Выталкивание (теория категорий) - Википедия - Pushout (category theory)

В теория категорий, филиал математика, а выталкивание (также называемый волокнистый побочный продукт или же расслоенная сумма или же кокартезианская площадь или же объединенная сумма) это копредел из диаграмма состоящий из двух морфизмы ж : Z → Икс и грамм : Z → Y с общим домен. Выталкиватель состоит из объект п вместе с двумя морфизмами Икс → п и Y → п которые завершают коммутативный квадрат с двумя данными морфизмами ж и грамм. Фактически определяющий универсальная собственность выталкивания (приведенного ниже) по существу говорит о том, что выталкивание - это «самый общий» способ завершить этот коммутативный квадрат. Общие обозначения для выталкивания: ${ displaystyle P = X sqcup _ {Z} Y}$ и ${ displaystyle P = X + _ {Z} Y}$ .

Отталкивание - это категоричный дуальный из откат.

Универсальная собственность

Явно выталкивание морфизмов ж и грамм состоит из объекта п и два морфизма я₁ : Икс → п и я₂ : Y → п так что диаграмма

ездит на работу и такой, что (п, я₁, я₂) является универсальный относительно этой диаграммы. То есть для любого другого такого набора (Q, j₁, j₂), для которых коммутирует следующая диаграмма, должен существовать единственный ты : п → Q также заставляя диаграмму коммутировать:

Как и все универсальные конструкции, вытяжка, если она существует, уникальна с точностью до уникального изоморфизм.

Примеры выталкиваний

Вот несколько примеров выталкивания в знакомых категории. Обратите внимание, что в каждом случае мы обеспечиваем только конструкцию объекта в классе выталкиваний изоморфизма; как упоминалось выше, хотя могут быть и другие способы его создания, все они эквивалентны.

Предположим, что Икс, Y, и Z как указано выше наборы, и это ж : Z → Икс и грамм : Z → Y являются заданными функциями. Вытеснение ж и грамм это несвязный союз из Икс и Y, где элементы, имеющие общий прообраз (в Z) отождествляются вместе с морфизмами я₁, я₂ из Икс и Y, т.е. ${ displaystyle P = left (X coprod Y right) { Big /} sim }$ куда ~ это тончайшее отношение эквивалентности (см. также это ) такие, что ж(z) ~ грамм(z) для всех z в Z. В частности, если Икс и Y находятся подмножества некоторого большего набора W и Z является их пересечение, с ж и грамм карты включения Z в Икс и Y, то выталкивание канонически можно отождествить с союз ${ Displaystyle X чашка Y substeq W}$ .
Построение примыкающие пространства является примером выталкивания в категория топологических пространств. Точнее, если Z это подпространство из Y и грамм : Z → Y это карта включения мы можем "склеить" Y в другое место Икс вдоль Z с помощью «прикрепленной карты» ж : Z → Икс. В результате получается примыкающее пространство ${ Displaystyle X чашка _ {f} Y}$ , который является просто выталкиванием ж и грамм. В более общем плане, таким образом, все идентификационные пространства можно рассматривать как выталкиваемые.
Частным случаем вышеизложенного является сумма клина или одноточечный союз; здесь мы берем Икс и Y быть заостренные места и Z одноточечное пространство. Тогда выталкивание ${ displaystyle X vee Y}$ , пространство, полученное склейкой базовой точки Икс к исходной точке Y.
в категория абелевых групп, выталкивание можно рассматривать как "прямая сумма со склеиванием «так же, как мы думаем о смежных пространствах»несвязный союз с приклеиванием ». нулевая группа это подгруппа каждого группа, так что для любого абелевы группы А и B, у нас есть гомоморфизмы ${ displaystyle f: 0 to A}$ и ${ displaystyle g: 0 to B}$ . Вытеснение этих карт представляет собой прямую сумму А и B. Обобщая на случай, когда ж и грамм - произвольные гомоморфизмы из общей области Z, для выталкивания получаем a факторгруппа прямой суммы; а именно, мы мод из подгруппой, состоящей из пар (ж(z), −грамм(z)). Таким образом мы «приклеили» образы Z под ж и грамм. Подобный подход дает выталкивание в категория р-модули для любого звенеть р.
в категория групп, выталкивание называется бесплатный продукт с амальгамированием. Он появляется в Теорема Зейферта – ван Кампена из алгебраическая топология (Смотри ниже).
В CRing, категория коммутативные кольца (а полная подкатегория из категория колец ) выталкивание задается тензорное произведение колец ${ displaystyle A otimes _ {C} B}$ с морфизмами ${ displaystyle g ': A rightarrow A otimes _ {C} B}$ и ${ displaystyle f ': B rightarrow A otimes _ {C} B}$ это удовлетворяет ${ Displaystyle f ' circ g = g' circ f}$ . Фактически, поскольку выталкивание - это копредел из охватывать и откат это предел cospan, мы можем представить себе тензорное произведение колец и волокнистое изделие из колец (см. раздел примеров) как двойственные друг другу понятия. В частности, пусть А, B, и C быть объектами (коммутативными кольцами с единицей) в CRing и разреши ж : C → А и грамм : C → B быть морфизмами (гомоморфизмы колец ) в CRing. Тогда тензорное произведение:

{ Displaystyle A otimes _ {C} B = left { sum _ {i in I} (a_ {i}, b_ {i}) ; { big |} ; a_ {i} в A, b_ {i} in B right } { Bigg /} { bigg langle} (f (c) a, b) - (a, g (c) b) ; { big | } ; a in A, b in B, c in C { bigg rangle}}

Видеть Свободное произведение ассоциативных алгебр для случая некоммутативных колец.
В мультипликативном моноид положительных целые числа ${ displaystyle mathbf {Z} _ {+}}$ , рассматриваемая как категория с одним объектом, выталкивание двух положительных целых чисел м и п это просто пара ${ displaystyle left ({ frac { operatorname {lcm} (m, n)} {m}}, { frac { operatorname {lcm} (m, n)} {n}} right)}$ , где числителями являются наименьший общий множитель из м и п. Обратите внимание, что эта же пара также является откатом.

Характеристики

Всякий раз, когда толчок А ⊔_C B существует, тогда B ⊔_C А тоже существует и существует естественный изоморфизм А ∪_C B ≅ B ∪_C А.
В абелева категория все выталкивания существуют, и они сохраняют коядра в следующем смысле: если (п, я₁, я₂) является выталкиванием ж : Z → Икс и грамм : Z → Y, то естественный кокер отображения (ж) → коксование (я₂) является изоморфизмом, как и естественное отображение coker (грамм) → коксование (я₁).
Есть естественный изоморфизм (А ⊔_C B) ⊔_B D ≅ А ⊔_C D. В явном виде это означает:
- если карты ж : C → А, грамм : C → B и час : B → D даны и
- вытеснение ж и грамм дан кем-то я : А → п и j : B → п, и
- вытеснение j и час дан кем-то k : п → Q и л : D → Q,
- затем вытеснение ж и hg дан кем-то ки : А → Q и л : D → Q.

Графически это означает, что два выталкивающих квадрата, размещенные бок о бок и разделяющие один морфизм, образуют больший выталкивающий квадрат при игнорировании внутреннего общего морфизма.

Строительство с помощью сопутствующих продуктов и соэквалайзеров

Отжимания эквивалентны побочные продукты и соэквалайзеры (если есть исходный объект ) в том смысле, что:

Копродукты - это выталкивание от исходного объекта, а коэквалайзер ж, грамм : Икс → Y является выталкиванием [ж, грамм] и [1_Икс, 1_Икс], так что если есть выталкивания (и начальный объект), то есть коэквалайзеры и копроизведения;
Вытеснения могут быть построены из сопродуктов и соуравнителей, как описано ниже (вытеснение является соуравнивателем отображений к сопродукту).

Все приведенные выше примеры можно рассматривать как частные случаи следующей очень общей конструкции, которая работает в любой категории C удовлетворение:

Для любых объектов А и B из C, их копродукт существует в C;
Для любых морфизмов j и k из C с той же областью и целью, коэквалайзер j и k существует в C.

В этой установке мы получаем выталкивание морфизмов ж : Z → Икс и грамм : Z → Y сначала формируя совместный продукт целей Икс и Y. Тогда у нас есть два морфизма из Z к этому сопутствующему продукту. Мы можем либо уйти от Z к Икс через ж, затем включить в сопродукт, или мы можем перейти от Z к Y через грамм, затем включите. Вытеснение ж и грамм является уравнителем этих новых карт.

Применение: теорема Зейферта – ван Кампена.

Теорема Зейферта – ван Кампена дает ответ на следующий вопрос. Предположим, у нас есть соединенный путём Космос Икс, покрытые линейно связными открытыми подпространствами А и B чье пересечение D также линейно связано. (Предположим также, что базовая точка * лежит на пересечении А и B.) Если мы знаем фундаментальные группы из А, B, и их пересечение D, можно ли восстановить фундаментальную группу Икс? Ответ положительный, если мы также знаем индуцированные гомоморфизмы ${ displaystyle pi _ {1} (D, *) to pi _ {1} (A, *)}$ и ${ displaystyle pi _ {1} (D, *) to pi _ {1} (B, *).}$ Теорема говорит, что фундаментальная группа Икс является выталкиванием этих двух индуцированных отображений. Конечно, Икс является выталкиванием двух карт включения D в А и B. Таким образом, мы можем интерпретировать теорему как подтверждающую, что фундаментальный групповой функтор сохраняет выталкивание включений. Мы можем ожидать, что это будет проще всего, когда D является односвязный, с тех пор оба указанных выше гомоморфизма имеют тривиальную область определения. Действительно, это так, поскольку тогда выталкивание (групп) сводится к бесплатный продукт, которое является копроизведением в категории групп. В самом общем случае мы будем говорить о бесплатный продукт с амальгамированием.