Когомологии алгебры Ли - Lie algebra cohomology

В математика, Когомологии алгебры Ли это когомология теория для Алгебры Ли. Впервые он был представлен в 1929 г. Эли Картан изучить топологию Группы Ли и однородные пространства^[1] связав когомологические методы Жорж де Рам свойствам алгебры Ли. Позже он был расширен Клод Шевалле и Сэмюэл Эйленберг (1948 ) к коэффициентам в произвольной Модуль лжи.^[2]

Мотивация

Если ${ displaystyle G}$ компактный односвязный Группа Ли, тогда она определяется своей алгеброй Ли, поэтому должно быть возможно вычислить ее когомологии из алгебры Ли. Это можно сделать следующим образом. Его когомология - это когомологии де Рама комплекса дифференциальные формы на ${ displaystyle G}$ . Используя процесс усреднения, этот комплекс можно заменить комплексом левоинвариантные дифференциальные формы. Между тем левоинвариантные формы определяются своими значениями в единице, так что пространство левоинвариантных дифференциальных форм можно отождествить с внешняя алгебра алгебры Ли с подходящим дифференциалом.

Построение этого дифференциала на внешней алгебре имеет смысл для любой алгебры Ли, поэтому оно используется для определения когомологий алгебры Ли для всех алгебр Ли. В более общем плане можно использовать аналогичную конструкцию для определения когомологий алгебры Ли с коэффициентами в модуле.

Если ${ displaystyle G}$ односвязный некомпактный Группа Ли, когомологии алгебры Ли ассоциированной алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ не обязательно воспроизводит когомологии де Рама ${ displaystyle G}$ . Причина этого в том, что переход от комплекса всех дифференциальных форм к комплексу левоинвариантных дифференциальных форм использует процесс усреднения, который имеет смысл только для компактных групп.

Определение

Позволять ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ быть Алгебра Ли над коммутативным кольцом р с универсальная обертывающая алгебра ${ displaystyle U { mathfrak {g}}}$ , и разреши M быть представление из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ (эквивалентно, a ${ displaystyle U { mathfrak {g}}}$ -модуль). Учитывая р как тривиальное представление ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ , определяются группы когомологий

{ displaystyle mathrm {H} ^ {n} ({ mathfrak {g}}; M): = mathrm {Ext} _ {U { mathfrak {g}}} ^ {n} (R, M) }

(видеть Функтор Ext для определения Ext). В равной степени это правильные производные функторы левого точного инвариантного подмодульного функтора

{ displaystyle M mapsto M ^ { mathfrak {g}}: = {m in M ​​ mid xm = 0 { text {для всех}} x in { mathfrak {g}} }. }

Аналогично, можно определить гомологии алгебр Ли как

{ displaystyle mathrm {H} _ {n} ({ mathfrak {g}}; M): = mathrm {Tor} _ {n} ^ {U { mathfrak {g}}} (R, M) }

(видеть Функтор Tor для определения Tor), что эквивалентно левым производным функторам правого точного коинварианты функтор

{ Displaystyle M mapsto M _ { mathfrak {g}}: = M / { mathfrak {g}} M.}

Некоторые важные основные результаты о когомологиях алгебр Ли включают Леммы Уайтхеда, Теорема Вейля, а Разложение Леви теорема.

Комплекс Шевалле-Эйленберга

Позволять ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ - алгебра Ли над полем ${ displaystyle k}$ , с левым действием на ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -модуль ${ displaystyle M}$ . Элементы Комплекс Шевалле-Эйленберга

{ displaystyle mathrm {Hom} _ {k} ( Lambda ^ { bullet} { mathfrak {g}}, M)}

называются коцепями из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ к ${ displaystyle M}$ . Однородный ${ displaystyle n}$ -cochain от ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ к ${ displaystyle M}$ таким образом, чередующийся ${ displaystyle k}$ -моллинейная функция ${ displaystyle f двоеточие Lambda ^ {n} { mathfrak {g}} to M}$ . Комплекс Шевалле – Эйленберга канонически изоморфен тензорному произведению ${ Displaystyle M otimes Lambda ^ { bullet} { mathfrak {g}} ^ {*}}$ , куда ${ Displaystyle { mathfrak {g}} ^ {*}}$ обозначает двойственное векторное пространство ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ .

Скобка Ли ${ Displaystyle [ cdot, cdot] двоеточие Lambda ^ {2} { mathfrak {g}} rightarrow { mathfrak {g}}}$ на ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ вызывает транспонировать заявление ${ displaystyle d _ { mathfrak {g}} ^ {(1)} двоеточие { mathfrak {g}} ^ {*} rightarrow Lambda ^ {2} { mathfrak {g}} ^ {*}}$ по двойственности. Последнего достаточно для определения вывода ${ displaystyle d _ { mathfrak {g}}}$ комплекса коцепей из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ к ${ displaystyle k}$ путем расширения ${ displaystyle d _ { mathfrak {g}} ^ {(1)}}$ согласно градуированному правилу Лейбница. Из тождества Якоби следует, что ${ displaystyle d _ { mathfrak {g}}}$ удовлетворяет ${ displaystyle d _ { mathfrak {g}} ^ {2} = 0}$ и фактически является дифференциалом. В этой настройке ${ displaystyle k}$ рассматривается как тривиальный ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -модуль пока ${ Displaystyle к сим Лямбда ^ {0} { mathfrak {g}} ^ {*} substeq mathrm {Ker} (d _ { mathfrak {g}})}$ можно рассматривать как константы.

В общем, пусть ${ displaystyle gamma in mathrm {Hom} ({ mathfrak {g}}, mathrm {End} (M))}$ обозначим левое действие ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ на ${ displaystyle M}$ и рассматривать это как приложение ${ displaystyle d _ { gamma} ^ {(0)} двоеточие M rightarrow M otimes { mathfrak {g}} ^ {*}}$ . Дифференциал Шевалле – Эйленберга. ${ displaystyle d}$ - тогда единственный вывод, продолжающий ${ displaystyle d _ { gamma} ^ {(0)}}$ и ${ displaystyle d _ { mathfrak {g}} ^ {(1)}}$ согласно градуированное правило Лейбница, условие нильпотентности ${ displaystyle d ^ {2} = 0}$ следующий из гомоморфизма алгебр Ли из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ к ${ Displaystyle mathrm {Конец} (М)}$ и Личность Якоби в ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ .

Явно дифференциал ${ displaystyle n}$ -cochain ${ displaystyle f}$ это ${ Displaystyle (п + 1)}$ -cochain ${ displaystyle df}$ предоставлено:^[3]

${ displaystyle { begin {align} (df) left (x_ {1}, ldots, x_ {n + 1} right) = & sum _ {i} (- 1) ^ {i + 1} x_ {i} , f left (x_ {1}, ldots, { hat {x}} _ {i}, ldots, x_ {n + 1} right) + & sum _ { i$

где каретка означает пропуск этого аргумента.

Когда ${ displaystyle G}$ является вещественной группой Ли с алгеброй Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ , комплекс Шевалле – Эйленберга также можно канонически отождествить с пространством левоинвариантных форм со значениями в ${ displaystyle M}$ , обозначаемый ${ displaystyle Omega ^ { bullet} (G, M) ^ {G}}$ . Тогда дифференциал Шевалле – Эйленберга можно рассматривать как ограничение ковариантной производной на тривиальном пучок волокон ${ displaystyle G times M rightarrow G}$ , снабженный эквивариантным связь ${ displaystyle { tilde { gamma}} in Omega ^ {1} (G, mathrm {End} (M))}$ связанный с левым действием ${ displaystyle gamma in mathrm {Hom} ({ mathfrak {g}}, mathrm {End} (M))}$ из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ на ${ displaystyle M}$ . В частном случае, когда ${ Displaystyle М = К = mathbb {R}}$ снабжен тривиальным действием ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ , дифференциал Шевалле – Эйленберга совпадает с ограничением дифференциал де Рама на ${ Displaystyle Omega ^ { bullet} (G)}$ в подпространство левоинвариантных дифференциальных форм.

Когомологии малых размерностей

Группа нулевых когомологий - это (по определению) инварианты алгебры Ли, действующей на модуле:

{ displaystyle H ^ {0} ({ mathfrak {g}}; M) = M ^ { mathfrak {g}} = {m in M ​​ mid xm = 0 { text {для всех}} х in { mathfrak {g}} }.}

Первая группа когомологий - это пространство $Der$ выводов по модулю пространства $Идер$ внутренних производных

{ displaystyle H ^ {1} ({ mathfrak {g}}; M) = mathrm {Der} ({ mathfrak {g}}, M) / mathrm {Ider} ({ mathfrak {g}} , M) ,}

,

где вывод - это отображение ${ displaystyle d}$ от алгебры Ли к ${ displaystyle M}$ такой, что

{ displaystyle d [x, y] = xdy-ydx ~}

и называется внутренним, если он задается

{ displaystyle dx = xa ~}

для некоторых ${ displaystyle a}$ в ${ displaystyle M}$ .

Вторая группа когомологий

{ Displaystyle Н ^ {2} ({ mathfrak {g}}; М)}

- пространство классов эквивалентности Расширения алгебры Ли

{ displaystyle 0 rightarrow M rightarrow { mathfrak {h}} rightarrow { mathfrak {g}} rightarrow 0}

алгебры Ли модулем ${ displaystyle M}$ .

Аналогично любой элемент группы когомологий ${ Displaystyle Н ^ {п + 1} ({ mathfrak {g}}; М)}$ дает класс эквивалентности способов расширения алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ к "лжи ${ displaystyle n}$ -алгебра »с ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ в нулевом классе и ${ displaystyle M}$ в классе ${ displaystyle n}$ .^[4] Ложь ${ displaystyle n}$ -алгебра - это гомотопическая алгебра Ли с ненулевыми членами только в степенях от 0 до ${ displaystyle n}$ .

Смотрите также

БРСТ формализм в теоретической физике.
Когомологии Гельфанда – Фукса

внешняя ссылка

"Введение в когомологии алгебры Ли". Scholarpedia.

[1] Картан, Эли (1929). "Sur les invariants intégraux de specifics espaces homogènes clos". "Анналы полонеза математики". 8: 181–225.

[2] Кошул, Жан-Луи (1950). "Homologie et cohomologie des algèbres de Lie". Bulletin de la Société Mathématique de France. 78: 65–127. Дои:10.24033 / bsmf.1410. В архиве из оригинала от 21.04.2019. Получено 2019-05-03.

[3] Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру. Издательство Кембриджского университета. п. 240.

[4] Баэз, Джон С.; Кранс, Алисса С. (2004). "Многомерная алгебра VI: 2-алгебры Ли". Теория и приложения категорий. 12: 492–528. arXiv:математика / 0307263. Bibcode:2003математика ...... 7263B. CiteSeerX 10.1.1.435.9259.

[1]

[2]

[3]

[4]