Артинианский модуль - Artinian module

В абстрактная алгебра, Артинианский модуль это модуль что удовлетворяет состояние нисходящей цепочки на его наборе подмодулей. Они для модулей какие Артинианские кольца для колец, а кольцо является артиновым тогда и только тогда, когда оно является артиновым модулем над собой (с левым или правым умножением). Обе концепции названы в честь Эмиль Артин.

При наличии аксиома выбора, условие нисходящей цепочки становится эквивалентным минимальное условие, и поэтому его можно использовать в определении.

Нравиться Нётеровские модули, Артинианские модули обладают следующим свойством наследственности:

• Если M Артиниан р-модуль, то и любой подмодуль и любое частное M.

Верно и обратное:

• Если M есть ли р модуль и N любой артинов подмодуль такой, что M/N Артиново, то M Артиниан.

Как следствие, любой конечно порожденный модуль над артиновым кольцом артинов.^[1] Поскольку артиново кольцо также является Кольцо Нётериана, а конечно порожденные модули над нётеровым кольцом нётеровы,^[1] верно, что для артиновского кольца р, любая конечно порожденная р-модуль одновременно нётерский и артинианский, и, как говорят, конечная длина; однако, если р не Артиниан, или если M не конечно порожден, есть контрпримеры.

Левое и правое артиновы кольца, модули и бимодули

Кольцо р можно рассматривать как правый модуль, где действие является естественным, заданным умножением кольца справа. р называется право Артиниан когда этот правый модуль р является артиновым модулем. Аналогично дается определение «артиново левое кольцо». Для некоммутативных колец это различие необходимо, поскольку кольцо может быть артиновым только с одной стороны.

Прилагательные слева-направо обычно не нужны для модулей, потому что модуль M обычно дается как левый или правый р модуль в самом начале. Однако возможно, что M может иметь как левую, так и правую р структура модуля, а затем вызов M Артиниан неоднозначен, и возникает необходимость уточнить, какая структура модуля является Артинианской. Чтобы разделить свойства двух структур, можно злоупотребить терминологией и обратиться к M как левый артинианский или правый артинианский, когда, строго говоря, правильно сказать, что M, с левой р-модульная структура, артинова.

Появление модулей с левой и правой структурой не является необычным: например, р сам имеет левую и правую р модульная структура. Фактически это пример бимодуль, а для абелевой группы возможно M превратиться в левыйр, верно-S бимодуль для другого кольца S. Действительно, для любого правого модуля M, это автоматически левый модуль над кольцом целых чисел Z, и кроме того Z-р бимодуль. Например, рассмотрим рациональные числа Q как Z-Q бимодуль естественным путем. потом Q не Артиниан как левый Z модуль, но он артиновский как право Q модуль.

Условие Артинова может быть определено и на бимодульных структурах: Артинианский бимодуль это бимодуль ч.у.м. подбимодулей удовлетворяет условию убывающей цепи. Поскольку подбимодуль р-S бимодуль M тем более левый р-модуль, если M считается левым р модуль были Артиниан, затем M автоматически является артиновым бимодулем. Однако может случиться так, что бимодуль является артиновым, а его левая или правая структуры не являются артиновыми, как будет показано в следующем примере.

Пример: Хорошо известно, что простое кольцо лево артиново тогда и только тогда, когда оно артиново право, и в этом случае оно полупростое кольцо. Позволять р - простое кольцо, не являющееся артиново правильным. Тогда тоже не осталось Артиниана. Учитывая р как р-р бимодулем естественным образом, его подбимодули являются в точности идеалы из р. С р просто их всего два: р и нулевой идеал. Таким образом, бимодуль р Артиниан как бимодуль, но не Артиниан как левый или правый р-модуль над собой.

Связь с нётеровым условием

В отличие от колец, есть артиновые модули, не являющиеся Нётеровские модули. Например, рассмотрим п-основной компонент ${ Displaystyle mathbb {Q} / mathbb {Z}}$, то есть ${ Displaystyle mathbb {Z} [1 / p] / mathbb {Z}}$, который изоморфен п-квазициклическая группа ${ Displaystyle mathbb {Z} (р ^ { infty})}$, рассматривается как ${ Displaystyle mathbb {Z}}$-модуль. Цепь ${ displaystyle langle 1 / p rangle subset langle 1 / p ^ {2} rangle subset langle 1 / p ^ {3} rangle subset cdots}$ не прекращается, поэтому ${ Displaystyle mathbb {Z} (р ^ { infty})}$ (и поэтому ${ Displaystyle mathbb {Q} / mathbb {Z}}$) не нётерский. Однако каждая нисходящая цепочка (без ограничения общности) собственных подмодулей заканчивается: каждая такая цепочка имеет вид ${ Displaystyle langle 1 / n_ {1} rangle supseteq langle 1 / n_ {2} rangle supseteq langle 1 / n_ {3} rangle supseteq cdots}$ для некоторых целых чисел ${ displaystyle n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}, ldots}$, и включение ${ Displaystyle langle 1 / n_ {я + 1} rangle substeq langle 1 / n_ {i} rangle}$ подразумевает, что ${ displaystyle n_ {я + 1}}$ должен разделить ${ displaystyle n_ {i}}$. Так ${ displaystyle n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}, ldots}$ - убывающая последовательность натуральных чисел. Таким образом последовательность заканчивается, делая ${ Displaystyle mathbb {Z} (р ^ { infty})}$ Артиниан.

Над коммутативным кольцом каждый циклический артинов модуль также нетеров, но над некоммутативными кольцами циклические артиновы модули могут иметь несчетные длина как показано в статье Хартли и красиво резюмировано в Пол Кон статья, посвященная памяти Хартли.

Другой важный результат - Теорема Акизуки – Хопкинса – Левицки., который утверждает, что артиновы и нётеровы условия эквивалентны для модулей над полупримарным кольцом.

Смотрите также

• Нётерский модуль
• Состояние цепочки по возрастанию / убыванию
• Композиция серии
• Измерение Крулля

Примечания

Рекомендации

• Атья, М.Ф.; Макдональд, И. (1969). «Глава 6. Цепные условия; Глава 8. Кольца Артина». Введение в коммутативную алгебру. Westview Press. ISBN  978-0-201-40751-8.
• Кон, П. (1997). «Циклические артиновые модули без композиционного ряда». J. London Math. Soc. Серия 2. 55 (2): 231–235. Дои:10.1112 / S0024610797004912. МИСТЕР  1438626.
• Хартли, Б. (1977). «Несчетные артиновы модули и несчетные разрешимые группы, удовлетворяющие Min-n». Proc. Лондонская математика. Soc. Серия 3. 35 (1): 55–75. Дои:10.1112 / плмс / с3-35.1.55. МИСТЕР  0442091.
• Лам, Т. (2001). «Глава 1. Теория Веддерберна-Артина». Первый курс в некоммутативных кольцах. Springer Verlag. ISBN  978-0-387-95325-0.