Кошульский комплекс - Koszul complex

В математика, то Кошульский комплекс был впервые введен для определения теория когомологий за Алгебры Ли, к Жан-Луи Кошул (видеть Когомологии алгебры Ли ). Это оказалось полезной общей конструкцией в гомологическая алгебра. В качестве инструмента его гомологии можно использовать, чтобы определить, когда набор элементов (локального) кольца является M-регулярная последовательность, и, следовательно, его можно использовать для доказательства основных фактов о глубина модуля или идеала, который представляет собой алгебраическое понятие размерности, связанное с геометрическим понятием Измерение Крулля. Более того, при определенных обстоятельствах комплекс представляет собой комплекс сизигии, то есть он сообщает вам отношения между генераторами модуля, отношения между этими отношениями и так далее.

Определение

Позволять р коммутативное кольцо и E свободный модуль конечного ранга р над р. Мы пишем ${ displaystyle bigwedge ^ {i} E}$ для я-й внешняя сила из E. Тогда, учитывая р-линейная карта ${ Displaystyle s двоеточие E to R}$ , то Кошульский комплекс, связанный с s это цепной комплекс из р-модули:

{ displaystyle K _ { bullet} (s) двоеточие 0 to bigwedge ^ {r} E { overset {d_ {r}} { to}} bigwedge ^ {r-1} E to cdots to bigwedge ^ {1} E { overset {d_ {1}} { to}} R to 0}

,

где дифференциал ${ displaystyle d_ {k}}$ дается: для любого ${ displaystyle e_ {i}}$ в E,

{ displaystyle d_ {k} (e_ {1} wedge dots wedge e_ {k}) = sum _ {i = 1} ^ {k} (- 1) ^ {i + 1} s (e_ { i}) e_ {1} wedge cdots wedge { widehat {e_ {i}}} wedge cdots wedge e_ {k}}

.

Верхний индекс ${ displaystyle { widehat { cdot}}}$ означает, что термин опущен. (Отображение ${ displaystyle d_ {k} circ d_ {k + 1} = 0}$ прямолинейно; в качестве альтернативы, это тождество также следует с использованием # Самодвойственность комплекса Кошуля.)

Обратите внимание, что ${ displaystyle bigwedge ^ {1} E = E}$ и ${ displaystyle d_ {1} = s}$ . Отметим также, что ${ displaystyle bigwedge ^ {r} E simeq R}$ ; этот изоморфизм не каноничен (например, выбор объемная форма в дифференциальной геометрии дает пример такого изоморфизма.)

Если ${ displaystyle E = R ^ {r}}$ (т.е. выбирается упорядоченный базис), то, задавая р-линейная карта ${ displaystyle s двоеточие R ^ {r} to R}$ сводится к получению конечной последовательности ${ displaystyle s_ {1}, dots, s_ {r}}$ элементов в р (а именно вектор-строку), а затем задается ${ displaystyle K _ { bullet} (s_ {1}, dots, s_ {r}) = K _ { bullet} (s).}$

Если M является конечно порожденным р-модуль, затем устанавливаются:

{ displaystyle K _ { bullet} (s, M) = K _ { bullet} (s) otimes _ {R} M}

,

который снова является цепным комплексом с индуцированным дифференциалом ${ Displaystyle (d otimes 1_ {M}) (v otimes m) = d (v) otimes m}$ .

В я-я гомология комплекса Кошуля

{ displaystyle operatorname {H} _ {i} (K _ { bullet} (s, M)) = operatorname {ker} (d_ {i} otimes 1_ {M}) / operatorname {im} (d_ {i + 1} otimes 1_ {M})}

называется я-я гомология Кошуля. Например, если ${ displaystyle E = R ^ {r}}$ и ${ displaystyle s = [s_ {1} cdots s_ {r}]}$ вектор-строка с элементами в р, тогда ${ displaystyle d_ {1} otimes 1_ {M}}$ является

{ displaystyle s двоеточие M ^ {r} to M, , (m_ {1}, dots, m_ {r}) mapsto s_ {1} m_ {1} + dots + s_ {r} m_ {р}}

и так

{ displaystyle operatorname {H} _ {0} (K _ { bullet} (s, M)) = M / (s_ {1}, dots, s_ {r}) M = R / (s_ {1} , dots, s_ {r}) otimes _ {R} M.}

По аналогии,

{ displaystyle operatorname {H} _ {r} (K _ { bullet} (s, M)) = {m in M: s_ {1} m = s_ {2} m = dots = s_ {r } m = 0 } = operatorname {Hom} _ {R} (R / (s_ {1}, dots, s_ {r}), M).}

Кошульские комплексы в малых габаритах

Учитывая коммутативное кольцо р, элемент Икс в р, и р-модуль M, умножение на Икс дает гомоморфизм из р-модули,

{ displaystyle M to M.}

Считая это цепной комплекс (поместив их в степени 1 и 0 и добавив нули в другом месте), это обозначается ${ Displaystyle К (х, М)}$ . По построению гомологии

{ Displaystyle Н_ {0} (К (х, М)) = М / хМ, Н_ {1} (К (х, М)) = OperatorName {Ann} _ {M} (х) = {м в M, xm = 0 },}

в аннигилятор из Икс в MТаким образом, комплекс Кошуля и его гомологии кодируют фундаментальные свойства умножения на Икс.

Этот цепной комплекс ${ Displaystyle К _ { пуля} (х)}$ называется Кошульский комплекс из р относительно Икс, как в #Определение. Комплекс Кошуля для пары ${ Displaystyle (х, у) в R ^ {2}}$ является

{ displaystyle 0 to R { xrightarrow { d_ {2} }} R ^ {2} { xrightarrow { d_ {1} }} R to 0,}

с матрицами ${ displaystyle d_ {1}}$ и ${ displaystyle d_ {2}}$ данный

{ displaystyle d_ {1} = { begin {bmatrix} x & y end {bmatrix}}}

и

{ displaystyle d_ {2} = { begin {bmatrix} -y x end {bmatrix}}.}

Обратите внимание, что ${ displaystyle d_ {i}}$ наносится слева. В циклы степени 1 - это в точности линейные отношения на элементах Икс и у, а границы - тривиальные отношения. Первые гомологии Кошуля H₁(K_•(Икс, у)) поэтому точно измеряет отношения, модифицирующие тривиальные отношения. С большим количеством элементов многомерные гомологии Кошуля измеряют более высокоуровневые версии этого.

В случае, если элементы ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {n}}$ сформировать регулярная последовательность все модули высших гомологий комплекса Кошуля равны нулю.

Пример

Если k это поле и ${ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, dots, X_ {d}}$ являются неопределенными и р кольцо многочленов ${ Displaystyle к [X_ {1}, X_ {2}, точки, X_ {d}]}$ , комплекс Кошул ${ displaystyle K _ { bullet} (X_ {i})}$ на ${ displaystyle X_ {i}}$ образует бетон без р-разрешение k.

Свойства гомологии Кошуля

Позволять E - свободный модуль конечного ранга над р, позволять ${ displaystyle s двоеточие E to R}$ быть р-линейная карта, и пусть т быть элементом р. Позволять ${ Displaystyle К (s, t)}$ быть кошульским комплексом ${ Displaystyle (s, t) двоеточие E oplus R to R}$ .

С помощью ${ Displaystyle клин ^ {к} (Е oplus R) = oplus _ {я = 0} ^ {k} bigwedge ^ {ki} E otimes bigwedge ^ {i} R = bigwedge ^ {k } E oplus bigwedge ^ {k-1} E}$ , есть точная последовательность комплексов:

{ Displaystyle 0 к К (s) к К (s, t) к К (s) [- 1] к 0}

где [-1] означает сдвиг градуса на -1 и ${ Displaystyle d_ {K (s) [- 1]} = - d_ {K (s)}}$ . Одно примечания:^[1] за ${ Displaystyle (х, у)}$ в ${ Displaystyle клин ^ {к} E oplus bigwedge ^ {k-1} E}$ ,

{ Displaystyle d_ {K (s, t)} ((x, y)) = (d_ {K (s)} x + ty, d_ {K (s) [- 1]} y).}

На языке гомологическая алгебра, это означает, что ${ Displaystyle К (s, t)}$ это картографический конус из ${ Displaystyle т двоеточие K (s) to K (s)}$ .

Взяв длинную точную последовательность гомологий, получим:

{ displaystyle cdots to operatorname {H} _ {i} (K (s)) { overset {t} { to}} operatorname {H} _ {i} (K (s)) to operatorname {H} _ {i} (K (s, t)) to operatorname {H} _ {i-1} (K (s)) { overset {t} { to}} cdots. }

Здесь соединительный гомоморфизм

{ displaystyle delta: operatorname {H} _ {i + 1} (K (s) [- 1]) = operatorname {H} _ {i} (K (s)) to operatorname {H} _ {i} (тыс. (s))}

вычисляется следующим образом. По определению, ${ Displaystyle дельта ([х]) = [d_ {K (s, t)} (y)]}$ куда у является элементом ${ Displaystyle К (s, t)}$ что соответствует Икс. С ${ Displaystyle К (s, t)}$ прямая сумма, мы можем просто взять у быть (0, Икс). Тогда ранняя формула для ${ displaystyle d_ {K (s, t)}}$ дает ${ Displaystyle дельта ([х]) = т [х]}$ .

Приведенная выше точная последовательность может быть использована для доказательства следующего.

Теорема — ^[2] Позволять р быть кольцом и M модуль над ним. Если последовательность ${ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, cdots, x_ {r}}$ элементов р это регулярная последовательность на M, тогда

{ displaystyle operatorname {H} _ {i} (K (x_ {1}, dots, x_ {r}) otimes M) = 0}

для всех ${ displaystyle i geq 1}$ . В частности, когда M = р, это сказать

{ displaystyle 0 to wedge ^ {r} R ^ {r} { overset {d_ {r}} { to}} wedge ^ {r-1} R ^ {r} to cdots to wedge ^ {2} R ^ {r} { overset {d_ {2}} { to}} R ^ {r} { overset {[x_ {1} cdots x_ {r}]} { to }} R to R / (x_ {1}, cdots, x_ {r}) to 0}

точно; т.е. ${ Displaystyle К (x_ {1}, точки, x_ {r})}$ является р-бесплатное разрешение из ${ Displaystyle R / (x_ {1}, dots, x_ {r})}$ .

Доказательство индукцией по р. Если ${ displaystyle r = 1}$ , тогда ${ displaystyle operatorname {H} _ {1} (K (x_ {1}; M)) = operatorname {Ann} _ {M} (x_ {1}) = 0}$ . Далее предположим, что утверждение верно для р - 1. Затем, используя указанную выше точную последовательность, можно увидеть ${ displaystyle operatorname {H} _ {i} (K (x_ {1}, dots, x_ {r}; M)) = 0}$ для любого ${ displaystyle i geq 2}$ . Исчезновение также справедливо для ${ displaystyle i = 1}$ , поскольку ${ displaystyle x_ {r}}$ ненулевой делитель на ${ displaystyle operatorname {H} _ {0} (K (x_ {1}, dots, x_ {r-1}; M)) = M / (x_ {1}, dots, x_ {r-1) }) M.}$ ${ displaystyle square}$

Следствие — ^[3] Позволять р, M быть как указано выше и ${ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, cdots, x_ {n}}$ последовательность элементов р. Предположим, есть кольцо S, S-регулярная последовательность ${ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, cdots, y_ {n}}$ в S и гомоморфизм колец S → р что отображает ${ displaystyle y_ {i}}$ к ${ displaystyle x_ {i}}$ . (Например, можно взять ${ Displaystyle S = mathbb {Z} [y_ {1}, cdots, y_ {n}]}$ .) Потом

{ displaystyle operatorname {H} _ {i} (K (x_ {1}, dots, x_ {n}) otimes _ {R} M) = operatorname {Tor} _ {i} ^ {S} (S / (y_ {1}, dots, y_ {n}), M).}

где Tor обозначает Функтор Tor и M является S-модуль через S → р.

Доказательство. По теореме, примененной к S и S как S-модуль, мы видим K(у₁, ..., у_п) является S-свободное разрешение S/(у₁, ..., у_п). Итак, по определению я-я гомология ${ displaystyle K (y_ {1}, dots, y_ {n}) otimes _ {S} M}$ - правая часть сказанного выше. С другой стороны, ${ displaystyle K (y_ {1}, dots, y_ {n}) otimes _ {S} M = K (x_ {1}, dots, x_ {n}) otimes _ {R} M}$ по определению S-модульная структура на M. ${ displaystyle square}$

Следствие — ^[4] Позволять р, M быть как указано выше и ${ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, cdots, x_ {n}}$ последовательность элементов р. Тогда оба идеальных ${ Displaystyle I = (x_ {1}, x_ {2}, cdots, x_ {n})}$ и аннигилятор M уничтожать

{ displaystyle operatorname {H} _ {i} (K (x_ {1}, dots, x_ {n}) otimes M)}

для всех я.

Доказательство: Пусть S = р[у₁, ..., у_п]. Повернуть M в S-модуль через гомоморфизм колец S → р, у_я → Икс_я и р ан S-модуль через у_я → 0. По предыдущему следствию ${ displaystyle operatorname {H} _ {i} (K (x_ {1}, dots, x_ {n}) otimes M) = operatorname {Tor} _ {i} ^ {S} (R, M )}$ а потом

{ displaystyle operatorname {Ann} _ {S} ( operatorname {Tor} _ {i} ^ {S} (R, M)) supset operatorname {Ann} _ {S} (R) + operatorname { Ann} _ {S} (M) supset (y_ {1}, dots, y_ {n}) + operatorname {Ann} _ {R} (M) + (y_ {1} -x_ {1}, ..., y_ {n} -x_ {n}).}

{ displaystyle square}

Для местное кольцо, верно обратное утверждение теоремы. В более общем смысле,

Теорема — ^[5] Позволять р быть кольцом и M ненулевой конечно порожденный модуль над р . Если Икс₁, Икс₂, ..., Икс_р являются элементами Радикал Якобсона из р, то эквивалентны следующие:

Последовательность ${ displaystyle x_ {1}, dots, x_ {r}}$ это регулярная последовательность на M,
${ displaystyle operatorname {H} _ {1} (K (x_ {1}, dots, x_ {r}) otimes M) = 0}$ ,
${ displaystyle operatorname {H} _ {i} (K (x_ {1}, dots, x_ {r}) otimes M) = 0}$ для всех я ≥ 1.

Доказательство: нам нужно показать только 2. из 1., остальное ясно. Рассуждаем индукцией по р. Дело р = 1 уже известно. Позволять Икс' обозначать Икс₁, ..., Икс_р-1. Учитывать

{ displaystyle cdots to operatorname {H} _ {1} (K (x '; M)) { overset {x_ {r}} { to}} operatorname {H} _ {1} (K (x '; M)) to operatorname {H} _ {1} (K (x_ {1}, dots, x_ {r}; M)) = 0 to M / x'M { overset { x_ {r}} { to}} cdots.}

С первого ${ displaystyle x_ {r}}$ сюръективно, ${ Displaystyle N = x_ {r} N}$ с ${ displaystyle N = operatorname {H} _ {1} (K (x '; M))}$ . К Лемма Накаямы, ${ displaystyle N = 0}$ и так Икс' - регулярная последовательность по предположению индукции. Со второго ${ displaystyle x_ {r}}$ инъективен (т. е. является ненулевым делителем), ${ displaystyle x_ {1}, dots, x_ {r}}$ является регулярной последовательностью. (Примечание: по лемме Накаямы требование ${ Displaystyle M / (x_ {1}, dots, x_ {r}) M neq 0}$ автоматический.) ${ displaystyle square}$

Тензорные продукты комплексов Кошуля

В общем, если C, D являются цепными комплексами, то их тензорное произведение ${ displaystyle C otimes D}$ это цепной комплекс, задаваемый формулой

{ displaystyle (C otimes D) _ {n} = sum _ {i + j = n} C_ {i} otimes D_ {j}}

с дифференциалом: для любых однородных элементов Икс, у,

{ Displaystyle d_ {C otimes D} (x otimes y) = d_ {C} (x) otimes y + (- 1) ^ {| x |} x otimes d_ {D} (y)}

где |Икс| степень Икс.

Эта конструкция относится, в частности, к комплексам Кошуля. Позволять E, F - свободные модули конечного ранга, и пусть ${ Displaystyle s двоеточие E to R}$ и ${ Displaystyle т двоеточие от F до R}$ быть двумя р-линейные карты. Позволять ${ Displaystyle К (s, t)}$ - комплекс Кошуля линейного отображения ${ Displaystyle (s, t) двоеточие E oplus F to R}$ . Тогда как комплексы

{ Displaystyle К (s, t) simeq K (s) otimes K (t).}

Чтобы убедиться в этом, удобнее работать с внешней алгеброй (в отличие от внешних степеней). Определите градуированный вывод степени ${ displaystyle -1}$

{ displaystyle d_ {s}: клин E к клин E}

требуя: для любых однородных элементов Икс, у в ΛE,

${ Displaystyle d_ {s} (х) = s (х)}$ когда ${ Displaystyle | х | = 1}$
${ displaystyle d_ {s} (x wedge y) = d_ {s} (x) wedge y + (- 1) ^ {| x |} x wedge d_ {s} (y)}$

Легко увидеть, что ${ displaystyle d_ {s} circ d_ {s} = 0}$ (индукция по степени) и что действие ${ displaystyle d_ {s}}$ на однородных элементах согласуется с дифференциалами в #Определение.

Теперь у нас есть ${ Displaystyle клин (E oplus F) = клин E otimes клин F}$ как оценено р-модули. Кроме того, по определению тензорного произведения, упомянутому в начале,

{ Displaystyle d_ {K (s) otimes K (t)} (e otimes 1 + 1 otimes f) = d_ {K (s)} (e) otimes 1 + 1 otimes d_ {K (t )} (f) = s (e) + t (f) = d_ {K (s, t)} (e + f).}

С ${ displaystyle d_ {K (s) otimes K (t)}}$ и ${ displaystyle d_ {K (s, t)}}$ являются выводами одного типа, отсюда следует ${ Displaystyle d_ {K (s) otimes K (t)} = d_ {K (s, t)}.}$

Отметим, в частности,

{ displaystyle K (x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {r}) simeq K (x_ {1}) otimes K (x_ {2}) otimes cdots otimes K (x_ {р})}

.

Следующее предложение показывает, как комплекс элементов Кошуля кодирует некоторую информацию о последовательностях в идеале, порожденном ими.

Предложение — Позволять р быть кольцом и я = (Икс₁, ..., Икс_п) идеал, порожденный некоторыми п-элементы. Тогда для любого р-модуль M и любые элементы у₁, ..., у_р в я,

{ displaystyle operatorname {H} _ {i} (K (x_ {1}, dots, x_ {n}, y_ {1}, dots, y_ {r}; M)) simeq bigoplus _ { i = j + k} operatorname {H} _ {j} (K (x_ {1}, dots, x_ {n}; M)) otimes wedge ^ {k} R ^ {r}.}

куда ${ displaystyle wedge ^ {k} R ^ {r}}$ рассматривается как комплекс с нулевым дифференциалом. (На самом деле разложение выполняется на цепном уровне).

Доказательство: (легко, но пока опущено)

В качестве приложения мы можем показать глубинную чувствительность гомологии Кошуля. Для конечно порожденного модуля M над кольцом р, по (одному) определению глубина из M относительно идеала я является супремумом длин всех регулярных последовательностей элементов я на M. Обозначается он ${ displaystyle operatorname {depth} (I, M)}$ . Напомним, что M-регулярная последовательность Икс₁, ..., Икс_п в идеале я является максимальным, если я не содержит ненулевого делителя на ${ Displaystyle M / (x_ {1}, dots, x_ {n}) M}$ .

Гомология Кошуля дает очень полезную характеристику глубины.

Теорема (чувствительность к глубине) — Позволять р быть нётеровым кольцом, Икс₁, ..., Икс_п элементы р и я = (Икс₁, ..., Икс_п) порожденный ими идеал. Для конечно порожденного модуля M над р, если для некоторого целого м,

{ displaystyle operatorname {H} _ {i} (K (x_ {1}, dots, x_ {n}) otimes M) = 0}

для всех я > м,

пока

{ displaystyle operatorname {H} _ {m} (K (x_ {1}, dots, x_ {n}) otimes M) neq 0,}

то каждый максимальный M-регулярная последовательность в я имеет длину п - м (в частности, все они имеют одинаковую длину). Как следствие,

{ displaystyle operatorname {depth} (I, M) = n-m}

.

Доказательство: чтобы облегчить обозначения, мы пишем H (-) вместо H (K(-)). Позволять у₁, ..., у_s быть максимальным M-регулярная последовательность в идеале я; обозначим эту последовательность через ${ displaystyle { underline {y}}}$ . Сначала покажем индукцией по ${ displaystyle l}$ , утверждение, что ${ displaystyle operatorname {H} _ {i} ({ underline {y}}, x_ {1}, dots, x_ {l}; M)}$ является ${ displaystyle operatorname {Ann} _ {M / { underline {y}} M} (x_ {1}, dots, x_ {l})}$ если ${ displaystyle i = l}$ и равен нулю, если ${ displaystyle i> l}$ . Базовый случай ${ displaystyle l = 0}$ ясно из # Свойства гомологии Кошуля. Из длинной точной последовательности гомологий Кошуля и индуктивной гипотезы

{ displaystyle operatorname {H} _ {l} left ({ underline {y}}, x_ {1}, dots, x_ {l}; M right) = operatorname {ker} left (x_ {l}: operatorname {Ann} _ {M / { underline {y}} M} (x_ {1}, dots, x_ {l-1}) to operatorname {Ann} _ {M / { underline {y}} M} (x_ {1}, dots, x_ {l-1}) right)}

,

который ${ displaystyle operatorname {Ann} _ {M / { underline {y}} M} (x_ {1}, dots, x_ {l}).}$ Кроме того, по тому же аргументу обращение в нуль выполняется для ${ displaystyle i> l}$ . Это завершает доказательство утверждения.

Теперь из утверждения и раннего предложения следует, что ${ displaystyle operatorname {H} _ {i} (x_ {1}, dots, x_ {n}; M) = 0}$ для всех я > п - s. Заключить п - s = м, осталось показать, что он ненулевой, если я = п - s. С ${ displaystyle { underline {y}}}$ это максимальный M-регулярная последовательность в я, идеал я содержится в множестве всех нулевых делителей на ${ displaystyle M / { underline {y}} M}$ , конечное объединение ассоциированных простых чисел модуля. Таким образом, по простому избеганию существует ненулевое v в ${ displaystyle M / { underline {y}} M}$ такой, что ${ Displaystyle I подмножество { mathfrak {p}} = operatorname {Ann} _ {R} (v)}$ , то есть

{ displaystyle 0 neq v in operatorname {Ann} _ {M / { underline {y}} M} (I) simeq operatorname {H} _ {n} left (x_ {1}, точки, x_ {n}, { underline {y}}; M right) = operatorname {H} _ {ns} (x_ {1}, dots, x_ {n}; M) otimes wedge ^ {s} R ^ {s}.}

{ displaystyle square}

Самодуальность

Существует подход к комплексу Кошуля, который использует коцепьевой комплекс вместо цепного комплекса. Как выясняется, это приводит, по сути, к одному и тому же комплексу (факт, известный как самодуальность комплекса Кошуля).

Позволять E свободный модуль конечного ранга р над кольцом р. Тогда каждый элемент е из E дает начало внешнему умножению слева на е:

{ displaystyle l_ {e}: wedge ^ {k} E to wedge ^ {k + 1} E, , x mapsto e wedge x.}

С ${ Displaystyle е клин е = 0}$ , у нас есть: ${ displaystyle l_ {e} circ l_ {e} = 0}$ ; то есть,

{ displaystyle 0 to R { overset {1 mapsto e} { to}} wedge ^ {1} E { overset {l_ {e}} { to}} wedge ^ {2} E в cdots to wedge ^ {r} E to 0}

является коцепным комплексом свободных модулей. Этот комплекс, также называемый комплексом Кошуля, представляет собой комплекс, используемый в (Эйзенбуд 1995 ). Взяв дуал, возникает комплекс:

{ displaystyle 0 to ( клин ^ {r} E) ^ {*} to ( wedge ^ {r-1} E) ^ {*} to cdots to ( wedge ^ {2} E ) ^ {*} to ( wedge ^ {1} E) ^ {*} to R to 0}

.

Использование изоморфизма ${ Displaystyle клин ^ {к} E simeq ( клин ^ {r-k} E) ^ {*} simeq wedge ^ {r-k} (E ^ {*})}$ , комплекс ${ Displaystyle ( клин E, l_ {e})}$ совпадает с комплексом Кошуля в #Определение.

Использовать

Комплекс Кошуля важен для определения совместного спектра набора коммутирующих ограниченные линейные операторы в Банахово пространство.^{[нужна цитата ]}

Смотрите также

Примечания

^ Действительно, в силу линейности можно считать ${ Displaystyle (х, у) = (е_ {1} + эпсилон) клин е_ {2} клин cdots клин е_ {к} ин клин ^ {k} (Е oplus R)}$ куда ${ Displaystyle R simeq R epsilon подмножество E oplus R}$ . потом
${ Displaystyle d_ {К (s, t)} ((x, y)) = (s (e_ {1}) + t) e_ {2} wedge cdots wedge e_ {k} + sum _ { i = 2} ^ {k} (- 1) ^ {i + 1} s (e_ {i}) (e_ {1} + epsilon) wedge e_ {2} wedge cdots { widehat {e_ { i}}} cdots клин e_ {k}}$ ,
который ${ displaystyle (d_ {K (s)} x + ty, -d_ {K (s)} y)}$ .
^ Мацумура, Теорема 16.5. (я)
^ Эйзенбуд, Упражнение 17.10.
^ Серр, Глава IV, A § 2, предложение 4.
^ Мацумура, Теорема 16.5. (ii)

внешняя ссылка

Мелвин Хохстер, Math 711: Лекция 3 октября 2007 г. (особенно в самой последней части).

[1] Действительно, в силу линейности можно считать ${ Displaystyle (х, у) = (е_ {1} + эпсилон) клин е_ {2} клин cdots клин е_ {к} ин клин ^ {k} (Е oplus R)}$ куда ${ Displaystyle R simeq R epsilon подмножество E oplus R}$ . потом
${ Displaystyle d_ {К (s, t)} ((x, y)) = (s (e_ {1}) + t) e_ {2} wedge cdots wedge e_ {k} + sum _ { i = 2} ^ {k} (- 1) ^ {i + 1} s (e_ {i}) (e_ {1} + epsilon) wedge e_ {2} wedge cdots { widehat {e_ { i}}} cdots клин e_ {k}}$ ,
который ${ displaystyle (d_ {K (s)} x + ty, -d_ {K (s)} y)}$ .

[2] Мацумура, Теорема 16.5. (я)

[3] Эйзенбуд, Упражнение 17.10.

[4] Серр, Глава IV, A § 2, предложение 4.

[5] Мацумура, Теорема 16.5. (ii)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]