Градуированная алгебра Ли - Graded Lie algebra

В математика, а градуированная алгебра Ли это Алгебра Ли наделен градация который совместим с Кронштейн лжи. Другими словами, градуированная алгебра Ли - это алгебра Ли, которая также является неассоциативной градуированной алгеброй относительно операции скобок. Выбор Картановское разложение наделяет любые полупростая алгебра Ли со структурой градуированной алгебры Ли. Любой параболическая алгебра Ли также является градуированной алгеброй Ли.

А градуированная супералгебра Ли^[1] расширяет понятие градуированной алгебры Ли таким образом, что скобка Ли больше не считается обязательной антикоммутативный. Они возникают при изучении производные на градуированные алгебры, в теория деформации из Мюррей Герстенхабер, Кунихико Кодайра, и Дональд С. Спенсер, а в теории Производные Ли.

А суперградуированная супералгебра Ли^[2] является дальнейшим обобщением этого понятия на категорию супералгебры в котором градуированная супералгебра Ли наделена дополнительным супер ${ Displaystyle mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$ -градация. Они возникают, когда кто-то формирует градуированную супералгебру Ли в классическом (несуперсимметричном) контексте, а затем выполняет тензор для получения суперсимметричный аналог.^[3]

Еще большие обобщения возможны для алгебр Ли над классом плетеные моноидальные категории оснащен сопродукт и некоторое понятие градации, совместимое с плетением в категории. Подсказки в этом направлении см. Супералгебра Ли # теоретико-категориальное определение.

Градуированные алгебры Ли

В своей основной форме градуированная алгебра Ли - это обычная алгебра Ли. ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ вместе с градация векторных пространств

{ displaystyle { mathfrak {g}} = bigoplus _ {я in { mathbb {Z}}} { mathfrak {g}} _ {i},}

так что скобка Ли учитывает эту градацию:

{ displaystyle [{ mathfrak {g}} _ {i}, { mathfrak {g}} _ {j}] substeq { mathfrak {g}} _ {i + j}.}

В универсальная обертывающая алгебра градуированной алгебры Ли наследует градуировку.

Примеры

${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (2)}$

Например, алгебра Ли ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (2)}$ из бесследный 2×2 матрицы оценивается генераторами:

{ displaystyle X = left ({ begin {matrix} 0 & 1 0 & 0 end {matrix}} right), quad Y = left ({ begin {matrix} 0 & 0 1 & 0 end {matrix}) } right), quad { textrm {and}} quad H = left ({ begin {matrix} 1 & 0 0 & -1 end {matrix}} right).}

Они удовлетворяют отношениям ${ displaystyle [X, Y] = H}$ , ${ displaystyle [H, X] = 2X}$ , и ${ displaystyle [H, Y] = - 2Y}$ . Следовательно, с ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {- 1} = { textrm {span}} (X)}$ , ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {0} = { textrm {span}} (H)}$ , и ${ Displaystyle { mathfrak {g}} _ {1} = { textrm {span}} (Y)}$ , разложение ${ displaystyle { mathfrak {sl}} (2) = { mathfrak {g}} _ {- 1} oplus { mathfrak {g}} _ {0} oplus { mathfrak {g}} _ { 1}}$ представляет ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (2)}$ как градуированная алгебра Ли.

Свободная алгебра Ли

В свободная алгебра Ли на съемочной площадке Икс естественно, имеет градацию, заданную минимальным количеством терминов, необходимых для создания элемента группы. Это возникает, например, как связанная градуированная алгебра Ли с нижний центральный ряд из свободная группа.

Обобщения

Если ${ displaystyle Gamma}$ есть ли коммутативный моноид, то понятие ${ displaystyle Gamma}$ -градуированная алгебра Ли обобщает обычное ( ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ -) градуированная алгебра Ли так, чтобы определяющие соотношения выполнялись с целыми числами ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ заменен на ${ displaystyle Gamma}$ . В частности, любая полупростая алгебра Ли градуируется корневыми пространствами ее присоединенное представительство.

Градуированные супералгебры Ли

А градуированная супералгебра Ли над полем k (не из характеристика 2) состоит из градуированное векторное пространство E над kвместе с билинейный скобка операция

{ displaystyle [-, -]: E otimes _ {k} E rightarrow E}

такие, что выполняются следующие аксиомы.

[-, -] уважает градацию E:

{ displaystyle [E_ {i}, E_ {j}] substeq E_ {i + j}}

.

(Симметрия) Если Икс ∈ E_я и у ∈ E_j, тогда

{ Displaystyle [х, у] = - (- 1) ^ {ij} , [у, х]}

(Личность Якоби) Если Икс ∈ E_я, у ∈ E_j, и z ∈ E_k, тогда

{ displaystyle (-1) ^ {ik} [x, [y, z]] + (- 1) ^ {ij} [y, [z, x]] + (- 1) ^ {jk} [z, [x, y]] = 0}

.

(Если k имеет характеристику 3, то тождество Якоби необходимо дополнить условием

{ Displaystyle [х, [х, х]] = 0}

для всех Икс в E_{странный}.)

Обратите внимание, например, что когда E несет тривиальную градуировку, градуированную супералгебру Ли над k просто обычная алгебра Ли. Когда градация E сосредоточено в четных степенях, восстанавливается определение a (Z-) градуированная алгебра Ли.

Примеры и приложения

Самый простой пример градуированной супералгебры Ли встречается при изучении дифференцирований градуированных алгебр. Если А это оцененный k-алгебра с градацией

{ Displaystyle A = bigoplus _ {я in { mathbb {Z}}} A_ {я}}

,

затем оцененный k-деривация d на А степени л определяется

${ displaystyle dx = 0}$ за ${ displaystyle x in k}$ ,
${ displaystyle d двоеточие A_ {i} to A_ {i + l}}$ , и
${ Displaystyle d (ху) = (dx) y + (- 1) ^ {il} x (dy)}$ за ${ Displaystyle х в А_ {я}}$ .

Пространство всех градуированных дифференцирований степени л обозначается ${ displaystyle operatorname {Der} _ {l} (A)}$ , и прямая сумма этих пространств,

{ displaystyle operatorname {Der} (A) = bigoplus _ {l} operatorname {Der} _ {l} (A)}

,

несет структуру А-модуль. Это обобщает понятие вывода коммутативных алгебр на градуированную категорию.

На Дер (А), скобку можно определить с помощью:

[d, δ] = dδ − (−1)^ijδd, за d ∈ Der_я(А) и δ ∈ Der_j(А).

Оборудованный этой структурой, Der (А) наследует структуру градуированной супералгебры Ли над k.

Дополнительные примеры:

В Скобка Фрелихера – Нийенхейса является примером градуированной алгебры Ли, естественным образом возникающей при изучении связи в дифференциальная геометрия.
В Скобка Нейенхейса – Ричардсона возникает в связи с деформациями алгебр Ли.

Обобщения

Понятие градуированной супералгебры Ли можно обобщить так, чтобы их градуировка не сводилась только к целым числам. В частности, подписанное полукольцо состоит из пары ${ displaystyle ( Gamma, epsilon)}$ , куда ${ displaystyle Gamma}$ это полукольцо и ${ Displaystyle epsilon двоеточие Gamma to mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$ это гомоморфизм аддитивных групп. Тогда градуированная супалгебра Ли над знаковым полукольцом состоит из векторного пространства E градуирована по аддитивной структуре на ${ displaystyle Gamma}$ , и билинейную скобку [-, -], которая учитывает градуировку на E а также удовлетворяет:

${ Displaystyle [х, у] = - (- 1) ^ { эпсилон ( град х) эпсилон ( град у)} [у, х]}$ для всех однородные элементы Икс и у, и
${ displaystyle (-1) ^ { epsilon ( deg x) epsilon ( deg z)} [x, [y, z]] + (- 1) ^ { epsilon ( deg y) epsilon ( deg x)} [y, [z, x]] + (- 1) ^ { epsilon ( deg z) epsilon ( deg y)} [z, [x, y]] = 0.}$

Дополнительные примеры:

А Супералгебра Ли является градуированной супералгеброй Ли над знаковым полукольцом ${ Displaystyle ( mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}, epsilon)}$ , куда ${ displaystyle epsilon}$ - тождественный эндоморфизм аддитивной структуры на кольце ${ Displaystyle mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$ .

Примечания

^ Префикс «супер» для этого не совсем стандартен, и некоторые авторы могут отказаться от него полностью в пользу называния градуированной супералгебры Ли просто градуированная алгебра Ли. Эта уловка не совсем безосновательна, поскольку градуированные супералгебры Ли могут не иметь ничего общего с алгебрами суперсимметрия. Они супер только постольку, поскольку несут ${ Displaystyle mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$ градация. Эта градация происходит естественно, а не из-за каких-либо нижележащих суперпространств. Таким образом, в смысле теория категорий, их правильно рассматривать как обычные не-сверхобъекты.
^ В связи с суперсимметрия, их часто называют просто градуированные супералгебры Ли, но это противоречит предыдущему определению в этой статье.
^ Таким образом, суперградуированные супералгебры Ли несут пара из ${ Displaystyle mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$ -градации: одна из которых суперсимметричная, а другая классическая. Пьер Делинь называет суперсимметричным супер градация, а классический - когомологическая градация. Эти две градации должны быть совместимы, и часто возникают разногласия относительно того, как их следует рассматривать. Видеть Обсуждение Делиня этой трудности.

Смотрите также

[1] Префикс «супер» для этого не совсем стандартен, и некоторые авторы могут отказаться от него полностью в пользу называния градуированной супералгебры Ли просто градуированная алгебра Ли. Эта уловка не совсем безосновательна, поскольку градуированные супералгебры Ли могут не иметь ничего общего с алгебрами суперсимметрия. Они супер только постольку, поскольку несут ${ Displaystyle mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$ градация. Эта градация происходит естественно, а не из-за каких-либо нижележащих суперпространств. Таким образом, в смысле теория категорий, их правильно рассматривать как обычные не-сверхобъекты.

[2] В связи с суперсимметрия, их часто называют просто градуированные супералгебры Ли, но это противоречит предыдущему определению в этой статье.

[3] Таким образом, суперградуированные супералгебры Ли несут пара из ${ Displaystyle mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$ -градации: одна из которых суперсимметричная, а другая классическая. Пьер Делинь называет суперсимметричным супер градация, а классический - когомологическая градация. Эти две градации должны быть совместимы, и часто возникают разногласия относительно того, как их следует рассматривать. Видеть Обсуждение Делиня этой трудности.

[1]

[2]

[3]

Градуированная алгебра Ли - Graded Lie algebra

Содержание