Функтор Ext - Википедия - Ext functor

В математика, то Функторы Ext являются производные функторы из Hom функтор. Вместе с Функтор Tor, Ext - одна из основных концепций гомологическая алгебра, в котором идеи из алгебраическая топология используются для определения инвариантов алгебраических структур. В когомологии групп, Алгебры Ли, и ассоциативные алгебры все можно определить в терминах Ext. Название происходит от того, что первая группа Ext Ext¹ классифицирует расширения одного модуль другим.

В частном случае абелевы группы, Ext был представлен Райнхольд Баер (1934). Он был назван Сэмюэл Эйленберг и Сондерс Маклейн (1942) и применительно к топологии ( теорема об универсальных коэффициентах для когомологий ). Для модулей над любыми звенеть, Ext было определено Анри Картан и Эйленберг в своей книге 1956 г. Гомологическая алгебра.^[1]

Определение

Позволять р быть кольцом и пусть р-Будь категория модулей более р. (Это может означать либо левый р-модули или правая р-модули.) Для фиксированного р-модуль А, позволять Т(B) = Hom_р(А, B) за B в р-Мод. (Здесь Hom_р(А, B) - абелева группа р-линейные карты из А к B; это р-модуль, если р является коммутативный.) Это левый точный функтор из р-Мод для категория абелевых групп Аб, и так имеет право производные функторы р^яТ. Группы Ext - это абелевы группы, определенные формулой

{ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (A, B) = (R ^ {i} T) (B),}

для целое число я. По определению это означает: взять любой инъекционное разрешение

{ displaystyle 0 к B to I ^ {0} to I ^ {1} to cdots,}

удалить термин B, и сформировать коцепьевой комплекс:

{ displaystyle 0 to operatorname {Hom} _ {R} (A, I ^ {0}) to operatorname {Hom} _ {R} (A, I ^ {1}) to cdots.}

Для каждого целого числа я, Ext^я
_р(А, B) это когомология этого комплекса на позиции я. Это ноль для я отрицательный. Например, Ext⁰
_р(А, B) это ядро карты Hom_р(А, я⁰) → Hom_р(А, я¹), который изоморфный в Hom_р(А, B).

Альтернативное определение использует функтор грамм(А) = Hom_р(А, B), для фиксированного р-модуль B. Это контравариантный функтор, который можно рассматривать как точный слева функтор от противоположная категория (р-Мод)^op Аб. Группы Ext определяются как правые производные функторы р^яграмм:

{ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (A, B) = (R ^ {i} G) (A).}

То есть выбирайте любой проективное разрешение

{ Displaystyle cdots к P_ {1} к P_ {0} к A к 0,}

удалить термин А, и образуют комплекс коцепей:

{ displaystyle 0 to operatorname {Hom} _ {R} (P_ {0}, B) to operatorname {Hom} _ {R} (P_ {1}, B) to cdots.}

Следующий^я
_р(А, B) - когомологии этого комплекса в позиции я.

Картан и Эйленберг показали, что эти конструкции не зависят от выбора проективной или инъективной резольвенты, и что обе конструкции дают одни и те же группы Ext.^[2] Кроме того, для фиксированного кольца р, Ext - функтор по каждой переменной (контравариантный в А, ковариантно в B).

Для коммутативного кольца р и р-модули А и B, Ext^я
_р(А, B) является р-модуль (используя этот Hom_р(А, B) является р-модуль в данном случае). Для некоммутативного кольца р, Ext^я
_р(А, B) является, вообще говоря, только абелевой группой. Если р является алгебра над кольцом S (что означает, в частности, что S коммутативна), то Ext^я
_р(А, B) по крайней мере S-модуль.

Свойства Ext

Вот некоторые из основных свойств и вычислений групп Ext.^[3]

Ext⁰
_р(А, B) ≅ Hom_р(А, B) для любого р-модули А и B.

Ext^я
_р(А, B) = 0 для всех я > 0, если р-модуль А является проективный (Например, свободный ) или если B является инъективный.

Верно и обратное:
- Если Ext¹
  _р(А, B) = 0 для всех B, тогда А проективно (а значит, Ext^я
  _р(А, B) = 0 для всех я > 0).
- Если Ext¹
  _р(А, B) = 0 для всех А, тогда B инъективно (следовательно, Ext^я
  _р(А, B) = 0 для всех я > 0).

${ displaystyle operatorname {Ext} _ { mathbb {Z}} ^ {i} (A, B) = 0}$ для всех я ≥ 2 и все абелевы группы А и B.^[4]

Если р коммутативное кольцо и ты в р это не делитель нуля, тогда

{ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (R / (u), B) cong { begin {cases} B [u] & i = 0 B / uB & i = 1 0 & { text {в противном случае}} end {case}}}

для любого р-модуль B. Здесь B[ты] обозначает ты-кручение подгруппы B, {Икс ∈ B: ux = 0}. Принимая р быть кольцом

{ Displaystyle mathbb {Z}}

целых чисел, это вычисление можно использовать для вычисления

{ displaystyle operatorname {Ext} _ { mathbb {Z}} ^ {1} (A, B)}

для любого конечно порожденная абелева группа А.

Обобщая предыдущий пример, можно вычислять группы Ext, когда первый модуль является фактором коммутативного кольца по любому регулярная последовательность, с использованием Кошульский комплекс.^[5] Например, если р это кольцо многочленов k[Икс₁,...,Икс_п] над полем k, следующий^*
_р(k,k) это внешняя алгебра S над k на п генераторы в Ext¹. Кроме того, Ext^*
_S(k,k) - кольцо многочленов р; это пример Кошульская двойственность.

По общим свойствам производных функторов можно выделить два основных точные последовательности для Ext.^[6] Первый короткая точная последовательность 0 → K → L → M → 0 из р-модули индуцируют длинную точную последовательность вида

{ displaystyle 0 to mathrm {Hom} _ {R} (A, K) to mathrm {Hom} _ {R} (A, L) to mathrm {Hom} _ {R} (A, M) to mathrm {Ext} _ {R} ^ {1} (A, K) to mathrm {Ext} _ {R} ^ {1} (A, L) to cdots,}

для любого р-модуль А. Также короткая точная последовательность 0 → K → L → M → 0 индуцирует длинную точную последовательность вида

{ displaystyle 0 to mathrm {Hom} _ {R} (M, B) to mathrm {Hom} _ {R} (L, B) to mathrm {Hom} _ {R} (K, B) to mathrm {Ext} _ {R} ^ {1} (M, B) to mathrm {Ext} _ {R} ^ {1} (L, B) to cdots,}

для любого р-модуль B.

Ext принимает прямые суммы (возможно, бесконечно) по первой переменной и товары во второй переменной к товарам.^[7] То есть:

{ displaystyle { begin {align} operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} left ( bigoplus _ { alpha} M _ { alpha}, N right) & cong prod _ { alpha} operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (M _ { alpha}, N) operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} left (M, prod _ { alpha } N _ { alpha} right) & cong prod _ { alpha} operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (M, N _ { alpha}) end {выравнивается}}}

Позволять А - конечно порожденный модуль над коммутативным Кольцо Нётериана р. Затем Ext коммутирует с локализация, в том смысле, что для каждого мультипликативно замкнутое множество S в р, каждый р-модуль B, и каждое целое число я,^[8]

{ displaystyle S ^ {- 1} operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (A, B) cong operatorname {Ext} _ {S ^ {- 1} R} ^ {i} left (S ^ {- 1} A, S ^ {- 1} B right).}

Ext и расширения

Эквивалентность расширений

Группы Ext получили свое название от их отношения к расширениям модулей. Данный р-модули А и B, расширение А к B короткая точная последовательность р-модули

{ Displaystyle 0 к В к Е к А к 0.}

Два расширения

{ Displaystyle 0 к Б к Е к А к 0}

{ Displaystyle 0 к B к E ' к A к 0}

как говорят эквивалент (как продолжение А к B) если есть коммутативная диаграмма:

Обратите внимание, что Пять лемм означает, что средняя стрелка является изоморфизмом. Расширение А к B называется расколоть если он эквивалентен тривиальное расширение

{ Displaystyle 0 к B к A oplus B к A к 0.}

Существует однозначное соответствие между классы эквивалентности расширений А к B и элементы Ext¹
_р(А, B).^[9] Тривиальное расширение соответствует нулевому элементу Ext¹
_р(А, B).

Сумма расширений Бэра

В Сумма Бэра явное описание структуры абелевой группы на Ext¹
_р(А, B), рассматриваемого как множество классов эквивалентности расширений А к B.^[10] А именно, учитывая два расширения

{ displaystyle 0 to B { xrightarrow [{f}] {}} E { xrightarrow [{g}] {}} A to 0}

и

{ displaystyle 0 to B { xrightarrow [{f '}] {}} E' { xrightarrow [{g '}] {}} A to 0,}

сначала сформировать откат над ${ displaystyle A}$ ,

{ displaystyle Gamma = left {(e, e ') in E oplus E' ; | ; g (e) = g '(e') right }.}

Затем сформируйте модуль частного

{ Displaystyle Y = Gamma / {(f (b), - f '(b)) ; | ; b in B }.}

Сумма Бэра E и E ′ это расширение

{ Displaystyle 0 к B к Y к A к 0,}

где первая карта ${ displaystyle b mapsto [(f (b), 0)] = [(0, f '(b))]}$ а второй ${ Displaystyle (е, е ') mapsto g (e) = g' (е ')}$ .

Вплоть до эквивалентность расширений, сумма Бэра коммутативна и имеет тривиальное расширение как единичный элемент. Негатив расширения 0 → B → E → А → 0 - расширение, включающее тот же модуль E, но с гомоморфизмом E → А заменен его отрицательным.

Построение Ext в абелевых категориях

Нобуо Йонеда определили абелевы группы Ext^п
_C(А, B) для объектов А и B в любом абелева категория C; это согласуется с определением с точки зрения разрешений, если C имеет достаточно прогнозов или же достаточно инъекций. Во-первых, Ext⁰
_C(А,B) = Hom_C(А, B). Далее Ext¹
_C(А, B) - множество классов эквивалентности расширений А к B, образуя абелеву группу относительно суммы Бэра. Наконец, высшие Ext группы Ext^п
_C(А, B) определяются как классы эквивалентности n-расширения, которые являются точными последовательностями

{ Displaystyle 0 в B в X_ {n} в cdots в X_ {1} в A в 0,}

под отношение эквивалентности генерируется отношением, которое определяет два расширения

{ displaystyle { begin {align} xi: 0 & к B к X_ {n} to cdots to X_ {1} to A to 0 xi ': 0 & to B to X '_ {n} to cdots to X' _ {1} to A to 0 end {выровнено}}}

если есть карты ${ displaystyle X_ {m} to X '_ {m}}$ для всех м в {1, 2, ..., п} так что каждый результат площадь коммутирует, то есть если есть карта цепи ξ → ξ ', тождественное на А и B.

Сумма двух Бэра п-расширения, как указано выше, формируются путем разрешения ${ displaystyle X '' _ {1}}$ быть откат из ${ displaystyle X_ {1}}$ и ${ displaystyle X '_ {1}}$ над А, и ${ displaystyle X '' _ {n}}$ быть выталкивание из ${ displaystyle X_ {n}}$ и ${ displaystyle X '_ {n}}$ под B.^[11] Тогда сумма Бэра расширений равна

{ displaystyle 0 to B to X '' _ {n} to X_ {n-1} oplus X '_ {n-1} to cdots to X_ {2} oplus X' _ { 2} to X '' _ {1} to A to 0.}

Производная категория и продукт Йонеда

Важным моментом является то, что Ext группы в абелевой категории C можно рассматривать как наборы морфизмов в категории, связанной с C, то производная категория D(C).^[12] Объектами производной категории являются комплексы объектов в C. В частности, есть

{ displaystyle operatorname {Ext} _ { mathbf {C}} ^ {i} (A, B) = operatorname {Hom} _ {D ({ mathbf {C}})} (A, B [я ]),}

где объект C рассматривается как комплекс, сосредоточенный в нулевой степени, а [я] означает сдвиг сложного я шаги влево. Из этой интерпретации есть билинейная карта, иногда называемый Йонеда продукт:

{ displaystyle operatorname {Ext} _ { mathbf {C}} ^ {i} (A, B) times operatorname {Ext} _ { mathbf {C}} ^ {j} (B, C) в operatorname {Ext} _ { mathbf {C}} ^ {i + j} (A, C),}

которая является просто композицией морфизмов в производной категории.

Продукт Йонеды можно описать и более элементарно. За я = j = 0, продукт представляет собой композицию карт в категории C. В общем, продукт можно определить путем объединения двух расширений Yoneda.

В качестве альтернативы продукт Yoneda может быть определен с точки зрения разрешения. (Это близко к определению производной категории.) Например, пусть р быть кольцом, с р-модули А, B, C, и разреши п, Q, и Т быть проективными резольвентами А, B, C. Следующий^я
_р(А,B) можно отождествить с группой цепная гомотопия классы цепных отображений п → Q[я]. Продукт Yoneda дается путем составления цепных карт:

{ displaystyle P to Q [i] to T [i + j].}

Согласно любой из этих интерпретаций, продукт Йонеды ассоциативен. Как результат, ${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {*} (A, A)}$ это градуированное кольцо, для любого р-модуль А. Например, это дает кольцевую структуру на групповые когомологии ${ displaystyle H ^ {*} (G, mathbb {Z}),}$ поскольку это можно рассматривать как ${ displaystyle operatorname {Ext} _ { mathbb {Z} [G]} ^ {*} ( mathbb {Z}, mathbb {Z})}$ . Также по ассоциативности продукта Йонеда: для любых р-модули А и B, ${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {*} (A, B)}$ это модуль над ${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {*} (A, A)}$ .

Важные особые случаи

Групповые когомологии определяется ${ Displaystyle H ^ {*} (G, M) = operatorname {Ext} _ { mathbb {Z} [G]} ^ {*} ( mathbb {Z}, M)}$ , куда грамм это группа, M это представление из грамм над целыми числами и ${ Displaystyle mathbb {Z} [G]}$ это групповое кольцо из грамм.

Для алгебра А над полем k и А-бимодуль M, Когомологии Хохшильда определяется

{ displaystyle HH ^ {*} (A, M) = operatorname {Ext} _ {A otimes _ {k} A ^ { text {op}}} ^ {*} (A, M).}

Когомологии алгебры Ли определяется ${ displaystyle H ^ {*} ({ mathfrak {g}}, M) = operatorname {Ext} _ {U { mathfrak {g}}} ^ {*} (k, M)}$ , куда ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ это Алгебра Ли над коммутативным кольцом k, M это ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -модуль и ${ displaystyle U { mathfrak {g}}}$ это универсальная обертывающая алгебра.

Для топологическое пространство Икс, когомологии пучков можно определить как ${ displaystyle H ^ {*} (X, A) = operatorname {Ext} ^ {*} ( mathbb {Z} _ {X}, A).}$ Здесь Ext берется в абелевой категории снопы абелевых групп на Икс, и ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {X}}$ это связка локально постоянный ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ -значные функции.

Для коммутативного нётерского местное кольцо р с полем вычетов k, ${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {*} (k, k)}$ универсальная обертывающая алгебра градуированная алгебра Ли π * (р) над k, известный как гомотопическая алгебра Ли из р. (Если быть точным, когда k имеет характеристика 2, π * (р) следует рассматривать как «скорректированную алгебру Ли».^[13]) Существует естественный гомоморфизм градуированных алгебр Ли из Когомологии Андре – Квиллена D*(k/р,k) в π * (р), который является изоморфизмом, если k имеет нулевую характеристику.^[14]

Смотрите также

Примечания

^ Вейбель (1999); Картан и Эйленберг (1956), раздел VI.1.
^ Weibel (1994), разделы 2.4 и 2.5 и теорема 2.7.6.
^ Weibel (1994), главы 2 и 3.
^ Weibeil (1994), лемма 3.3.1.
^ Weibel (1994), раздел 4.5.
^ Вейбель (1994), определение 2.1.1.
^ Weibel (1994), предложение 3.3.4.
^ Вейбель (1994), лемма 3.3.8.
^ Вейбель (1994), теорема 3.4.3.
^ Вейбель (1994), следствие 3.4.5.
^ Weibel (1994), Vists 3.4.6. Небольшие исправления внесены в опечатка.
^ Weibel (1994), разделы 10.4 и 10.7; Гельфанд и Манин (2003), Глава III.
^ Шёдин (1980), Обозначение 14.
^ Аврамов (2010), раздел 10.2.