Тензорное произведение полей - Википедия - Tensor product of fields

В абстрактная алгебра, теория поля не хватает прямой продукт: прямое произведение двух полей, рассматриваемое как звенеть, является никогда само поле. Тем не менее, часто требуется «объединить» два поля. K и L, либо в тех случаях, когда K и L даны как подполя большего поля M, или когда K и L оба расширения полей меньшего поля N (например, основное поле ).

В тензорное произведение полей это лучшая доступная конструкция на полях, с которой можно обсуждать все возникающие явления. Как кольцо, иногда это поле, а часто - прямой продукт полей; однако он может содержать ненулевые нильпотенты (см. радикал кольца ).

Если K и L не имеют изоморфных простых полей, или, другими словами, они имеют разные характеристики, они не могут быть общими подполями поля M. Соответственно их тензорное произведение в этом случае будет тривиальное кольцо (развал конструкции ни к чему не представляет).

Состав полей

Во-первых, нужно определить понятие совокупности полей. Эта конструкция часто встречается в теория поля. Идея compositum состоит в том, чтобы сделать наименьшее поле, содержащее два других поля. Чтобы формально определить композитум, необходимо сначала указать башня полей. Позволять k быть полем и L и K быть двумя продолжениями k. Композитум, обозначенный K.L определяется как ${ Displaystyle K.L = К (К чашка L)}$ где правая часть обозначает расширение, порожденное K и L. Обратите внимание, что это предполагает немного поле, содержащее как K и L. Любой из них начинается с ситуации, когда окружающее поле легко идентифицировать (например, если K и L являются подполями комплексных чисел), или одно доказывает результат, который позволяет разместить оба K и L (как изоморфные копии) в некотором достаточно большом поле.

Во многих случаях можно определить K.L как векторное пространство тензорное произведение, взятые на поле N это пересечение K и L. Например, если присоединить √2 к рациональному полю, чтобы получить K, и √3, чтобы получить L, верно, что поле M получено как K.L внутри комплексных чисел ℂ есть (вплоть до изоморфизм)

{ displaystyle K otimes _ { mathbb {Q}} L}

как векторное пространство над. (Этот тип результата можно проверить, как правило, с помощью разветвление теория алгебраическая теория чисел.)

Подполя K и L из M находятся линейно непересекающийся (над подполем N) когда таким образом естественный N-линейная карта

{ displaystyle K otimes _ {N} L}

к K.L является инъективный.^[1] Естественно, это не всегда так, например, когда K = L. Когда степени конечны, инъективность здесь эквивалентна биективный. Следовательно, когда K и L являются линейно непересекающимися полями расширения конечной степени над N, ${ displaystyle K.L cong K otimes _ {N} L}$ , как и в случае вышеупомянутых расширений рациональных чисел.

Показательный случай в теории циклотомические поля это для пth корни единства, за п составное число, подполя, генерируемые п^kкорни единства для основные силы разделение п линейно не пересекаются для различных п.^[2]

Тензорное произведение в виде кольца

Чтобы получить общую теорию, нужно рассмотреть кольцевую структуру на ${ displaystyle K otimes _ {N} L}$ . Можно определить продукт ${ Displaystyle (а otimes b) (с otimes d)}$ быть ${ displaystyle ac otimes bd}$ (видеть тензорное произведение алгебр ). Эта формула полилинейна над N в каждой переменной; и таким образом определяет кольцевую структуру на тензорном произведении, делая ${ displaystyle K otimes _ {N} L}$ в коммутативный N-алгебра, называется тензорное произведение полей.

Анализ кольцевой структуры

Строение кольца можно проанализировать, рассматривая все способы вложения обоих K и L в некотором расширении поля N. Обратите внимание, что конструкция здесь предполагает общее подполе N; но не предполагает априори который K и L подполя некоторого поля M (таким образом обходя предостережения по поводу построения композитного поля). Всякий раз, когда ты вставляешь K и L в таком поле M, скажем, используя вложения α K и β из L, возникает гомоморфизм колец γ из ${ displaystyle K otimes _ {N} L}$ в M определяется:

{ displaystyle gamma (a otimes b) = ( alpha (a) otimes 1) star (1 otimes beta (b)) = alpha (a). beta (b).}

Ядро γ будет главный идеал тензорного произведения; и, наоборот, любой простой идеал тензорного произведения будет давать гомоморфизм N-алгебры к область целостности (внутри поле дробей ) и, таким образом, обеспечивает вложения K и L в каком-то поле как расширение (копии) N.

Таким образом можно проанализировать структуру ${ displaystyle K otimes _ {N} L}$ : в принципе может быть ненулевое нильрадикал (пересечение всех простых идеалов) - и после факторизации по нему можно говорить о произведении всех вложений K и L в различных M, над N.

В случае K и L являются конечными расширениями N, ситуация особенно проста, поскольку тензорное произведение имеет конечную размерность как N-алгебра (и, следовательно, Артинианское кольцо ). Тогда можно сказать, что если р радикал, ${ displaystyle (K otimes _ {N} L) / R}$ как прямое произведение конечного числа полей. Каждое такое поле является представителем класса эквивалентности (существенно различных) вложений полей для K и L в некотором расширении M.

Примеры

Например, если K порождается над кубическим корнем из 2, то ${ displaystyle K otimes _ { mathbb {Q}} K}$ является продуктом (копии) K, а поле расщепления из

Икс³ − 2,

степени 6 над ℚ. Можно доказать это, вычислив размерность тензорного произведения над как 9 и заметив, что поле расщепления действительно содержит две (а точнее три) копии K, и является составной частью двух из них. Это, кстати, показывает, что р = {0} в этом случае.

Пример, ведущий к ненулевому нильпотенту: пусть

п(Икс) = Икс^п − Т

с K поле рациональные функции в неопределенном Т над конечным полем с п элементы. (Видеть отделимый многочлен: дело в том, что п является нет отделяемые). Если L - расширение поля K(Т^1/п) ( поле расщепления из п) тогда L/K является примером чисто неотделимое расширение поля. В ${ displaystyle L otimes _ {K} L}$ элемент

{ displaystyle T ^ {1 / p} время 1–1 время T ^ {1 / p}}

нильпотентен: принимая его п-я степень получает 0, используя K-линейность.

Классическая теория действительных и комплексных вложений

В алгебраическая теория чисел, тензорные произведения полей являются (часто неявно) основным инструментом. Если K является расширением конечной степени п, ${ Displaystyle K otimes _ { mathbb {Q}} mathbb {R}}$ всегда является произведением полей, изоморфных ℝ или. В поля полностью действительных чисел те, для которых встречаются только реальные поля: в общем, есть р₁ настоящий и р₂ сложные поля, с р₁ + 2р₂ = п как можно видеть, считая размеры. Факторы поля находятся в 1–1 соответствии с настоящие вложения, и пары комплексно сопряженных вложений, описанные в классической литературе.

Эта идея применима также к ${ displaystyle K otimes _ { mathbb {Q}} mathbb {Q} _ {p},}$ где ℚ_п это область п-адические числа. Это продукт конечных расширений ℚ_п, в соответствии 1–1 с пополнениями K для расширений п-адическая метрика на.

Последствия для теории Галуа

Это дает общую картину и, по сути, способ развития Теория Галуа (по линиям, эксплуатируемым в Теория Галуа Гротендика ). Можно показать, что для отделяемые расширения радикал всегда {0}; поэтому случай теории Галуа - это полупростой один из продуктов только полей.

Смотрите также

Расширение скаляров - тензорное произведение расширения поля и векторного пространства над этим полем

Примечания

^ «Линейно-непересекающиеся расширения», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
^ «Циклотомическое поле», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

внешняя ссылка

Тема MathOverflow по определению линейной непересекаемости

[1] «Линейно-непересекающиеся расширения», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

[2] «Циклотомическое поле», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

[1]

[2]