегории, локализации и теория Галуа

• Келли, Г. (1969). «Мономорфизмы, эпиморфизмы и откаты». J. Austral. Математика. Soc. 9 (1–2): 124–142. Дои:10.1017 / S1446788700005693.

• Келли, Г. (1983). "Заметка об обобщенном отражении Гитарта и Лэра". CTGD. 24 (2): 155–159. МИСТЕР  0710038.

• Кэссиди, К .; Hébert, M .; Келли, Г. М. (1985). «Отражающие подкатегории, локализации и системы факторизации». J. Austral. Математика. Soc. 38 (3): 287–329. Дои:10.1017 / S1446788700023624., с последующим Исправление. «Эта работа представляет собой подробный анализ взаимосвязи между отражающими подкатегориями категории и системами факторизации, поддерживаемыми этой категорией».

• Borceux, F .; Келли, Г. (1987). «О регионах локализаций». JPAA. 46 (1): 1–34. Дои:10.1016/0022-4049(87)90040-5. «Наша цель - изучить упорядоченный набор Loc ${ displaystyle { cal {A}}}$ локализаций категории ${ displaystyle { cal {A}}}$, показывая, что это небольшая полная решетка, когда ${ displaystyle { cal {A}}}$ укомплектован (маленьким) сильным генератором и, кроме того, является двойником локали, когда ${ displaystyle { cal {A}}}$ является локально представимой категорией, в которой конечные пределы коммутируют с фильтрованными копределами. Мы также рассматриваем отношения между Loc ${ displaystyle { cal {A}}}$ и Loc ${ displaystyle { cal {A '}}}$ возникающий из геометрического морфизма ${ displaystyle { cal {A}}}$ → ${ displaystyle { cal {A '}}}$; и применить наши результаты, в частности, к категориям модулей ".

• Келли, Г. (1987). «Об упорядоченном наборе отражающих подкатегорий». Бык. Austral. Математика. Soc. 36 (1): 137–152. Дои:10.1017 / S0004972700026381. "Учитывая категорию ${ displaystyle { cal {A}}}$, мы рассматриваем множество (часто большое) Ref ${ displaystyle { cal {A}}}$ его отражающих (полных, полных) подкатегорий, упорядоченных по включению ".

• Келли, Г.; Лавер, Ф. (1989). «О полной решетке существенных локализаций». Bulletin de la Société Mathématique de Belgique, серия A. 41: 289–319. По состоянию на 29 сентября 2017 года в Интернете не было его копии.

• Келли, Г. М. (1991). «Заметка об отношениях относительно системы факторизации». Материалы Международной конференции, проходившей в Комо, Италия, 22–28 июля 1990 г.. SLNM. 1488. С. 249–261. Дои:10.1007 / BFb0084224. ISBN  978-3-540-54706-8.

• Коростенский, Марели; Толен, Уолтер (1993). "Факторизационные системы как алгебры Эйленберга-Мура". JPAA. 85 (1): 57–72. Дои:10.1016 / 0022-4049 (93) 90171-О.

• Carboni, A .; Келли, Г. М.; Педиккио, М. С. (1993). «Несколько замечаний по категориям Мальцев и Гурсат». ACS. 1 (4): 385–421. Дои:10.1007 / BF00872942. : Начинается с основного лечения обычный и точный категории, отношения эквивалентности и сравнения в них, затем изучает условия Мальцева и Гурса.

• Джанелидзе, Г .; Келли, Г. М. (1994). «Теория Галуа и общее понятие центрального расширения». JPAA. 97 (2): 135–161. Дои:10.1016/0022-4049(94)90057-4. "Мы предлагаем теорию центральные пристройки для универсальных алгебр и в более общем смысле для объектов в точной категории ${ displaystyle { cal {C}}}$, центральность определяется относительно "допустимой" полной подкатегории ${ displaystyle { cal {X}}}$ из ${ displaystyle { cal {C}}}$."

• Carboni, A .; Джанелидзе, Г .; Келли, Г. М.; Паре Р. (1997). «О локализации и стабилизации систем факторизации». ACS. 5 (1): 1–58. Дои:10.1023 / А: 1008620404444. : включает "автономные современные описания систем факторизации, теории спуска и теории Галуа"

• Джанелидзе, Г .; Келли, Г. М. (1997). «Рефлексивность накрывающих морфизмов в алгебре и геометрии». TAC. 3 (6): 132–159. «Многие вопросы в математике можно свести к вопросу, является ли Cov (B) отражающим в C стрелке вниз; и мы даем ряд несопоставимых условий, каждого из которых достаточно для того, чтобы это было так».

• Джанелидзе, Г .; Келли, Г. М. (2000). «Центральные расширения в универсальной алгебре: объединение трех понятий». Универсальная алгебра. 44 (1–2): 123–128. Дои:10.1007 / с000120050174.

• Розбру, Роберт; Вуд, Р. Дж. (2001). «Законы распределения и факторизация». JPAA. 175 (1–3): 327–353. Дои:10.1016 / S0022-4049 (02) 00140-8.

Действия и алгебры

Также полупрямые продукты.

• Келли, Г. М. (1980). «Единое описание трансфинитных конструкций для свободных алгебр, свободных моноидов, копределов, ассоциированных пучков и т. Д.». Бык. Austral. Математика. Soc. 22 (1): 1–83. Дои:10.1017 / S0004972700006353., с последующим: «Два дополнения к авторским« Трансфинитным конструкциям »»

• Джанелидзе, Г .; Келли, Г. М. (2001). «Заметка о действиях моноидальной категории». TAC. 9 (4): 61–91.

• Borceux, F.W .; Джанелидзе, Г .; Келли, Г. (2005). «О представимости действий в полуабелевой категории». TAC. 14 (11): 244–286. «Мы рассматриваем полуабелеву категорию ${ displaystyle { cal {V}}}$ а через Act (G, X) обозначим множество действий объекта G на объекте X в смысле теории полупрямых произведений в ${ displaystyle { cal {V}}}$. Исследуем представимость функтора Act (-, X) в случае, когда ${ displaystyle { cal {V}}}$ локально презентабельно, с конечными пределами, коммутирующими с фильтрованными копределами ".

• Борсё, Фрэнсис; Джанелидзе, Георгий В .; Келли, Грегори Максвелл (2005). «Внутренние действия объекта». Комментарии Mathematicae Universitatis Carolinae. 46 (2): 235–255. МИСТЕР  2176890. «Мы описываем место, среди других известных категориальных конструкций, действий внутренних объектов, участвующих в категориальном понятии полупрямого произведения, и вводим новое понятие представимого действия, обеспечивающее общее категориальное описание для группы автоморфизмов группы, для алгебры выводов алгебры Ли и актора скрещенного модуля ». --- Содержит таблицу с различными примерами.

Пределы и коллимиты

• Борсё, Фрэнсис; Келли, Г. М. (1975). «Понятие лимита для обогащенных категорий». Бык. Austral. Математика. Soc. 12 (1): 49–72. Дои:10.1017 / S0004972700023637.

• Келли, Г. М.; Кубек, В. (1981). «Большие пределы, которые допускают все хорошие категории». JPAA. 22 (3): 253–263. Дои:10.1016 / 0022-4049 (81) 90102-Х.

• Им, Гын Бин; Келли, Г. М. (1986). «О классах морфизмов, замкнутых относительно пределов» (PDF). J. Korean Math. Soc. 23 (1): 1–18. "Мы говорим, что класс ${ displaystyle { cal {M}}}$ морфизмов в категории ${ displaystyle { cal {A}}}$ является закрыт по лимитам если, когда ${ displaystyle F, G: { cal {K to { cal {A}}}}}$ являются функторами, допускающими ограничения, и всякий раз, когда ${ displaystyle eta: F Rightarrow G: { cal {K to { cal {A}}}}}$ является естественным преобразованием, каждая компонента которого ${ displaystyle eta K: FK to GK}$ лежит в ${ displaystyle { cal {M}}}$, то индуцированный морфизм ${ displaystyle { rm {lim}} ~ eta: { rm {lim}} ~ F to { rm {lim}} ~ G}$ также лежит в ${ displaystyle { cal {M}}}$."

• Альберт, М. Х .; Келли, Г. М. (1988). «Замыкание класса копределов». JPAA. 51 (1–2): 1–17. Дои:10.1016/0022-4049(88)90073-4.

• Келли, Г. М.; Паре, Роберт (1988). «Примечание к статье Альберта – Келли» о замыкании класса копределов"". JPAA. 51 (1–2): 19–25. Дои:10.1016/0022-4049(88)90074-6.

• Келли, Г. М. (1989). «Элементарные наблюдения о 2-х категориальных пределах». Бык. Austral. Математика. Soc. 39 (2): 301–317. Дои:10.1017 / S0004972700002781. Обсуждение семинара по расширению Kan, 18 апреля 2014 г., Кристина Василакопулу

• Bird, G.J .; Келли, Г. М.; Power, A.J .; Улица, Р. Х. (1989). «Гибкие лимиты для 2-х категорий». JPAA. 61 (1): 1–27. Дои:10.1016/0022-4049(89)90065-0.

• Келли, Г. М.; Отсутствие, Стивен; Уолтерс, Р.Ф.С. (1993). «Коинвертеры и категории дробей для категорий со структурой». ACS. 1 (1): 95–102. Дои:10.1007 / BF00872988. "Категория дробей - это частный случай коинвертер во 2 категории Кот...."

• Келли, Г. М.; Шмитт В. (2005). «Примечания к обогащенным категориям с копределами некоторого класса». TAC. 14 (17): 399–423. arXiv:math.CT / 0509102. «По сути, работа представляет собой обзор категорий, имеющих ${ displaystyle phi}$-взвешенные копределы для всех весов ${ displaystyle phi}$ в каком-то классе ${ displaystyle Phi}$."

Дополнения

• Келли, Г. М. (1969). «Дополнение для обогащенных категорий». Отчеты Семинара III категории Среднего Запада. SLNM. 106. С. 166–177. Дои:10.1007 / BFb0059145. ISBN  978-3-540-04625-7.

• Келли, Г. М. (1974). «Доктринальное приложение». Категория семинара (Proceedings Sydney Category Theory Seminar 1972/1973). SLNM. 420. С. 257–280. Дои:10.1007 / BFb0063105. ISBN  978-3-540-06966-9.

• Им, Гын Бин; Келли, Г. М. (1986). "Несколько замечаний о консервативных функторах с левыми сопряженными" (PDF). J. Korean Math. Soc. 23 (1): 19–33. «Здесь нас интересуют те функторы, которые, как и забывчивые функторы алгебры, консервативны и имеют сопряженные слева».

• Им, Гын Бин; Келли, Г. М. (1987). "Теоремы о присоединенном треугольнике для консервативных функторов". Бык. Austral. Математика. Soc. 36 (1): 133–136. Дои:10.1017 / S000497270002637X. "An теорема о присоединенном треугольнике рассматривает функторы ${ displaystyle P: { cal {C to { cal {A}}}}}$ и ${ displaystyle T: { cal {A to { cal {B}}}}}$ куда ${ displaystyle T}$ и ${ displaystyle TP}$ имеют левые сопряжения и дает достаточные условия для ${ displaystyle P}$ также иметь сопряженный слева. Нас интересует случай, когда ${ displaystyle T}$ является консервативный - то есть, отражающий изоморфизм "

• Келли, Г. М.; Власть, А. Дж. (1993). «Дополнения, чьи графы являются соуравнителями, и представления финитарно обогащенных монад». JPAA. 89 (1–2): 163–179. Дои:10.1016/0022-4049(93)90092-8. Это дубликат ссылки в разделе о структурах по категориям, который является предметом двух последних разделов документа. Однако первые три раздела посвящены «функторам тип спуска ", которые являются правосопряженными функторами, обладающими свойством, указанным в названии статьи.

• Улица, Росс (2012). «Ядро сопряженных функторов». TAC. 27 (4): 47–64. «В обычном определении сопряженных функторов много избыточности. Мы определяем и доказываем суть того, что требуется. Сначала мы делаем это в гомообогащенном контексте. Затем мы делаем это в копополнении бикатегории по отношению к Объекты Клейсли, которые мы затем применяем к внутренним категориям. Наконец, мы описываем доктринальную установку ».

Разные статьи по теории категорий

• Келли, Г. М. (1964). «О радикале категории». J. Austral. Математика. Soc. 4 (3): 299–307. Дои:10.1017 / S1446788700024071.

• Day, B.J .; Келли, Г. М. (1970). «О топологических факторных картах, сохраненных по откатам или произведениям». Математика. Proc. Camb. Фил. Soc. 67 (3): 553. Bibcode:1970PCPS ... 67..553D. Дои:10.1017 / S0305004100045850. Эта статья находится на пересечении теории категорий и топологии: «Мы занимаемся категорией топологических пространств и непрерывных отображений». Это упоминается в BCECT, где он предоставляет контрпример к гипотезе о том, что декартова моноидальная категория ${ displaystyle { bf {Top}}}$ топологических пространств могут быть декартово замкнутыми; см. раздел 1.5.

• Келли, Г. М.; Улица, Росс, ред. (1972). Тезисы семинара по категории в Сиднее, 1972 г. (PDF). С. 1–66. Некоторая историческая информация по кадровым вопросам и ранние версии идей, которые будут официально опубликованы позже.

• Келли, Макс; Лабелла, Анна; Шмитт, Винсент; Улица, Росс (2002). «Категории, обогащенные с двух сторон (Посвящается Сондерсу Мак Лейну в день его 90-летия)». JPAA. 168 (1): 53–98. Дои:10.1016 / S0022-4049 (01) 00048-2. "Мы вводим морфизмы ${ displaystyle { cal {V to { cal {W}}}}}$ бикатегорий, более общих, чем исходные категории Бенабу. Когда ${ displaystyle { cal {V = { bf {1}}}}}$, такой морфизм является категорией, обогащенной бикатегорией ${ displaystyle { cal {W}}}$. Следовательно, эти морфизмы можно рассматривать как категории, обогащенные бикатегориями «с двух сторон». Существует композиция таких обогащенных категорий, приводящая к трикатегории. ${ displaystyle { bf {Caten}}}$ простого вида, объектами которого являются бикатегории. Отсюда следует, что морфизм из ${ displaystyle { cal {V}}}$ к ${ displaystyle { cal {W}}}$ в ${ displaystyle { bf {Caten}}}$ индуцирует 2-функтор ${ displaystyle { cal {V { bf {-Cat}}}}}$ к ${ displaystyle { cal {W { bf {-Cat}}}}}$, а примыкание между ${ displaystyle { cal {V}}}$ и ${ displaystyle { cal {W}}}$ в ${ displaystyle { bf {Caten}}}$ вызывает одно из двух категорий ${ displaystyle { cal {V { bf {-Cat}}}}}$ и ${ displaystyle { cal {W { bf {-Cat}}}}}$. Слева примыкает в ${ displaystyle { bf {Caten}}}$ обязательно являются гомоморфизмами в смысле Бенабу, а правые сопряженные - нет. Свертка появляется как внутренний гом для моноидальной структуры на ${ displaystyle { bf {Caten}}}$. 2 клетки ${ displaystyle { bf {Caten}}}$ являются функторами; модули также могут быть определены, и мы исследуем связанные с ними структуры ».

• Келли, Г. М.; Отсутствие, Стивен (2004). «Моноидальные функторы, порожденные присоединением, с приложениями к переносу структуры». Связь Института Филдса. 43: 319–340. ISSN  1069-5265.
• Келли, Дж. Максвелл (2007). «Истоки теории категорий в Австралии».. Категории в алгебре, геометрии и математической физике. Современная математика. 431. Амер. Математика. Soc. С. 1–6. ISBN  978-0-8218-3970-6. Исторический отчет.

Гомология

В Биографические воспоминания Росс Стрит дает подробное описание ранних исследований Келли по гомологической алгебре, указывая, как это привело его к созданию концепций, которым в конечном итоге будут даны имена "дифференциально оцененные категории " и "анафункторы ".

• Келли, Г. М. (1959). "Однопространственные аксиомы теории гомологий". Математические труды Кембриджского философского общества. 55 (1): 10–22. Bibcode:1959PCPS ... 55 ... 10K. Дои:10.1017 / S030500410003365X.

• Келли, Г. М. (1961). «Точность гомологии Чеха над векторным пространством». Математика. Proc. Camb. Фил. Soc. 57 (2): 428–429. Bibcode:1961PCPS ... 57..428K. Дои:10.1017 / S0305004100035398.

• Келли, Г. М. (1961). «О многообразиях, содержащих подмногообразие, дополнение которого стягиваемо». Математика. Proc. Camb. Фил. Soc. 57 (3): 507–515. Bibcode:1961PCPS ... 57..507K. Дои:10.1017 / S0305004100035568.

• Келли, Г. М. (1963). «Наблюдения по теореме Кюннета». Математика. Proc. Camb. Фил. Soc. 59 (3): 575–587. Bibcode:1963PCPS ... 59..575K. Дои:10.1017 / S0305004100037257.

• Келли, Г. М. (1964). «Полные функторы в гомологиях I. Цепные отображения и эндоморфизмы». Математика. Proc. Camb. Фил. Soc. 60 (4): 721–735. Bibcode:1964PCPS ... 60..721K. Дои:10.1017 / S0305004100038202.

• Келли, Г. М. (1964). «Полные функторы в гомологиях: II. Точная последовательность гомологий». Математика. Proc. Camb. Фил. Soc. 60 (4): 737–749. Bibcode:1964PCPS ... 60..737K. Дои:10.1017 / S0305004100038214.

• Келли, Г. М. (1965). «Лемма по гомологической алгебре». Математика. Proc. Camb. Фил. Soc. 61 (1): 49–52. Bibcode:1965PCPS ... 61 ... 49K. Дои:10.1017 / S0305004100038627.

• Келли, Г. М. (1965). «Цепные отображения, порождающие отображения нулевой гомологии». Математика. Proc. Camb. Фил. Soc. 61 (4): 847–854. Bibcode:1965PCPS ... 61..847K. Дои:10.1017 / S0305004100039207.

Разные статьи по другим темам

• Dickson, S.E .; Келли, Г. М. (1970). «Методы чересстрочной развертки и большие неразложимые объекты». Бык. Austral. Математика. Soc. 3 (3): 337–348. Дои:10.1017 / S0004972700046037.

• Келли, Г. М.; Пултр, А. (1978). «Об алгебраическом распознавании разложений прямого произведения». JPAA. 12 (3): 207–224. Дои:10.1016/0022-4049(87)90002-8.

Общие ссылки

• Карбони, Аурелио; Джанелидзе, Георгий; Улица, Росс (8 ноября 2002 г.). «Вперед в специальный выпуск, посвященный 70-летию профессора Макса Келли». Журнал чистой и прикладной алгебры. 175 (1–3): 1–5. Дои:10.1016 / S0022-4049 (02) 00125-1. : содержит список 87 публикаций Келли с 1959 по начало 2002 года.

• Улица, Росс (11 апреля 2007 г.). «Некролог: Polymath упивался тайной чисел». Sydney Morning Herald. Получено 8 сентября 2017.
• Улица, Росс (2008). «От редакции: Макс Келли, 5 июня 1930 г. - 26 января 2007 г.» (PDF). Теория и приложения категорий. 20: 1–4.
• Улица, Росс (2010). «Биографические воспоминания: Грегори Максвелл Келли 1930–2007». Австралийская академия наук. : включает полный список из 92 публикаций, начиная с кандидатской диссертации 1957 года и заканчивая посмертно опубликованной статьей 2008 года; наверное, самый полный обзор карьеры Келли
• Баэз, Джон С.; Мэй, Дж. Питер, ред. (2010). К высшим категориям. Объемы IMA по математике и ее приложениям. 152. Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4419-1524-5. ISBN  978-1-4419-1523-8. : «Эта книга посвящена Максу Келли, основателю австралийской школы теории категорий»

• Улица, Росс (2010). «Австралийский консектус высших категорий». В Баэз, Дж.; Мэй, Дж. (ред.). К высшим категориям. Объемы IMA по математике и ее приложениям. 152. Springer-Verlag. С. 237–264. Дои:10.1007/978-1-4419-1524-5_6. ISBN  978-1-4419-1523-8. От начала к книге: «[Эта статья], ученика Келли Росс Стрит, дает увлекательный математический и личный отчет о развитии теории высших категорий в Австралии». Первая четверть статьи содержит информацию о творчестве Келли. Доступно у автора здесь.

• Джанелидзе, Георгий; Хайленд, Мартин; Джонсон, Майкл; и др., ред. (Февраль 2011 г.). «Пересылка к специальному выпуску, посвященному памяти профессора Грегори Максвелла Келли». Прикладные категориальные структуры. 19 (1): 1–7. Дои:10.1007 / s10485-010-9235-у. : содержит список публикаций Келли

внешняя ссылка

• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., "Макс Келли", Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
• Грегори Максвелл (Макс) Келли на Проект "Математическая генеалогия"
• Бессрочная веб-страница Макса Келли: мемориальная страница, созданная сыном Келли Саймоном Келли.
• «Памяти Макса Келли»: сообщение на Кафе n-категории, содержащий похвалу от своих коллег-математиков
• Г. М. Келли в DBLP Сервер библиографии