Строгая 2-категория - Strict 2-category

В теория категорий, а строгая 2-категория это категория с участием "морфизмы между морфизмами ", то есть где каждый домашний набор сам несет в себе структуру категории. Формально ее можно определить как категорию обогащенный над Кот (в категория категорий и функторов, с моноидальный структура дана продукт категорий ).

Концепция 2-категории была впервые введена Чарльз Эресманн в своей работе над обогащенные категории, в 1965 году.^[1] Более общая концепция бикатегория (или слабый 2-категория), где композиция морфизмов ассоциативна только с точностью до 2-изоморфизма, была открыта в 1968 году Жаном Бенабу.^[2]

Определение

2 категорииC состоит из:

А класс из 0-клетки (или объекты ) $А$ , $B$ , ....
Для всех объектов $А$ и $B$ , категория ${ Displaystyle mathbf {C} (А, В)}$ . Объекты ${ displaystyle f, g: от A до B}$ этой категории называются 1-ячейка и его морфизмы ${ displaystyle alpha: f Rightarrow g}$ называются 2 ячейки; состав в этой категории обычно пишется ${ displaystyle circ}$ или ${ displaystyle circ _ {1}}$ и позвонил вертикальная композиция или композиция по 1-клетке.
Для любого объекта $А$ Существует функтор от Терминал категория (с одним предметом и одной стрелкой) на ${ Displaystyle mathbf {C} (А, А)}$ , который выбирает идентичность 1-ячейка $мне бы А$ на $А$ и его идентичность 2-х клеточная $мне бы мне бы А$ . На практике эти два часто обозначаются просто $А$ .
Для всех объектов $А$ , $B$ и $C$ , есть функтор ${ Displaystyle circ _ {0} двоеточие mathbf {C} (B, C) times mathbf {C} (A, B) to mathbf {C} (A, C)}$ , называется горизонтальная композиция или композиция по 0-ячейке, которая ассоциативна и допускает^{[требуется разъяснение ]} идентичность 1 и 2-ячеек $мне бы А$ как личности. Здесь ассоциативность для ${ displaystyle circ _ {0}}$ означает, что горизонтально составляя ${ Displaystyle mathbf {C} (C, D) times mathbf {C} (B, C) times mathbf {C} (A, B)}$ дважды ${ Displaystyle mathbf {C} (A, D)}$ не зависит от того, какой из двух ${ Displaystyle mathbf {C} (C, D) times mathbf {C} (B, C)}$ и ${ Displaystyle mathbf {C} (B, C) times mathbf {C} (A, B)}$ составляются первыми. Символ композиции ${ displaystyle circ _ {0}}$ часто опускается, горизонтальная композиция из двух ячеек ${ displaystyle alpha двоеточие f Rightarrow g двоеточие от A до B}$ и ${ displaystyle beta двоеточие f ' Rightarrow g' двоеточие B to C}$ написано просто как ${ Displaystyle бета альфа двоеточие f'f Rightarrow g'g двоеточие от A до C}$ .

Понятие 2-категории отличается от более общего понятия бикатегория в этой композиции 1-клеток (горизонтальная композиция) требуется, чтобы она была строго ассоциативной, тогда как в бикатегории она должна быть ассоциативной только с точностью до 2-изоморфизма. Аксиомы 2-категории являются следствием их определения как Кот-обогащенные категории:

Вертикальная композиция является ассоциативной и единичной, единицы - это тождественные 2-ячейки. $мне бы ж$ .
Горизонтальная композиция также (строго) ассоциативна и унитальна, единицы являются идентичными 2-ячейками. $мне бы мне бы А$ на тождество 1-клеток $мне бы А$ .
В закон обмена держит; т.е. верно, что для составных 2-ячеек ${ Displaystyle альфа, бета, гамма, дельта}$

{ Displaystyle ( альфа circ _ {0} beta) circ _ {1} ( gamma circ _ {0} delta) = ( alpha circ _ {1} gamma) circ _ { 0} ( beta circ _ {1} delta)}

Закон обмена следует из того, что ${ displaystyle circ _ {0}}$ является функтором между hom-категориями. Его можно нарисовать как схема вставки следующим образом:

	=	=	${ displaystyle circ _ {0}}$
${ displaystyle circ _ {1}}$

Здесь левая диаграмма обозначает вертикальную композицию горизонтальных композитов, правая диаграмма обозначает горизонтальную композицию вертикальных композитов, а диаграмма в центре является обычным представлением обоих.

Доктрины

В математике доктрина это просто 2-категория, которая эвристически рассматривается как система теорий. Например, алгебраические теории, как изобретено Уильям Ловер, является примером доктрины, как и разноплановые теории, операды, категории, и топы.

Объекты 2 категории называются теории, 1-морфизмы ${ displaystyle f двоеточие A rightarrow B}$ называются модели из $А$ в $B$ , а 2-морфизмы называются морфизмы между моделями.

Различие между 2-категорией и доктриной на самом деле чисто эвристическое: обычно не рассматриваются 2-категории, которые должны быть заполнены теориями как объектами и моделями как морфизмами. Именно этот словарь оправдывает теорию доктрин.

Например, 2 категории Кот категорий, функторов и естественных преобразований - это доктрина. Сразу видно, что все предварительные категории это категории моделей.

В качестве другого примера можно взять подкатегорию Кот состоящий только из категорий с конечными продуктами как объектами и сохраняющими продукт функторами как 1-морфизмами. Это учение о многомерных алгебраических теориях. Если бы кто-то хотел только 1-сортированные алгебраические теории, можно было бы ограничить объекты только теми категориями, которые генерируются в рамках продуктов одним объектом.

Доктрины были открыты Джонатан Мок Бек.

Смотрите также

использованная литература

^ Чарльз Эресманн, Категории и структуры, Данод, Париж, 1965.
^ Жан Бенабу, Введение в бикатегории, в Отчётах семинара по категориям Среднего Запада, Springer, Берлин, 1967, стр. 1--77.

Сноски

Обобщенные алгебраические моделиАвтор Клаудиа Сентаццо.

[1] Чарльз Эресманн, Категории и структуры, Данод, Париж, 1965.

[2] Жан Бенабу, Введение в бикатегории, в Отчётах семинара по категориям Среднего Запада, Springer, Берлин, 1967, стр. 1--77.

[1]

[2]