Скобка Фрелихера – Нийенхейса - Википедия - Frölicher–Nijenhuis bracket

В математика, то Скобка Фрелихера – Нийенхейса является продолжением Кронштейн лжи из векторные поля к векторные дифференциальные формы на дифференцируемое многообразие.

Это полезно при изучении связи, в частности Связь Ehresmann, а также в более общем исследовании прогнозы в касательный пучок.Это было введено Альфред Фрёличер и Альберт Нейенхейс (1956) и связан с работой Schouten (1940).

Это связано, но не так, как Скобка Нейенхейса – Ричардсона и Скобка Схоутена – Нийенхейса.

Определение

Пусть Ω * (M) быть пучок из внешние алгебры из дифференциальные формы на гладкое многообразие M. Это градуированная алгебра в которых формы классифицируются по степени:

{ displaystyle Omega ^ {*} (M) = bigoplus _ {k = 0} ^ { infty} Omega ^ {k} (M).}

А дифференцированный вывод степени является отображением

{ Displaystyle D: Omega ^ {*} (M) to Omega ^ {* + l} (M)}

которое линейно по константам и удовлетворяет

{ Displaystyle D ( альфа клин бета) = D ( альфа) клин бета + (- 1) ^ { ell deg ( альфа)} альфа клин D ( бета).}

Так, в частности, интерьерный продукт с вектором определяет градуированное дифференцирование степени ℓ = −1, тогда как внешняя производная является градуированным дифференцированием степени = 1.

Векторное пространство всех дифференцирований степени обозначается Der_ℓΩ * (M). Прямая сумма этих пространств есть градуированное векторное пространство однородные компоненты которого состоят из всех ступенчатых производных данной степени; это обозначено

{ Displaystyle mathrm {Der} , Omega ^ {*} (M) = bigoplus _ {k = - infty} ^ { infty} mathrm {Der} _ {k} , Omega ^ { *} (М).}

Это формирует градуированная супералгебра Ли под антикоммутатором выводов, определенных на однородных выводах D₁ и D₂ степеней d₁ и d₂соответственно

{ displaystyle [D_ {1}, D_ {2}] = D_ {1} circ D_ {2} - (- 1) ^ {d_ {1} d_ {2}} D_ {2} circ D_ {1 }.}

Любой векторнозначная дифференциальная форма K в Ω^k(M, ТM) со значениями в касательный пучок из M определяет дифференцированный вывод степени k - 1, обозначается я_K, и вызвал оператор вставки. Для ω ∈ Ω^ℓ(M),

{ displaystyle i_ {K} , omega (X_ {1}, dots, X_ {k + ell -1}) = { frac {1} {k! ( ell -1)!}} sum _ { sigma in {S} _ {k + ell -1}} { textrm {sign}} , sigma cdot omega (K (X _ { sigma (1)}, dots, X_ { sigma (k)}), X _ { sigma (k + 1)}, dots, X _ { sigma (k + ell -1)})}

В Производная Нейенхейса – Ли вдоль K ∈ Ω^k(M, ТM) определяется

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {K} = [d, i_ {K}] = d , { circ} , i_ {K} - (- 1) ^ {k-1} i_ { К} { circ} , d}

куда d - внешняя производная и я_K - оператор вставки.

Скобка Фрелихера – Нийенхейса определяется как единственная векторнозначная дифференциальная форма

{ Displaystyle [ cdot, cdot] _ {FN}: Omega ^ {k} (M, mathrm {T} M) times Omega ^ { ell} (M, mathrm {T} M) to Omega ^ {k + ell} (M, mathrm {T} M) :( K, L) mapsto [K, L] _ {FN}}

такой, что

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {[K, L] _ {FN}} = [{ mathcal {L}} _ {K}, { mathcal {L}} _ {L}].}

Следовательно,

{ displaystyle [K, L] _ {FN} = - (- 1) ^ {kl} [L, K] _ {FN}.}

Если k = 0, так что K ∈ Ω⁰(M, ТM) - векторное поле, обычная формула гомотопии для производной Ли восстанавливается

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {K} = [d, i_ {K}] = d , { circ} , i_ {K} + i_ {K} , { circ} , d.}

Если k=ℓ= 1, так что К, Л ∈ Ω¹(M, ТM) для любых векторных полей Икс и Y

{ displaystyle [K, L] _ {FN} (X, Y) = [KX, LY] + [LX, KY] + (KL + LK) [X, Y] -K ([LX, Y] + [ X, LY]) - L ([KX, Y] + [X, KY]).}

Если k= 0 и ℓ= 1, так что К = Z∈ Ω⁰(M, ТM) - векторное поле и L ∈ Ω¹(M, ТM) для любого векторного поля Икс

{ Displaystyle [Z, L] _ {FN} (X) = [Z, LX] -L [Z, X].}

Явная формула для скобки Фрелихера – Нийенхейса ${ displaystyle phi otimes X}$ и ${ displaystyle psi otimes Y}$ (для форм φ, ψ и векторных полей Икс и Y) дан кем-то

{ displaystyle left. right. [ phi otimes X, psi otimes Y] _ {FN} = phi wedge psi otimes [X, Y] + phi wedge { mathcal {L }} _ {X} psi otimes Y - { mathcal {L}} _ {Y} phi wedge psi otimes X + (- 1) ^ { deg ( phi)} (d phi клин i_ {X} ( psi) otimes Y + i_ {Y} ( phi) wedge d psi otimes X).}

Выводы кольца форм

Каждый вывод Ω^*(M) можно записать как

{ displaystyle i_ {L} + { mathcal {L}} _ {K}}

для уникальных элементов K и L из Ω^*(M, ТM). Скобка Ли этих выводов имеет следующий вид.

Выводы формы ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {K}}$ образуют супералгебру Ли всех дифференцирований, коммутирующих с d. Скобка дается формулой

{ displaystyle [{ mathcal {L}} _ {K_ {1}}, { mathcal {L}} _ {K_ {2}}] = { mathcal {L}} _ {[K_ {1}, К_ {2}]}}

где скобка справа - скобка Фрелихера – Нийенхейса. В частности, скобка Фрелихера – Нийенхейса определяет градуированная алгебра Ли структура на

{ Displaystyle Omega (М, mathrm {T} M)}

, что расширяет Кронштейн лжи из векторные поля.

Выводы формы ${ displaystyle i_ {L}}$ образуют супералгебру Ли всех дифференцирований, обращающихся в нуль на функциях Ω⁰(M). Скобка дается формулой

{ displaystyle [i_ {L_ {1}}, i_ {L_ {2}}] = i _ {[L_ {1}, L_ {2}] ^ { land}}}

где скобка справа - это Скобка Нейенхейса – Ричардсона.

Скобка выводов различных типов дается формулой

{ displaystyle [{ mathcal {L}} _ {K}, i_ {L}] = i _ {[K, L]} - (- 1) ^ {kl} { mathcal {L}} _ {i_ { L} K}}

за K в Ω^k(M, ТM), L в Ω^{л + 1}(M, ТM).

Приложения

В Тензор Нейенхейса из почти сложная структура J, - скобка Фрелихера – Нийенхейса J с собой. Почти комплексная структура является сложной тогда и только тогда, когда тензор Нийенхейса равен нулю.

С помощью скобки Фрелихера – Нийенхейса можно определить кривизна и искривление векторной 1-формы, которая является проекция. Это обобщает понятие кривизны связь.

Существует общее обобщение скобок Схоутена – Нийенхейса и скобок Фрелихера – Нийенхейса; подробнее см. статью о Скобка Схоутена – Нийенхейса.

Скобка Фрелихера – Нийенхейса - Википедия - Frölicher–Nijenhuis bracket

Содержание

Определение

Выводы кольца форм

Приложения

Рекомендации