Тензорное произведение - Tensor product

Эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Март 2019 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, то тензорное произведение V ⊗ W из двух векторные пространства V и W (по тому же поле ) само является векторным пространством, наделенным операцией билинейный композиция, обозначаемая ⊗, из заказанных пар в Декартово произведение V × W к V ⊗ W таким образом, чтобы обобщить внешний продукт.

По сути, разница между тензорным произведением двух векторов и упорядоченной парой векторов заключается в том, что если один вектор умножается на ненулевой скаляр, а другой - на обратную величину этого скаляра, результатом является другая упорядоченная пара векторов, но одно и то же тензорное произведение двух векторов, и что пары векторов добавляются по одной координате за раз (при этом другая координата одинакова повсюду), а не обе координаты одновременно - все, как можно было бы ожидать, если бы векторы были " прямо умноженное "в некотором смысле, тензорное произведение делает эту идею точной.

Тензорное произведение V и W это векторное пространство генерируется символами v ⊗ ш, с v ∈ V и ш ∈ W, в котором отношения билинейности накладываются на операцию произведения ⊗, и никаких других отношений считаются выполненными. Таким образом, пространство тензорного произведения есть "самый свободный "(или наиболее общее) такое векторное пространство в том смысле, что оно имеет наименьшее количество ограничений.

Тензорное произведение (конечномерных) векторных пространств имеет размерность, равную произведению размерностей двух факторов:

${displaystyle dim (Votimes W) = dim V imes dim W.}$

В частности, это отличает тензорное произведение от прямая сумма векторное пространство, размерность которого является суммой размерностей двух слагаемых:

${displaystyle dim (Voplus W) = dim V + dim W.}$

В более общем смысле тензорное произведение может быть расширено на другие категории математических объектов в дополнение к векторным пространствам, например матрицы, тензоры, алгебры, топологические векторные пространства, и модули. В каждом таком случае тензорное произведение характеризуется аналогичным универсальная собственность: это самый свободный билинейная операция. Общая концепция «тензорного произведения» описана моноидальные категории; то есть класс всех вещей, имеющих тензорное произведение, является моноидальной категорией.

Интуитивная мотивация и конкретное тензорное произведение

Интуитивная мотивация тензорного произведения опирается на концепцию тензоры в более общем смысле. В частности, тензор - это объект, который можно рассматривать как особый тип многолинейная карта, который принимает определенное количество векторов (его порядок) и выводит скаляр. Такие объекты полезны в ряде областей применения, таких как Риманова геометрия, известный своим использованием в Альберт Эйнштейн с общая теория относительности в современная физика, где метрический тензор это фундаментальная концепция. В частности, метрический тензор принимает два вектора, представленные примерно как маленькие стрелки, исходящие из определенной точки в искривленном пространстве, или многообразие, и возвращает местный скалярное произведение из них относительно этой конкретной точки - операция, которая кодирует некоторую информацию о векторах ' длина так же хорошо как угол между ними. Поскольку скалярное произведение является скаляром, считается, что метрический тензор заслуживает своего названия. В каждой точке многообразия есть один метрический тензор, и вариация в метрическом тензоре, таким образом, кодирует, как понятия расстояния и угла, и, следовательно, законы аналитическая геометрия, меняются по всему коллектору.

Можно представить себе тензорное произведение двух векторных пространств, ${displaystyle V}$ и ${displaystyle W}$, как представляющий набор всех тензоров, которые берут вектор из ${displaystyle V}$ и вектор из ${displaystyle W}$ и вывести скаляр в их общее базовое поле (и, следовательно, могут быть определены только в том случае, если у них есть такое общее базовое поле). Эти два пространства могут быть одинаковыми - выше они являются векторами в касательное пространство в точке: грубо говоря, плоское пространство крошечный кусок многообразия «выглядит» рядом с определенной точкой, и, таким образом, метрический тензор живет в тензорном произведении этого пространства на себя. Но эти два пространства также могут быть разными.

Если у нас есть основа для каждого из векторных пространств, а векторные пространства конечномерны, мы можем представить векторы в терминах компонентов этих базисных векторов:

${displaystyle mathbf {v} = {egin {bmatrix} v_ {1} v_ {2} vdots v_ {n} end {bmatrix}}, mathbf {w} = {egin {bmatrix} w_ {1} w_ {2} vdots w_ {m} end {bmatrix}}.}$

где каждый вектор-столбец обозначает компоненты в конкретном базисе, т. е. ${displaystyle mathbf {v} = v_ {1} mathbf {e} _ {1} + v_ {2} mathbf {e} _ {2} + cdots + v_ {n} mathbf {e} _ {n}}$ (и аналогично для ${displaystyle mathbf {w}}$).

Тогда тензор - это отображение ${displaystyle T (mathbf {v}, mathbf {w})}$ который работает, как указано выше, возвращает скаляр и является линейным по обоим своим аргументам. Такой тензор можно представить с помощью матричного умножения:

${displaystyle T (mathbf {v}, mathbf {w}) = mathbf {v} ^ {mathsf {T}} mathbf {T} mathbf {w}}$

где верхний индекс ${displaystyle {mathsf {T}}}$ обозначает матрица транспонировать, который отправляет вектор ${displaystyle mathbf {v}}$ к его двойной вектор.

Учитывая два вектора, мы можем довольно естественно сформировать из них собственный тензор, используя внешний продукт, который обозначается ${displaystyle mathbf {v} otimes mathbf {w}}$ и равно ${displaystyle mathbf {v} mathbf {w} ^ {mathsf {T}}}$. Этот тензор представляет собой матрицу

${displaystyle mathbf {v} otimes mathbf {w} = {egin {bmatrix} v_ {1} w_ {1} & v_ {1} w_ {2} & cdots & v_ {1} w_ {m} v_ {2} w_ {1 } & v_ {2} w_ {2} & cdots & v_ {2} w_ {m} vdots & vdots & ddots & vdots v_ {n} w_ {1} & v_ {n} w_ {2} & cdots & v_ {n} w_ {m} конец {bmatrix}}}$

и эта матрица соответствует тензору по предыдущей конструкции, что напоминает то, как она соответствует линейной карте (путем умножения только с одной стороны). Эти тензоры сами генерируют векторное пространство, складывая их вместе и умножая на скаляры обычными способами, которые мы делаем для матриц и функций, и набор всех таких тензоров, сформированных таким образом, является тензорное произведение ${displaystyle Votimes W}$ самих двух векторных пространств. Фактически, это пространство эквивалентно пространству карт, представленных всевозможными матрицами указанного выше размера, как можно увидеть, отметив, что простые тензорные произведения ${displaystyle mathbf {e} _ {i} otimes mathbf {f} _ {j}}$ (здесь ${displaystyle mathbf {f} _ {j}}$ является основой другого векторного пространства, ${displaystyle W}$) имеют "1" в ${displaystyle (i, j)}$-я позиция и "0" везде, что позволяет умножить их на любое число, а затем сложить, чтобы получить матрицу с произвольными записями.

Цель последующих разделов - найти определение, которое эквивалентно этому, где оно применимо, но которое не требует конкретного выбора основы и которое также может быть более легко применено к бесконечномерный настройки, где обычные базовые понятия (Основа Гамеля ) может вести себя плохо. Отсутствие необходимости в конкретной основе полезно с теоретической точки зрения, поскольку, хотя каждое векторное пространство имеет основу, не все базы обязательно могут быть построены, и, более того, сам результат зависит от принятия аксиома выбора, которые могут быть отвергнуты в некоторых системах математики. Также полезно найти абстрактную конструкцию для анализа с точки зрения теория категорий - теория сильно уменьшенной «большой математической картины» и того, как все математические объекты соотносятся друг с другом в очень общем смысле. Очень важное практическое применение такого определения можно найти в квантовая механика: тензорное произведение в этой форме позволяет говорить о волновая функция системы двух частиц как абстрактного Гильбертово пространство вектор без необходимости указывать конкретную основу наблюдаемые.

Маленький шаг к абстрактному тензорному произведению: свободное векторное пространство

Первый шаг, который мы рассмотрим, включает введение так называемого "свободное векторное пространство "над заданным набором. Суть этой идеи в основном состоит в том, что мы сказали в последнем пункте: поскольку тензор ${displaystyle T}$ можно записать двойной суммой

${displaystyle T = sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {m} (v_ {i} w_ {j}) (mathbf {e} _ {i} otimes mathbf {f} _ {j})}$

наиболее естественный способ подойти к этой проблеме - как-то разобраться, как можно «забыть» о конкретном выборе баз ${displaystyle mathbf {e}}$ и ${displaystyle mathbf {f}}$ которые здесь используются. В математике мы «забываем» о репрезентативных деталях чего-либо, устанавливая идентификацию, которая говорит нам, что две разные вещи, которые следует рассматривать как репрезентации одного и того же предмета, на самом деле таковы, т.е. , они есть »или« нет, они не », а затем« объединить вместе »все репрезентации как составляющие« представляемую вещь »без ссылки на какую-либо конкретную вещь, упаковывая их все вместе в единый набор. Формально мы сначала строим отношение эквивалентности, а затем возьмите набор частных этим отношением.

Но прежде чем мы сможем это сделать, нам сначала нужно разработать то, что мы собираемся использовать в отношении отношения эквивалентности. Мы делаем это с другой стороны, «снизу вверх»: поскольку нам не гарантируется, по крайней мере, конструктивная основа при запуске из произвольных векторных пространств, мы могли бы вместо этого попытаться начать с гарантии того, что у нас есть один, то есть мы начнем сначала с рассмотрения «основы» как данности, а затем построим векторное пространство поверх него. С этой целью мы делаем следующее: предположим, что ${displaystyle B}$ некоторый набор, который мы могли бы назвать абстрактный базисный набор. Теперь рассмотрим все формальный выражения формы

${displaystyle mathbf {v} = a_ {1} eta _ {1} + a_ {2} eta _ {2} + cdots + a_ {n} eta _ {n}}$

произвольной, но конечной длины ${displaystyle n}$ и для чего ${displaystyle a_ {j}}$ скаляры и ${displaystyle eta _ {j}}$ являются членами ${displaystyle B}$. Интуитивно это линейная комбинация базисных векторов в обычном смысле расширения элемента векторного пространства. Мы называем это «формальным выражением», потому что технически умножать ${displaystyle a_ {j} eta _ {j}}$ поскольку по умолчанию для произвольного набора и произвольного поля скаляров не существует определенной операции умножения. Вместо этого мы будем «притворяться» (аналогично определению мнимые числа ), что это относится к чему-то, а затем будет управлять этим в соответствии с правилами, которые мы ожидаем для векторного пространства, например сумма двух таких строк, использующих одну и ту же последовательность членов ${displaystyle B}$ является

${displaystyle (a_ {1} eta _ {1} + a_ {2} eta _ {2} + cdots + a_ {n} eta _ {n}) + (b_ {1} eta _ {1} + b_ {2 } eta _ {2} + cdots + b_ {n} eta _ {n}) = (a_ {1} + b_ {1}) eta _ {1} + (a_ {2} + b_ {2}) eta _ {2} + cdots + (a_ {n} + b_ {n}) eta _ {n}}$

где мы использовали ассоциативный, коммутативный, и распределительный законы переставить первую сумму во вторую. Продолжение этого способа для скалярных кратных и всех комбинаций векторов разной длины позволяет нам построить векторное сложение и скалярное умножение на этом наборе формальных выражений, и мы называем это свободное векторное пространство над ${displaystyle B}$, письмо ${displaystyle F (B)}$. Обратите внимание, что элементы ${displaystyle B}$, рассматриваемые как формальные выражения длины один с коэффициентом 1 спереди, образуют Основа Гамеля для этого места.

Затем выражение тензорного произведения абстрагируется с учетом того, что если ${displaystyle eta _ {j}}$ и ${displaystyle gamma _ {j}}$ представляют "абстрактные базисные векторы" из двух наборов ${displaystyle B}$ и ${displaystyle G}$, т.е. что "${displaystyle eta _ {j} = mathbf {e} _ {j}}$" и "${displaystyle gamma _ {j} = mathbf {f} _ {j}}$", то пары из них в декартовом произведении ${displaystyle B imes G}$, т.е. ${displaystyle (eta _ {i}, gamma _ {j})}$ взяты за тензорные произведения ${displaystyle mathbf {e} _ {i} otimes mathbf {f} _ {j}}$. (Обратите внимание, что тензорные произведения в выражении в некотором смысле «атомарны», т.е. сложения и скалярные умножения не разделяют их ни на что другое, поэтому мы можем заменить их чем-то другим, не изменяя математическую структуру.) С такой идентификацией. , таким образом, мы можем определить тензорное произведение двух свободных векторных пространств ${displaystyle F (B)}$ и ${displaystyle F (G)}$ как нечто (еще предстоит решить), изоморфное ${displaystyle F (B imes G)}$.

Использование свободного векторного пространства, чтобы «забыть» о базисе

Приведенное выше определение будет работать для любого векторного пространства, в котором мы может указать базис, поскольку мы можем просто перестроить его как свободное векторное пространство над этим базисом: приведенная выше конструкция точно отражает то, как вы представляете векторы через конструкцию базиса Хамеля по дизайну. По сути, мы ничего не добились ... пока не сделаем это.

Теперь мы не предполагаем доступа к базам векторных пространств. ${displaystyle V}$ и ${displaystyle W}$ что мы хотим сформировать тензорное произведение ${displaystyle Votimes W}$ из. Вместо этого мы возьмем все из ${displaystyle V}$ и ${displaystyle W}$ как «основу» для построения тензоров. Это следующая лучшая вещь, и единственное, что мы гарантированный уметь делать, независимо от каких-либо проблем в поиске конкретной основы; это соответствует сложению произвольных внешних продуктов ${displaystyle mathbf {v} otimes mathbf {w}}$ произвольных векторов в последней части раздела «Интуитивная мотивация». Единственная разница здесь в том, что если мы воспользуемся конструкцией свободного векторного пространства и сформируем очевидное ${displaystyle F (V) otimes F (W) = F (V imes W)}$, у него будет много повторяющихся версий того, что должно быть одним и тем же тензором; возвращаясь к нашему базовому случаю, если мы рассмотрим пример, где ${displaystyle V = W = mathbb {R} ^ {2}}$ в стандартном базисе можно считать, что тензор, образованный векторами ${displaystyle mathbf {x} = {egin {bmatrix} 0 & 3end {bmatrix}} ^ {mathsf {T}}}$ и ${displaystyle mathbf {y} = {egin {bmatrix} 5 & -3end {bmatrix}} ^ {mathsf {T}}}$, т.е.

${displaystyle T: = mathbf {x} otimes mathbf {y} = {egin {bmatrix} 0 & 0 15 & -9end {bmatrix}},}$

мог также быть представленными другими суммами, такими как сумма с использованием отдельных базовых тензоров ${displaystyle mathbf {e} _ {i} otimes mathbf {e} _ {j}}$, например

${displaystyle T = 0 (mathbf {e} _ {1} otimes mathbf {e} _ {1}) + 0 (mathbf {e} _ {1} otimes mathbf {e} _ {2}) + 15 (mathbf { e} _ {2} otimes mathbf {e} _ {1}) - 9 (mathbf {e} _ {2} otimes mathbf {e} _ {2}).}$

Они, будучи равными выражениями в конкретном случае, соответствовали бы различным элементам свободного векторного пространства ${displaystyle F (V imes W)}$, а именно

${displaystyle T = (x, y)}$

в первом случае и

${displaystyle T = 0 (e_ {1}, e_ {1}) + 0 (e_ {1}, e_ {2}) + 15 (e_ {2}, e_ {1}) - 9 (e_ {2}, e_ {2})}$

во втором случае. Таким образом, мы должны их сжать - здесь вступает в игру отношение эквивалентности. Хитрость в его создании заключается в том, чтобы отметить, что для любого вектора ${displaystyle mathbf {x}}$ в векторном пространстве его всегда можно представить как сумму двух других векторов ${displaystyle mathbf {a}}$ и ${displaystyle mathbf {b}}$ не равно оригиналу. Если ничего другого, пусть ${displaystyle mathbf {a}}$ быть любым вектором, а затем взять ${displaystyle mathbf {b}: = mathbf {x} -mathbf {a}}$- что также показывает, что если нам дан один вектор, а затем второй вектор, мы можем записать первый вектор в терминах второго вместе с подходящим третьим вектором (действительно, многими способами - просто рассмотрите скалярные кратные второго вектора в такое же вычитание.).

Это полезно для нас, потому что внешнее произведение удовлетворяет следующим свойствам линейности, которые можно доказать простой алгеброй на соответствующих матричных выражениях:

${displaystyle {egin {выровнено} (mathbf {u} otimes mathbf {v}) ^ {mathsf {T}} & = (mathbf {v} otimes mathbf {u}) (mathbf {v} + mathbf {w}) otimes mathbf {u} & = mathbf {v} otimes mathbf {u} + mathbf {w} otimes mathbf {u} mathbf {u} otimes (mathbf {v} + mathbf {w}) & = mathbf {u} otimes mathbf {v} + mathbf {u} otimes mathbf {w} c (mathbf {v} otimes mathbf {u}) & = (cmathbf {v}) иногда mathbf {u} = mathbf {v} otimes (cmathbf {u }) конец {выровнен}}}$

Если мы хотим связать внешний продукт ${displaystyle mathbf {v} otimes mathbf {w}}$ сказать, ${displaystyle mathbf {e_ {1}} otimes mathbf {w}}$, мы можем использовать первое соотношение выше вместе с подходящим выражением ${displaystyle mathbf {v}}$ как сумму некоторого вектора и некоторого скалярного кратного ${displaystyle mathbf {e_ {1}}}$.

Затем достигается равенство между двумя конкретными тензорами, если использование приведенных выше правил позволит нам переставить одну сумму внешних произведений в другую, соответствующим образом разложив векторы - независимо от того, есть ли у нас набор фактических базисных векторов. Применяя это к нашему примеру выше, мы видим, что, конечно, у нас есть

${displaystyle {egin {align} mathbf {x} & = 0mathbf {e} _ {1} + 3mathbf {e} _ {2} mathbf {y} & = 5mathbf {e} _ {1} -3mathbf {e} _ {2} конец {выровнено}}}$

для которого замена в

${displaystyle T = mathbf {x} otimes mathbf {y}}$

дает нам

${displaystyle T = (0mathbf {e} _ {1} + 3mathbf {e} _ {2}) otimes (5mathbf {e} _ {1} -3mathbf {e} _ {2})}$

а разумное использование свойств дистрибутивности позволяет нам преобразовать их в желаемую форму. Точно так же существует соответствующая «зеркальная» манипуляция с точки зрения элементов свободного векторного пространства. ${displaystyle (x, y)}$ и ${displaystyle (e_ {1}, e_ {1})}$, ${displaystyle (e_ {1}, e_ {2})}$и т. д., что в конечном итоге приводит нас к формальному определению тензорного произведения.

Определение абстрактного тензорного произведения

Аннотация тензорное произведение двух векторных пространств ${displaystyle V}$ и ${displaystyle W}$ над общим базовым полем ${displaystyle K}$ это фактор-векторное пространство

${displaystyle Votimes W: = F (V imes W) / {sim}}$

куда ${displaystyle sim}$ это отношение эквивалентности из формальное равенство генерируется в предположении, что для каждого ${displaystyle (v, w)}$ и ${displaystyle (v ', w')}$ взятые как формальные выражения в свободном векторном пространстве ${displaystyle F (V imes W)}$, выполняются следующие условия:

Личность. ${displaystyle (v, w) sim (v, w).}$

Симметрия. ${displaystyle (v, w) sim (v ', w')}$ подразумевает ${displaystyle (v ', w') sim (v, w).}$

Транзитивность. ${displaystyle (v, w) sim (v ', w')}$ и ${displaystyle (v ', w') sim (v '', w '')}$ подразумевает ${displaystyle (v, w) sim (v '', w '').}$

Распределительность. ${displaystyle (v, w) + (v ', w) sim (v + v', w)}$ и ${displaystyle (v, w) + (v, w ') sim (v, w + w').}$

Скалярные кратные. ${displaystyle c (v, w) sim (cv, w)}$ и ${displaystyle c (v, w) sim (v, cw).}$

и затем проверка эквивалентности общих формальных выражений с помощью соответствующих манипуляций.^{[нужна цитата ]} Арифметика определяется на тензорном произведении путем выбора репрезентативных элементов, применения арифметических правил и, наконец, взятия класса эквивалентности. Более того, для любых двух векторов ${displaystyle vin V}$ и ${displaystyle win W}$, класс эквивалентности ${displaystyle [(v, w)]}$ обозначается ${displaystyle votimes w}$.

Характеристики

Обозначение

Элементы V ⊗ W часто упоминаются как тензоры, хотя этот термин относится и ко многим другим связанным понятиям.^[1] Если v принадлежит V и ш принадлежит W, то класс эквивалентности (v, ш) обозначается v ⊗ ш, который называется тензорным произведением v с ш. В физике и технике это использование "⊗" символ относится конкретно к внешний продукт операция; результат внешнего продукта v ⊗ ш является одним из стандартных способов представления класса эквивалентности v ⊗ ш.^[2] Элемент V ⊗ W что можно записать в виде v ⊗ ш называется чистый или же простой тензор. В общем, элемент пространства тензорного произведения - это не чистый тензор, а скорее конечная линейная комбинация чистых тензоров. Например, если v₁ и v₂ находятся линейно независимый, и ш₁ и ш₂ также линейно независимы, то v₁ ⊗ ш₁ + v₂ ⊗ ш₂ не может быть записан как чистый тензор. Количество простых тензоров, необходимых для выражения элемента тензорного произведения, называется тензорный ранг (не путать с тензорный порядок, который представляет собой количество пробелов, произведенных на которые в данном случае 2; в обозначениях количество индексов), а для линейных операторов или матриц, рассматриваемых как (1, 1) тензоры (элементы пространства V ⊗ V^∗) согласуется с ранг матрицы.

Измерение

Данные базы {v_я} и {ш_j} за V и W соответственно тензоры {v_я ⊗ ш_j} сформировать основу для V ⊗ W. Следовательно, если V и W конечномерны, размерность тензорного произведения - произведение размерностей исходных пространств; например р^м ⊗ р^п изоморфен р^млн.

Тензорное произведение линейных карт

Тензорное произведение также действует на линейные карты между векторными пространствами. В частности, учитывая две линейные карты S : V → Икс и Т : W → Y между векторными пространствами, тензорное произведение двух линейных карт S и Т линейная карта

${displaystyle Sotimes T: Votimes W o Xotimes Y}$

определяется

${displaystyle (Sotimes T) (votimes w) = S (v) otimes T (w).}$

Таким образом, тензорное произведение становится бифунктор из категории векторных пространств в себя, ковариантный в обоих аргументах.^[3]

Если S и Т оба инъективный, сюръективный или (в случае, если V, Икс, W, и Y находятся нормированные векторные пространства или же топологические векторные пространства ) непрерывный, тогда S ⊗ Т инъективен, сюръективен или непрерывен соответственно.

Выбирая базы всех задействованных векторных пространств, линейные отображения S и Т может быть представлен матрицы. Тогда, в зависимости от того, как тензор ${displaystyle votimes w}$ векторизована матрица, описывающая тензорное произведение S ⊗ Т это Кронекер продукт из двух матриц. Например, если V, Икс, W, и Y все выше двумерные, и для всех них зафиксированы основы, и S и Т задаются матрицами

${displaystyle A = {egin {bmatrix} a_ {1,1} & a_ {1,2} a_ {2,1} & a_ {2,2} end {bmatrix}}, qquad B = {egin {bmatrix} b_ {1,1} & b_ {1,2} b_ {2,1} & b_ {2,2} end {bmatrix}},}$

соответственно, то тензорное произведение этих двух матриц равно

${displaystyle {egin {bmatrix} a_ {1,1} & a_ {1,2} a_ {2,1} & a_ {2,2} end {bmatrix}} иногда {egin {bmatrix} b_ {1,1} & b_ {1,2} b_ {2,1} & b_ {2,2} end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} a_ {1,1} {egin {bmatrix} b_ {1,1} & b_ { 1,2} b_ {2,1} & b_ {2,2} end {bmatrix}} & a_ {1,2} {egin {bmatrix} b_ {1,1} & b_ {1,2} b_ {2 , 1} & b_ {2,2} end {bmatrix}} [3pt] a_ {2,1} {egin {bmatrix} b_ {1,1} & b_ {1,2} b_ {2,1} & b_ {2,2} end {bmatrix}} & a_ {2,2} {egin {bmatrix} b_ {1,1} & b_ {1,2} b_ {2,1} & b_ {2,2} end { bmatrix}} end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} a_ {1,1} b_ {1,1} & a_ {1,1} b_ {1,2} & a_ {1,2} b_ {1,1 } & a_ {1,2} b_ {1,2} a_ {1,1} b_ {2,1} & a_ {1,1} b_ {2,2} & a_ {1,2} b_ {2,1} & a_ {1,2} b_ {2,2} a_ {2,1} b_ {1,1} & a_ {2,1} b_ {1,2} & a_ {2,2} b_ {1,1} & a_ {2,2} b_ {1,2} a_ {2,1} b_ {2,1} & a_ {2,1} b_ {2,2} & a_ {2,2} b_ {2,1} & a_ { 2,2} b_ {2,2} end {bmatrix}}.}$

Результирующий ранг не превосходит 4, и, следовательно, результирующая размерность равна 4. Обратите внимание, что классифицировать здесь обозначает тензорный ранг т.е. количество необходимых индексов (в то время как ранг матрицы подсчитывает количество степеней свободы в результирующем массиве). Примечание ${displaystyle operatorname {Tr} Aotimes B = operatorname {Tr} A imes operatorname {Tr} B}$.

А диадический продукт является частным случаем тензорного произведения двух векторов одной размерности.

Универсальная собственность

Этот коммутативная диаграмма представляет универсальное свойство тензорного произведения. Здесь ${displaystyle varphi}$ и ${displaystyle h}$ билинейны, тогда как ${displaystyle {ilde {h}}}$ линейно.

В контексте векторных пространств тензорное произведение ${displaystyle Votimes W}$ и соответствующее билинейное отображение ${displaystyle varphi: V imes W o Votimes W}$ характеризуются с точностью до изоморфизма универсальная собственность касательно билинейные карты. (Напомним, что билинейное отображение - это функция, раздельно линейно по каждому из своих аргументов.) Неформально ${displaystyle varphi}$ является наиболее общей билинейной картой из ${displaystyle V imes W}$.

Векторное пространство ${displaystyle Votimes W}$ и связанное с ним билинейное отображение ${displaystyle varphi: V imes W o Votimes W}$ обладают тем свойством, что любая билинейная карта ${displaystyle h: V imes W o Z}$ из ${displaystyle V imes W}$ в любое векторное пространство ${displaystyle Z}$ факторы через ${displaystyle varphi}$ однозначно. Говоря "${displaystyle h}$ факторы через ${displaystyle varphi}$ однозначно ", мы имеем в виду, что существует единственная линейная карта ${displaystyle {ilde {h}}: Votimes W o Z}$ такой, что ${displaystyle h = {ilde {h}} circ varphi}$.

Эта характеризация может упростить доказательства тензорного произведения. Например, тензорное произведение симметрично, что означает, что существует канонический изоморфизм:

${displaystyle Votimes Wcong Wotimes V.}$

Чтобы построить, скажем, карту из ${displaystyle Votimes W}$ к ${displaystyle Wotimes V}$, достаточно дать билинейное отображение ${displaystyle h: V imes W o Wotimes V}$ что отображает ${displaystyle (v, w)}$ к ${displaystyle wotimes v}$. Тогда универсальное свойство ${displaystyle Votimes W}$ средства ${displaystyle h}$ факторы в карту ${displaystyle {ilde {h}}: Votimes W o Wotimes V}$.Карта ${displaystyle {ilde {g}}: Wotimes V o Votimes W}$ в противоположном направлении определяется аналогично, и проверяется, что две линейные карты ${displaystyle {ilde {h}}}$ и ${displaystyle {ilde {g}}}$ находятся обратный друг к другу, снова используя их универсальные свойства.

Универсальное свойство чрезвычайно полезно для демонстрации инъективности отображения тензорного произведения. Например, предположим, что мы хотим показать, что ${displaystyle mathbb {R} otimes mathbb {R}}$ изоморфен ${displaystyle mathbb {R}}$. Поскольку все простые тензоры имеют вид ${displaystyle aotimes b = (ab) otimes 1}$, а значит, все элементы тензорного произведения имеют вид ${displaystyle xotimes 1}$ благодаря аддитивности по первой координате у нас есть естественный кандидат в изоморфизм ${displaystyle mathbb {R} ightarrow mathbb {R} иногда mathbb {R}}$ дано сопоставлением ${displaystyle x}$ к ${displaystyle xotimes 1}$, и это отображение тривиально сюръективно.

Прямая демонстрация инъективности подразумевает каким-то образом показать, что нет нетривиальных отношений между ${displaystyle xotimes 1}$ и ${displaystyle yotimes 1}$ за ${displaystyle xeq y}$, что кажется устрашающим. Однако мы знаем, что существует билинейное отображение ${displaystyle mathbb {R} imes mathbb {R} ightarrow mathbb {R}}$ заданные путем умножения координат вместе, и универсальное свойство тензорного произведения затем предоставляет карту векторных пространств ${displaystyle mathbb {R} иногда mathbb {R} ightarrow mathbb {R}}$ который отображает ${displaystyle xotimes 1}$ к ${displaystyle x}$, и, следовательно, является обратной по отношению к ранее построенному гомоморфизму, что сразу дает желаемый результат. Обратите внимание, что априори даже не ясно, правильно ли определено это обратное отображение, но универсальное свойство и связанное с ним билинейное отображение вместе подразумевают, что это так.

Аналогичные рассуждения можно использовать, чтобы показать, что тензорное произведение ассоциативно, то есть существуют естественные изоморфизмы

${displaystyle V_ {1} otimes (V_ {2} otimes V_ {3}) cong (V_ {1} otimes V_ {2}) otimes V_ {3}.}$

Поэтому круглые скобки принято опускать и писать ${displaystyle V_ {1} otimes V_ {2} otimes V_ {3}}$.

Категория векторных пространств с тензорным произведением является примером симметричная моноидальная категория.

Определение универсального свойства тензорного произведения справедливо в большем количестве категорий, чем только категория векторных пространств. Вместо использования полилинейных (билинейных) отображений в общем определении тензорного произведения используются мультиморфизмы.^[4]

Тензорные силы и плетение

Позволять п быть неотрицательным целым числом. В пth тензорная мощность векторного пространства V это п-кратное тензорное произведение V с собой. То есть

${displaystyle V ^ {otimes n}; {overset {mathrm {def}} {=}}; underbrace {Votimes cdots otimes V} _ {n}.}$

А перестановка σ из набора {1, 2, ..., п} определяет отображение пth декартова степень V следующее:

${displaystyle {egin {cases} sigma: V ^ {n} o V ^ {n} sigma (v_ {1}, v_ {2}, ldots, v_ {n}) = left (v_ {sigma (1)}) , v_ {sigma (2)}, ldots, v_ {sigma (n)} ight) end {case}}}$

Позволять

${displaystyle varphi: V ^ {n} o V ^ {otimes n}}$

- естественное полилинейное вложение декартовой степени V в тензорную степень V. Тогда по универсальному свойству существует единственный изоморфизм

${displaystyle au _ {sigma}: V ^ {otimes n} o V ^ {otimes n}}$

такой, что

${displaystyle varphi circ sigma = au _ {sigma} circ varphi.}$

Изоморфизм τ_σ называется карта плетения связанный с перестановкой σ.

Произведение тензоров

Для неотрицательных целых чисел р и s тип (р, s) тензор в векторном пространстве V является элементом

${displaystyle T_ {s} ^ {r} (V) = underbrace {Votimes cdots otimes V} _ {r} otimes underbrace {V ^ {*} otimes cdots otimes V ^ {*}} _ {s} = V ^ { раз r} раз осталось (V ^ {*} ight) ^ {otimes s}.}$

Здесь V^∗ это двойное векторное пространство (который состоит из всех линейные карты ж из V на поле K).

Существует карта продукта, называемая (тензорное) произведение тензоров^[5]

${displaystyle T_ {s} ^ {r} (V) иногда _ {K} T_ {s '} ^ {r'} (V) o T_ {s + s '} ^ {r + r'} (V). }$

Он определяется путем группировки всех встречающихся «факторов» V вместе: писать v_я для элемента V и ж_я для элемента дуального пространства,

${displaystyle (v_ {1} otimes f_ {1}) otimes (v '_ {1}) = v_ {1} otimes v' _ {1} otimes f_ {1}.}$

Выбираем основу V и соответствующие двойная основа из V^∗ естественно создает основу для Т^р
_s(V) (эта основа описана в статья о продуктах Kronecker ). С точки зрения этих баз составные части (тензорного) произведения двух (или более) тензоры можно вычислить. Например, если F и грамм два ковариантный тензоры порядков м и п соответственно (т.е. F ∈ Т⁰
_м, и грамм ∈ Т⁰
_п), то компоненты их тензорного произведения имеют вид^[6]

${displaystyle (Fotimes G) _ {i_ {1} i_ {2} cdots i_ {m + n}} = F_ {i_ {1} i_ {2} cdots i_ {m}} G_ {i_ {m + 1} i_ {m + 2} i_ {m + 3} cdots i_ {m + n}}.}$

Таким образом, компоненты тензорного произведения двух тензоров являются обычным произведением компонент каждого тензора. Другой пример: пусть U - тензор типа (1, 1) с компонентами U^α_β, и разреши V - тензор типа (1, 0) с компонентами V ^γ. потом

${displaystyle (Uotimes V) ^ {alpha} {} _ {eta} {} ^ {gamma} = U ^ {alpha} {} _ {eta} V ^ {gamma}}$

и

${displaystyle (Votimes U) ^ {mu u} {} _ {sigma} = V ^ {mu} U ^ {u} {} _ {sigma}.}$

Тензоры, оснащенные своей производственной операцией, образуют алгебра, называется тензорная алгебра.

Карта оценки и сжатие тензора

Для тензоров типа (1, 1) есть канонический оценочная карта

${displaystyle Votimes V ^ {*} o K}$

определяется его действием на чистые тензоры:

${displaystyle votimes fmapsto f (v).}$

В более общем смысле, для тензоров типа (р, s), с р, s > 0, есть карта под названием тензорное сжатие,

${displaystyle T_ {s} ^ {r} (V) o T_ {s-1} ^ {r-1} (V).}$

(Копии V и V^* необходимо указать эту карту.)

С другой стороны, если V является конечномерный, существует каноническая карта в другом направлении (называемая карта одновременной оценки)

${displaystyle {egin {cases} K o Votimes V ^ {*} lambda mapsto sum _ {i} lambda v_ {i} otimes v_ {i} ^ {*} end {cases}}}$

куда v₁, ..., v_п есть какая-то основа V, и v_я^∗ это его двойная основа. Эта карта не зависит от выбора основы.^[7]

Взаимодействие оценки и сооценки может быть использовано для характеристики конечномерных векторных пространств без ссылки на базисы.^[8]

Присоединенное представительство

Тензорное произведение ${displaystyle T_ {s} ^ {r} (V)}$ естественно рассматривать как модуль для Алгебра Ли Конец(V) посредством диагонального действия: для простоты предположим р = s = 1, то для каждого ты ∈ End (V),

${displaystyle u (aotimes b) = u (a) otimes b-aotimes u ^ {*} (b),}$

куда ты^∗ в Конец(V^∗) это транспонировать из ты, то есть в терминах очевидного спаривания на V ⊗ V^∗,

${displaystyle langle u (a), bangle = langle a, u ^ {*} (b) угол}$.

Есть канонический изоморфизм ${displaystyle T_ {1} ^ {1} (V) o mathrm {End} (V)}$ данный

${displaystyle (aotimes b) (x) = langle x, bangle a.}$

При этом изоморфизме каждый ты в Конец(V) можно сначала рассматривать как эндоморфизм ${displaystyle T_ {1} ^ {1} (V)}$ а затем рассматривается как эндоморфизм Конец(V). Фактически это присоединенное представительство объявление(ты) из Конец(V).

Связь тензорного произведения с Hom

Для двух конечномерных векторных пространств U, V над тем же полем K, обозначим двойное пространство из U в качестве U *, а K-векторное пространство всех линейных отображений из U к V в качестве Hom (U,V). Есть изоморфизм,

${displaystyle U ^ {*} иногда Vcong mathrm {Hom} (U, V),}$

определяемый действием чистого тензора ${displaystyle fotimes vin U ^ {*} otimes V}$ на элементе ${displaystyle U}$,

${displaystyle (fotimes v) (u) = f (u) v.}$

Его «обратное» можно определить, используя базис ${displaystyle {u_ {i}}}$ и его двойственная основа ${displaystyle {u_ {i} ^ {*}}}$ как в разделе "Карта оценки и сжатие тензора " над:

${displaystyle {egin {cases} mathrm {Hom} (U, V) o U ^ {*} иногда V Fmapsto sum _ {i} u_ {i} ^ {*} иногда F (u_ {i}). end { случаи}}}$

Из этого результата следует

${displaystyle dim (Uotimes V) = dim (U) dim (V),}$

что автоматически дает важный факт, что ${displaystyle {u_ {i} otimes v_ {j}}}$ формирует основу для ${displaystyle Uotimes V}$ куда ${displaystyle {u_ {i}}, {v_ {j}}}$ основы U и V.

Кроме того, учитывая три векторных пространства U, V, W тензорное произведение связано с векторным пространством все линейные карты, а именно:

${displaystyle mathrm {Hom} (Uotimes V, W) cong mathrm {Hom} (U, mathrm {Hom} (V, W)).}$

Это пример присоединенные функторы: тензорное произведение «сопряжено слева» к Hom.

Тензорные произведения модулей над кольцом

Тензорное произведение двух модули А и B через коммутативный звенеть р определяется точно так же, как тензорное произведение векторных пространств над полем:

${displaystyle Aotimes _ {R} B: = F (A imes B) / G}$

где сейчас F(А × B) это свободный р-модуль генерируется декартовым произведением и грамм это р-модуль, созданный те же отношения, что и выше.

В более общем смысле тензорное произведение может быть определено, даже если кольцо некоммутативный. В этом случае А должно быть право-р-модуль и B левыйр-модуль, а вместо двух последних соотношений выше отношение

${displaystyle (ar, b) - (a, rb)}$

навязывается. Если р некоммутативен, это уже не р-модуль, а просто абелева группа.

Универсальное свойство также переносится, с небольшими изменениями: карта φ : А × B → А ⊗_р B определяется (а, б) ↦ а ⊗ б это средняя линейная карта (называемое «каноническим средним линейным отображением».^[9]); то есть удовлетворяет:^[10]

${displaystyle {egin {выровнено} phi (a + a ', b) & = phi (a, b) + phi (a', b) phi (a, b + b ') & = phi (a, b) + phi (a, b ') phi (ar, b) & = phi (a, rb) конец {выровнено}}}$

Первые два свойства делают φ билинейная карта абелева группа А × B. Для любой средней линейной карты ψ из А × B, единственный гомоморфизм групп ж из А ⊗_р B удовлетворяет ψ = ж ∘ φ, и это свойство определяет ${displaystyle phi}$ внутри группового изоморфизма. Увидеть основная статья для подробностей.

Тензорное произведение модулей над некоммутативным кольцом

Позволять А быть правым р-модуль и B быть левым р-модуль. Тогда тензорное произведение А и B абелева группа, определяемая

${displaystyle Aotimes _ {R} B: = F (A imes B) / G}$

куда ${displaystyle F (A imes B)}$ это свободная абелева группа над ${displaystyle A imes B}$ и G - подгруппа ${displaystyle F (A imes B)}$ порожденный отношениями

${displaystyle {egin {align} & forall a, a_ {1}, a_ {2} in A, forall b, b_ {1}, b_ {2} in B, forall rin R: & (a_ {1}, b ) + (a_ {2}, b) - (a_ {1} + a_ {2}, b), & (a, b_ {1}) + (a, b_ {2}) - (a, b_ { 1} + b_ {2}), & (ar, b) - (a, rb). End {выравнивается}}}$

Универсальное свойство можно сформулировать следующим образом. Позволять грамм абелева группа с отображением ${displaystyle q: A imes B o G}$ это билинейно в том смысле, что

${displaystyle {egin {выровнено} q (a_ {1} + a_ {2}, b) & = q (a_ {1}, b) + q (a_ {2}, b), q (a, b_ { 1} + b_ {2}) & = q (a, b_ {1}) + q (a, b_ {2}), q (ar, b) & = q (a, rb) .end {выровнено} }}$

Тогда есть уникальная карта ${displaystyle {overline {q}}: Aotimes B o G}$ такой, что ${displaystyle {overline {q}} (aotimes b) = q (a, b)}$ для всех ${displaystyle ain A}$ и ${displaystyle bin B}$.

Кроме того, мы можем дать ${displaystyle Aotimes _ {R} B}$ структура модуля при некоторых дополнительных условиях:

1. Если А это (S,р) -бимодуль, то ${displaystyle Aotimes _ {R} B}$ левый S-модуль где ${displaystyle s (aotimes b): = (sa) otimes b}$.
2. Если B это (р,S) -бимодуль, то ${displaystyle Aotimes _ {R} B}$ это право S-модуль где ${displaystyle (aotimes b) s: = aotimes (bs)}$.
3. Если р коммутативное кольцо, то А и B находятся (р,р) -бимодули, где ${displaystyle ra: = ar}$ и ${displaystyle br: = rb}$. По 1), ${displaystyle Aotimes _ {R} B}$ левый р-модуль, а по 2), ${displaystyle Aotimes _ {R} B}$ это право р-модуль, поэтому мы можем сделать вывод ${displaystyle Aotimes _ {R} B}$ это (р,р) -бимодуль.

Вычисление тензорного произведения

Для векторных пространств тензорное произведение V ⊗ W быстро вычисляется, поскольку базы V из W немедленно определить основу V ⊗ W, как было сказано выше. Для модулей над общим (коммутативным) кольцом не каждый модуль свободен. Например, Z/пZ не является свободной абелевой группой (Z-модуль). Тензорное произведение с Z/пZ дан кем-то

${displaystyle Motimes _ {mathbf {Z}} mathbf {Z} / nmathbf {Z} = M / nM.}$

В более общем плане, учитывая презентация некоторых р-модуль M, то есть ряд генераторов м_я ∈ M, я ∈ я вместе с отношениями

${displaystyle sum _ {jin J} a_ {ji} m_ {i} = 0, qquad a_ {ij} in R,}$

тензорное произведение может быть вычислено следующим образом коядро:

${displaystyle Motimes _ {R} N = имя оператора {coker} осталось (N ^ {J} или N ^ {I} ight)}$

Здесь N^J = ⨁_{j ∈ J} N, и карта N^J → N^я определяется путем отправки некоторых п ∈ N в j-я копия N^J к а_джи п (в N^я). В разговорной речи это можно перефразировать, сказав, что презентация M дает начало презентации M ⊗_р N. Об этом говорят, говоря, что тензорное произведение - это правильный точный функтор. Вообще говоря, он не является точным слева, т. Е. С учетом инъективного отображения р-модули M₁ → M₂, тензорное произведение

${displaystyle M_ {1} otimes _ {R} N o M_ {2} otimes _ {R} N}$

обычно не является инъективным. Например, тензорное отображение (инъективного) отображения, заданного умножением на п, п : Z → Z с Z/пZ дает нулевую карту 0 : Z/пZ → Z/пZ, что не является инъекционным. Выше Функторы Tor измерить дефект неточности тензорного произведения. Все высшие функторы Tor собраны в производное тензорное произведение.

Тензорное произведение алгебр

Позволять р коммутативное кольцо. Тензорное произведение р-модули применяется, в частности, если А и B находятся р-алгебры. В этом случае тензорное произведение А ⊗_р B является р-алгебра, положив

${displaystyle (a_ {1} otimes b_ {1}) cdot (a_ {2} otimes b_ {2}) = (a_ {1} cdot a_ {2}) otimes (b_ {1} cdot b_ {2}). }$

Например,

${displaystyle R [x] otimes _ {R} R [y] cong R [x, y].}$

Конкретный пример - когда А и B - поля, содержащие общее подполе р. В тензорное произведение полей тесно связан с Теория Галуа: если, скажем, А = р[Икс] / ж(Икс), куда ж есть некоторые неприводимый многочлен с коэффициентами в р, тензорное произведение можно вычислить как

${displaystyle Aotimes _ {R} Bcong B [x] / f (x)}$

где сейчас ж интерпретируется как тот же многочлен, но с его коэффициентами, рассматриваемыми как элементы B. В более широком поле B, многочлен может стать приводимым, что приводит к теории Галуа. Например, если А = B это Расширение Галуа из р, тогда

${displaystyle Aotimes _ {R} Acong A [x] / f (x)}$

изоморфен (как А-алгебра) к А^{град (ж)}.

Собственные конфигурации тензоров

Квадрат матрицы ${displaystyle A}$ с записями в поле ${displaystyle K}$ представлять линейные карты из векторные пространства, сказать ${displaystyle K ^ {n} o K ^ {n}}$, и, таким образом, линейные отображения ${displaystyle psi: mathbb {P} ^ {n-1} o mathbb {P} ^ {n-1}}$ из проективные пространства над ${displaystyle K}$. Если ${displaystyle A}$ является неособый тогда ${displaystyle psi}$ является четко определенный везде, и собственные векторы из ${displaystyle A}$ соответствуют неподвижным точкам ${displaystyle psi}$. В собственная конфигурация из ${displaystyle A}$ состоит из ${displaystyle n}$ указывает в ${displaystyle mathbb {P} ^ {n-1}}$, при условии ${displaystyle A}$ является общим и ${displaystyle K}$ является алгебраически замкнутый. Неподвижные точки нелинейных отображений являются собственными векторами тензоров. Позволять ${displaystyle A = (a_ {i_ {1} i_ {2} cdots i_ {d}})}$ быть ${displaystyle d}$-мерный тензор формата ${displaystyle n imes n imes cdots imes n}$ с записями ${displaystyle (a_ {i_ {1} i_ {2} cdots i_ {d}})}$ лежащий в алгебраически замкнутом поле ${displaystyle K}$ из характеристика нуль. Такой тензор ${displaystyle Ain (K ^ {n}) ^ {otimes d}}$ определяет полиномиальные отображения ${displaystyle K ^ {n} o K ^ {n}}$ и ${displaystyle mathbb {P} ^ {n-1} o mathbb {P} ^ {n-1}}$ с координатами

${displaystyle psi _ {i} (x_ {1}, ..., x_ {n}) = сумма _ {j_ {2} = 1} ^ {n} сумма _ {j_ {3} = 1} ^ {n } cdots sum _ {j_ {d} = 1} ^ {n} a_ {ij_ {2} j_ {3} cdots j_ {d}} x_ {j_ {2}} x_ {j_ {3}} cdots x_ {j_ {d}} ;; {mbox {for}} i = 1, ..., n}$

Таким образом, каждый из ${displaystyle n}$ координаты ${displaystyle psi}$ это однородный многочлен ${displaystyle psi _ {i}}$ степени ${displaystyle d-1}$ в ${displaystyle mathbf {x} = (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$. Собственные векторы ${displaystyle A}$ являются решениями ограничения

${displaystyle {mbox {rank}} {egin {pmatrix} x_ {1} & x_ {2} & cdots & x_ {n} psi _ {1} (mathbf {x}) & psi _ {2} (mathbf {x}) и cdots & psi _ {n} (mathbf {x}) end {pmatrix}} leq 1}$

а собственная конфигурация задается разнообразие из ${displaystyle 2 imes 2}$ несовершеннолетние этой матрицы.^[11]

Другие примеры тензорных произведений

Тензорное произведение гильбертовых пространств

Гильбертовы пространства обобщить конечномерные векторные пространства на счетно-бесконечный размеры. Тензорное произведение все еще определено; это тензорное произведение гильбертовых пространств.

Топологическое тензорное произведение

Когда базис для векторного пространства больше не является счетным, тогда подходящей аксиоматической формализацией для векторного пространства является формализация топологическое векторное пространство. Тензорное произведение все еще определено, это топологическое тензорное произведение.

Тензорное произведение градуированных векторных пространств

Некоторые векторные пространства можно разложить на прямые суммы подпространств. В таких случаях тензорное произведение двух пространств можно разложить на суммы произведений подпространств (аналогично тому, как умножение распределяется по сложению).

Тензорное произведение представлений

Векторные пространства, наделенные дополнительной мультипликативной структурой, называются алгебры. Тензорное произведение таких алгебр описывается уравнением Правило Литтлвуда – Ричардсона.

Тензорное произведение квадратичных форм

Тензорное произведение полилинейных форм

Учитывая два полилинейные формы ${displaystyle f (x_ {1}, dots, x_ {k})}$ и ${displaystyle g (x_ {1}, dots, x_ {m})}$ в векторном пространстве ${displaystyle V}$ над полем ${displaystyle K}$ их тензорное произведение - полилинейная форма

${displaystyle (fotimes g) (x_ {1}, dots, x_ {k + m}) = f (x_ {1}, dots, x_ {k}) g (x_ {k + 1}, dots, x_ {k) + m}).}$^[12]

Это частный случай произведение тензоров если они видны как полилинейные карты (см. также тензоры как полилинейные карты ). Таким образом, компоненты тензорного произведения полилинейных форм могут быть вычислены с помощью Кронекер продукт.

Тензорное произведение связок модулей

Тензорное произведение линейных пучков

Тензорное произведение полей

Тензорное произведение графов

Следует отметить, что, хотя это и называется «тензорным произведением», это не тензорное произведение графов в указанном выше смысле; на самом деле это теоретико-категориальный продукт в категории графиков и гомоморфизмы графов. Однако на самом деле это Тензорное произведение Кронекера из матрицы смежности графиков. Сравните также раздел Тензорное произведение линейных карт над.

Моноидальные категории

Самая общая настройка для тензорного произведения - это моноидальная категория. Он отражает алгебраическую сущность тензора без каких-либо конкретных ссылок на то, что подвергается тензору. Таким образом, все тензорные произведения могут быть выражены как приложение моноидальной категории к некоторой конкретной установке, действующей на некоторые конкретные объекты.

Факторные алгебры

Ряд важных подпространств тензорная алгебра можно построить как частные: они включают внешняя алгебра, то симметрическая алгебра, то Алгебра Клиффорда, то Алгебра Вейля, а универсальная обертывающая алгебра в целом.

Внешняя алгебра строится из внешний продукт. Учитывая векторное пространство V, внешний продукт ${displaystyle Vwedge V}$ определяется как

${displaystyle Vwedge V: = Votimes V / {votimes vmid vin V}.}$

Обратите внимание, что когда базовое поле V не имеет характеристики 2, то это определение эквивалентно

${displaystyle Vwedge V: = Votimes V / {v_ {1} otimes v_ {2} + v_ {2} otimes v_ {1} mid v_ {1}, v_ {2} in V}.}$

Образ ${displaystyle v_ {1} otimes v_ {2}}$ в экстерьере продукта обычно обозначается ${displaystyle v_ {1} клин v_ {2}}$ и удовлетворяет по построению ${displaystyle v_ {1} клин v_ {2} = - v_ {2} клин v_ {1}}$. Подобные конструкции возможны для ${displaystyle Votimes dots otimes V}$ (п факторов), вызывая ${displaystyle Lambda ^ {n} V}$, то пth внешняя сила из V. Последнее представление лежит в основе дифференциал п-формы.

Симметрическая алгебра строится аналогичным образом из симметричное произведение

${displaystyle Vodot V: = Votimes V / {v_ {1} otimes v_ {2} -v_ {2} otimes v_ {1} mid v_ {1}, v_ {2} in V}.}$

В более общем смысле

${displaystyle operatorname {Sym} ^ {n} V: = underbrace {Votimes dots otimes V} _ {n} / (точек otimes v_ {i} otimes v_ {i + 1} otimes dots -dots otimes v_ {i + 1} otimes v_ {i} otimes dots)}$

То есть в симметричной алгебре два соседних вектора (а значит, и все) можно поменять местами. Полученные объекты называются симметричные тензоры.

Тензорный продукт в программировании

Языки программирования массивов

Языки программирования массивов этот шаблон может быть встроен. Например, в APL тензорное произведение выражается как ○.× (Например A ○. × B или же A ○. × B ○. × C). В J тензорное произведение - это диадическая форма */ (Например а * / б или же а * / б * / с).

Обратите внимание, что обработка J также позволяет представление некоторых тензорных полей, как а и б могут быть функциями вместо констант. Это произведение двух функций является производной функцией, и если а и б находятся дифференцируемый, тогда а * / б дифференцируема.

Однако такие нотации не всегда присутствуют в языках массивов. Другие языки массивов могут потребовать явной обработки индексов (например, MATLAB ) и / или может не поддерживать функции высшего порядка такой как Производная якобиана (Например, Фортран / APL).

Смотрите также

• Диадический продукт
• Расширение скаляров
• Моноидальная категория - Категория, допускающая тензорные произведения
• Тензорная алгебра - Универсальная конструкция в полилинейной алгебре
• Тензорное сжатие
• Топологическое тензорное произведение - Конструкции тензорного произведения для топологических векторных пространств

Примечания

Рекомендации

• Бурбаки, Николас (1989). Элементы математики, алгебра I. Springer-Verlag. ISBN  3-540-64243-9.
• Гауэрс, Тимоти. «Как избавиться от страха перед тензорными произведениями».
• Грийе, Пьер А. (2007). Абстрактная алгебра. Springer Science + Business Media, LLC. ISBN  978-0387715674.
• Халмос, Пол (1974). Конечномерные векторные пространства. Springer. ISBN  0-387-90093-4.
• Хангерфорд, Томас В. (2003). Алгебра. Springer. ISBN  0387905189.
• Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (Пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, МИСТЕР  1878556, Zbl  0984.00001
• Мак Лейн, С.; Биркгоф, Г. (1999). Алгебра. AMS Chelsea. ISBN  0-8218-1646-2.
• Aguiar, M .; Махаджан, С. (2010). Моноидальные функторы, виды и алгебры Хопфа. Серия монографий CRM Том 29. ISBN  978-0-8218-4776-3.
• «Библиография по неабелеву тензорному произведению групп».