Радикал кольца - Википедия - Radical of a ring
В теория колец, филиал математика, а радикал кольца является идеальный «нехороших» элементов звенеть.
Первым примером радикала был нильрадикал представлен Кете (1930), на основе предложения Веддерберн (1908) . В последующие несколько лет было обнаружено несколько других радикалов, наиболее важным примером которых является Радикал Якобсона. Общая теория радикалов была определена независимо (Амицур1952, 1954, 1954b ) и Курош (1953) .
Определения
В теории радикалов кольца обычно считаются ассоциативными, но они не обязательно должны быть коммутативными и иметь единичный элемент. В частности, каждый идеал кольца также является кольцом.
А радикальный класс (также называемый радикальная собственность или просто радикальный) - класс колец σ, возможно, без тождеств, такой, что:
- гомоморфный образ кольца в σ также находится в σ
- каждое кольцо р содержит идеал S(р) в σ, содержащий любой другой идеал р то есть в σ
- S(р/S(р)) = 0. Идеал S(р) называется радикалом, или σ-радикалом, р.
Изучение таких радикалов называется теория кручения.
Для любого класса колец δ существует наименьший радикальный класс Lδ, содержащее его, называется нижний радикал из δ. Оператор L называется оператор нижнего радикала.
Класс колец называется обычный если каждый ненулевой идеал кольца в классе имеет ненулевой образ в классе. Для каждого регулярного класса колец δ существует наибольший радикальный класс Uδ, называемый верхним радикалом δ, имеющий нулевое пересечение с δ. Оператор U называется оператор верхнего радикала.
Класс колец называется наследственный если каждый идеал кольца в классе также принадлежит классу.
Примеры
Радикал Джейкобсона
Позволять р - любое кольцо, не обязательно коммутативное. В Радикал Якобсона р является пересечением аннигиляторов всех просто верно р-модули.
Существует несколько эквивалентных характеристик радикала Джекобсона, например:
- J (р) является пересечением регулярных максимальных правых (или левых) идеалов р.
- J (р) является пересечением всех правых (или левых) примитивных идеалов р.
- J (р) - максимальный правый (или левый) квазирегулярный правый (соответственно левый) идеал р.
Как и в случае с нильрадикалом, мы можем распространить это определение на произвольные двусторонние идеалы я определив J (я) быть прообразом J (R / I) под карту проекции р→R / I.
Если р коммутативен, радикал Джекобсона всегда содержит нильрадикал. Если кольцо р является конечно порожденным Z-алгебра, то нильрадикал равен радикалу Джекобсона, а в более общем смысле: радикалу любого идеала я всегда будет равняться пересечению всех максимальных идеалов р которые содержат я. Это говорит, что р это Кольцо Jacobson.
Радикал Бэра
Радикал Бэра кольца - это пересечение главные идеалы кольца р. Эквивалентно это наименьший полупервичный идеал в р. Радикал Бэра - это нижний радикал класса нильпотентных колец. Также называется «нижний нильрадикал» (и обозначается Nil∗р), «первичный радикал» и «радикал Бэр-Маккой». Каждый элемент радикала Бэра равен нильпотентный, так что это нулевой идеал.
Для коммутативных колец это просто нильрадикал и точно следует определению радикал идеала.
Верхний ниль-радикал или радикал Кете
Сумма нулевые идеалы кольца р верхний нильрадикал Nil*р или радикал Кете и является единственным наибольшим нулевым идеалом р. Гипотеза Кете спрашивает, находится ли какой-либо левый ниль-идеал в нильрадикале.
Единственный радикал
Элемент кольца (возможно, некоммутативного) называется левым. единственное число если он уничтожит существенный левый идеал, то есть, р остается особенным, если Ir = 0 для некоторого существенного левого идеала я. Множество левых особых элементов кольца р двусторонний идеал, называемый левый особый идеал, и обозначается . Идеал N из р такой, что обозначается и называется единственный радикал или Голди кручение из р. Особый радикал содержит первичный радикал (нильрадикал в случае коммутативных колец), но может надлежащим образом содержать его даже в коммутативном случае. Однако единственный радикал Кольцо Нётериана всегда нильпотентен.
Радикал Левицки
Радикал Левицки определяется как наибольший локально нильпотентный идеал, аналогичный Радикал Хирша – Плоткина в теории групп. Если кольцо нётерский, то радикал Левицки сам является нильпотентным идеалом, как и единственный наибольший левый, правый или двусторонний нильпотентный идеал.
Радикал Брауна – Маккой
Радикал Брауна – Маккой (названный сильный радикал в теории Банахова алгебра ) можно определить любым из следующих способов:
- пересечение максимальных двусторонних идеалов
- пересечение всех максимальных модулярных идеалов
- верхний радикал класса всех простые кольца с личностью
Радикал Брауна – МакКоя изучен гораздо шире, чем ассоциативные кольца с единицей.
Регулярный радикал фон Неймана
А регулярное кольцо фон Неймана кольцо А (возможно, некоммутативный без единицы) такой, что для каждого а существует некоторое б с а = аба. Регулярные кольца фон Неймана образуют радикальный класс. Он содержит каждое кольцо матриц над алгебра с делением, но не содержит нулевых колец.
Артинианский радикал
Артинианский радикал обычно определяется для двустороннего Нётерские кольца как сумма всех правильных идеалов, которые Артинианские модули. Определение симметрично слева и справа и действительно дает двусторонний идеал кольца. Этот радикал важен для изучения нётеровых колец, как подчеркивает Болтовни (1980) .
Смотрите также
Связанное использование радикальный которые не являются радикалами колец:
Рекомендации
- Андрунакиевич, В.А. (2001) [1994], «Радикал кольца и алгебр», Энциклопедия математики, EMS Press
- Chatters, A. W .; Хаджарнавис, К. Р. (1980), Кольца с цепными условиями, Исследования по математике, 44, Бостон, Массачусетс: Pitman (Advanced Publishing Program), стр. Vii + 197, ISBN 0-273-08446-1, МИСТЕР 0590045
- Дивинский, Н. Дж. (1965), Кольца и радикалы, Математические экспозиции № 14, University of Toronto Press, МИСТЕР 0197489
- Gardner, B.J .; Вигандт, Р. (2004), Радикальная теория колец, Монографии и учебники по чистой и прикладной математике, 261, Марсель Деккер, ISBN 978-0-8247-5033-6, МИСТЕР 2015465
- Гудеарл, К. Р. (1976), Теория колец, Марсель Деккер, ISBN 978-0-8247-6354-1, МИСТЕР 0429962
- Грей, Мэри В. (1970), Радикальный подход к алгебре, Эддисон-Уэсли, МИСТЕР 0265396
- Кете, Готфрид (1930), "Die Struktur der Ringe, deren Restklassenring nach dem Radikal vollständig reduzibel ist", Mathematische Zeitschrift, 32 (1): 161–186, Дои:10.1007 / BF01194626
- Стенстрём, Бо (1971), Кольца и модули частных, Конспект лекций по математике, 237, Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0059904, ISBN 978-3-540-05690-4, МИСТЕР 0325663, Zbl 0229.16003
- Вигандт, Ричард (1974), Радикальные и полупростые классы колец, Кингстон, Онтарио: Королевский университет, МИСТЕР 0349734