Бимодуль - Bimodule

В абстрактная алгебра, а бимодуль является абелева группа это и левый, и правый модуль, такие, что левое и правое умножения согласованы. Помимо естественного появления во многих разделах математики, бимодули играют проясняющую роль в том смысле, что многие отношения между левым и правым модулями становятся проще, когда они выражаются в терминах бимодулей.

Определение

Если р и S два кольца, затем р-S-бимодуль абелева группа ${ Displaystyle (М, +)}$ такой, что:

1. M левый р-модуль и право S-модуль.
2. Для всех р в р, s в S и м в M:

${ Displaystyle (rm) s = r (мс).}$

An р-р-бимодуль также известен как р-бимодуль.

Примеры

• Для положительных целых чисел п и м, набор M_п,м(р) из п × м матрицы из действительные числа является р-S-бимодуль, где р кольцо M_п(р) из п × п матрицы и S кольцо M_м(р) из м × м матрицы. Сложение и умножение производятся по обычным правилам матрица сложения и матричное умножение; высота и ширина матриц были выбраны так, что умножение определено. Обратите внимание, что M_п,м(р) само по себе не кольцо (если только п = м), поскольку умножение п × м матрица другим п × м матрица не определена. Решающее свойство бимодуля, что (rx)s = р(хз), утверждение, что умножение матриц есть ассоциативный.
• Если р кольцо, то р сам по себе можно считать р-р-бимодуль, считая левое и правое действия умножением - действия коммутируют по ассоциативности. Это можно расширить до р^п (в п-складывать прямой продукт из р).
• Любой двусторонний идеальный кольца р является р-р-бимодуль.
• Любой модуль над коммутативное кольцо р автоматически является бимодулем. Например, если M является левым модулем, мы можем определить умножение справа, чтобы оно было таким же, как умножение слева. (Тем не менее, не все р-бимодули возникают таким образом.)
• Если M левый р-модуль, затем M является р-Z-бимодуль, где Z кольцо целые числа. Точно так же правильно р-модули можно интерпретировать как Z-р-бимодули, и действительно, абелева группа может рассматриваться как Z-Z-бимодуль.
• Если р это подкольцо из S, тогда S является р-р-бимодуль. Это также р-S- и S-р-бимодуль.
• Если M является S-р-бимодуль и N является р-Т-бимодуль, то ${ displaystyle M otimes _ {R} N}$ является S-Т-бимодуль.

Дополнительные понятия и факты

Если M и N находятся р-S-бимодули, затем карта ж : M → N это бимодульный гомоморфизм если это одновременно гомоморфизм левых р-модули и права S-модули.

An р-S-бимодуль на самом деле то же самое, что и левый модуль над кольцом ${ Displaystyle R otimes _ { mathbb {Z}} S ^ {op}}$, куда ${ displaystyle S ^ {op}}$ это противоположный звенеть из S (с перевернутым умножением). Гомоморфизмы бимодулей - это то же самое, что гомоморфизмы левых ${ Displaystyle R otimes _ { mathbb {Z}} S ^ {op}}$ модули. Используя эти факты, многие определения и утверждения о модулях могут быть немедленно переведены в определения и утверждения о бимодулях. Например, категория из всех р-S-бимодули есть абелевский, а стандарт теоремы об изоморфизме действительны для бимодулей.

Однако в мире бимодулей есть некоторые новые эффекты, особенно когда речь идет о тензорное произведение: если M является р-S-бимодуль и N является S-Т-бимодуль, то тензорное произведение M и N (принял кольцо S) является р-Т-бимодуль в естественном виде. Это тензорное произведение бимодулей равно ассоциативный (вплоть до единственный канонический изоморфизм), и, следовательно, можно построить категорию, объектами которой являются кольца, а морфизмами - бимодули. На самом деле это 2 категории, каноническим образом - 2 морфизма между р-S-бимодули M и N являются в точности бимодульными гомоморфизмами, т. е. функциями

${ displaystyle f: M rightarrow N}$

удовлетворение

1. ${ Displaystyle е (м + м ') = е (т) + е (м')}$
2. ${ displaystyle f (rms) = rf (m) s}$,

за м ∈ M, р ∈ р, и s ∈ S. Сразу проверяется закон перестановки для бимодульных гомоморфизмов, т. Е.

${ Displaystyle (е ' otimes g') circ (f otimes g) = (f ' circ f) otimes (g' ​​ circ g)}$

выполняется всякий раз, когда определена одна из сторон уравнения (а значит, и другая), и где - обычная композиция гомоморфизмов. В этой интерпретации категория Конец(р) = Бимод(р, р) это точно моноидальная категория из р-р-бимодули с обычными тензорное произведение над R - тензорное произведение категории. В частности, если р это коммутативное кольцо, каждый левый или правый р-модуль канонически р-р-бимодуль, дающий моноидальное вложение категории р-Мод в Бимод(р, р). Дело, что р это поле K является мотивирующим примером симметричной моноидальной категории, и в этом случае р-Мод = K-Vect, то категория векторных пространств над K, с обычным тензорным произведением ${ displaystyle otimes = otimes _ {K}}$ дающей моноидальную структуру, а с единичной K. Мы также видим, что моноид в Бимод(р, р) это точно р-алгебра. См. (Street 2003).^[1]Кроме того, если M является р-S-бимодуль и L является Т-S-бимодуль, то набор Hom_S(M, L) из всех S-модульные гомоморфизмы из M к L становится Т-р-модуль естественным образом. Эти заявления распространяются на производные функторы Ext и Tor.

Профункторы можно рассматривать как категориальное обобщение бимодулей.

Обратите внимание, что бимодули никак не связаны с биалгебры.

Смотрите также

• профунктор

Рекомендации

• Якобсон, Н. (1989). Базовая алгебра II. В. Х. Фриман и компания. С. 133–136. ISBN  0-7167-1933-9.