Теорема Вейльса о полной сводимости - Википедия - Weyls theorem on complete reducibility

В алгебре Теорема Вейля о полной сводимости является фундаментальным результатом теории Представления алгебры Ли (особенно в теория представлений полупростых алгебр Ли ). Позволять - полупростая алгебра Ли над полем нулевой характеристики. Теорема утверждает, что всякий конечномерный модуль над является полупростой как модуль (т.е. прямая сумма простых модулей).[1]

Обертывающая алгебра полупроста

Из теоремы Вейля следует (фактически эквивалентно), что охватывающая алгебра конечномерного представления это полупростое кольцо следующим образом.

Для конечномерного представления алгебры Ли , позволять - ассоциативная подалгебра алгебры эндоморфизмов V создано . Кольцо А называется обертывающей алгеброй . Если полупросто, то А полупростой.[2] (Доказательство: поскольку А - конечномерная алгебра, это артиново кольцо; в частности, радикал Джекобсона J нильпотентен. Если V просто, то подразумевает, что . В целом, J убивает каждый простой подмодуль V; особенно, J убивает V и так J равен нулю.) Наоборот, если А полупросто, то V полупростой А-модуль; т.е. полупростой как -модуль. (Обратите внимание, что модуль над полупростым кольцом является полупростым, поскольку модуль является фактором свободного модуля, а «полупростой» сохраняется при построении свободной и факторной конструкции.)

Приложение: сохранение разложения Жордана.

Вот типичное приложение.[3]

Предложение — Позволять - полупростая конечномерная алгебра Ли над полем нулевой характеристики.[4]

  1. Существует единственная пара элементов в такой, что , полупростой, нильпотентен и .
  2. Если конечномерное представление, то и , куда обозначают разложение Жордана полупростой и нильпотентной частей эндоморфизма .

Короче говоря, полупростая и нильпотентная части элемента определены корректно и определяются независимо от точного конечномерного представления.

Доказательство: Сначала мы докажем частный случай (i) и (ii), когда это включение; т.е. является подалгеброй . Позволять - разложение Жордана эндоморфизма , куда являются полупростыми и нильпотентными эндоморфизмами в . Сейчас же, также имеет разложение Жордана, которое можно показать (см. Разложение Жордана – Шевалле # Алгебры Ли ) для соблюдения указанного выше разложения Жордана; т.е. полупростая и нильпотентная части . С являются многочленами от тогда мы видим . Таким образом, они являются производными от . С полупросто, можно найти элементы в такой, что и аналогично для . Теперь позвольте А быть обертывающей алгеброй ; т.е. подалгебра алгебры эндоморфизмов V создано . Как указано выше, А имеет нулевой радикал Джекобсона. С , Мы видим, что является нильпотентным элементом в центре А. Но, как правило, центральный нильпотент принадлежит радикалу Джекобсона; следовательно, и, следовательно, также . Это доказывает частный случай.

В целом, полупрост (соответственно нильпотентен), когда полупроста (соответственно нильпотентна).[требуется разъяснение ] Это сразу дает (i) и (ii).

Доказательства

Аналитическое доказательство

Первоначальное доказательство Вейля (для комплексных полупростых алгебр Ли) было аналитическим по своей природе: в нем широко использовалась унитарный трюк. В частности, можно показать, что всякая комплексная полупростая алгебра Ли является комплексификацией алгебры Ли односвязной компактной группы Ли .[5] (Если, например, , тогда .) Учитывая представление из в векторном пространстве можно сначала ограничить к алгебре Ли из . Потом, поскольку просто связано,[6] есть ассоциированное представление из . Интеграция закончилась производит внутренний продукт на для которого унитарен.[7] Полная сводимость тогда непосредственные и элементарные аргументы показывают, что исходное представление из также полностью приводимо.

Алгебраическое доказательство 1

Позволять - конечномерное представление алгебры Ли над полем характеристики нуль. Теорема является простым следствием Лемма Уайтхеда, что говорит сюръективно, где линейное отображение это происхождение если . Доказательство в основном принадлежит Уайтхеду.[8]

Позволять быть субпредставлением. Рассмотрим векторное подпространство который состоит из всех линейных отображений такой, что и . Он имеет структуру -модуль предоставил: для ,

.

Теперь выберите проекцию на W и рассмотреть данный . С является выводом, по лемме Уайтхеда можно записать для некоторых . Тогда у нас есть ; то есть является -линейный. Также, как т убивает , идемпотент такой, что . Ядро тогда является дополнительным представлением к .

Также Weibel's гомологическая алгебра книга.

Алгебраическое доказательство 2

Лемма Уайтхеда обычно доказывается с помощью квадратичный элемент Казимира из универсальная обертывающая алгебра,[9] и есть также доказательство теоремы, которое использует элемент Казимира непосредственно вместо леммы Уайтхеда.

Поскольку квадратичный элемент Казимира находится в центре универсальной обертывающей алгебры, Лемма Шура говорит нам, что действует как несколько тождества в неприводимом представлении с наибольшим весом . Ключевой момент - установить, что является ненулевой всякий раз, когда представление нетривиально. Это можно сделать с помощью общих аргументов [10] или явная формула за .

Рассмотрим очень частный случай теоремы о полной сводимости: случай, когда представление содержит нетривиальное, неприводимое, инвариантное подпространство коразмерности один. Позволять обозначают действие на . С не является неприводимым, не обязательно кратно идентичности, но это самопереплетающийся оператор для . Тогда ограничение к ненулевое кратное единице. Но поскольку частное является одномерным и, следовательно, тривиальным представлением , действие о факторе тривиально. Отсюда легко следует, что должно иметь ненулевое ядро ​​- и ядро ​​является инвариантным подпространством, поскольку самопереплетающийся. Тогда ядро ​​представляет собой одномерное инвариантное подпространство, пересечение которого с равно нулю. Таким образом, является инвариантным дополнением к , так что распадается как прямая сумма неприводимых подпространств:

.

Хотя это устанавливает только очень частный случай желаемого результата, этот шаг на самом деле является решающим в общих рассуждениях.

Алгебраическое доказательство 3

Теорема может быть выведена из теории Модули Verma, которая характеризует простой модуль как частное от модуля Верма по максимальный подмодуль.[11] Этот подход имеет то преимущество, что его можно использовать для ослабления предположений о конечномерности (по алгебре и представлению).

Позволять - конечномерное представление конечномерной полупростой алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. Позволять быть Подалгебра Бореля определяется выбором подалгебры Картана и положительных корней. Позволять . потом является -модуль и, следовательно, имеет разложение по весу:

куда . Для каждого , выбирать и то -подмодуль, созданный и то -подмодуль, созданный . Мы заявляем: . Предполагать . К Теорема Ли, существует -весовой вектор в ; таким образом, мы можем найти -вес вектор такой, что для некоторых среди Генераторы Chevalley. Сейчас же, имеет вес . С частично заказан, есть такой, что ; т.е. . Но это противоречие, поскольку оба примитивных веса (известно, что примитивные веса несравнимы.[требуется разъяснение ]). Точно так же каждый просто как -модуль. Действительно, если это не просто, то для некоторых , содержит некоторый ненулевой вектор, не являющийся вектором старшего веса; снова противоречие.[требуется разъяснение ]

внешняя ссылка

Рекомендации

  1. ^ Зал 2015 Теорема 10.9.
  2. ^ Якобсон 1962, Гл. II, § 5, теорема 10.
  3. ^ Якобсон 1962, Гл. III, § 11, теорема 17.
  4. ^ От редакции: этот факт обычно констатируют для поля нулевой характеристики, но для доказательства нужно только, чтобы базовое поле было совершенным.
  5. ^ Кнапп 2002 Теорема 6.11.
  6. ^ Зал 2015 Теорема 5.10.
  7. ^ Зал 2015 Теорема 4.28.
  8. ^ Якобсон 1961, Гл. III, § 7.
  9. ^ Зал 2015 Раздел 10.3
  10. ^ Хамфрис 1973 Раздел 6.2
  11. ^ Кац 1990, Лемма 9.5.
  • Холл, Брайан К. (2015). Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение. Тексты для выпускников по математике. 222 (2-е изд.). Springer. ISBN  978-3319134666.
  • Хамфрис, Джеймс Э. (1973). Введение в алгебры Ли и теорию представлений. Тексты для выпускников по математике. 9 (Издание второе, ред. Ред.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90053-5.
  • Джейкобсон, Натан, Алгебры Ли, Переиздание оригинала 1962 года. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1979. ISBN  0-486-63832-4
  • Кац Виктор (1990). Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-46693-8.
  • Кнапп, Энтони В. (2002), Группы Ли после введения, Успехи в математике, 140 (2-е изд.), Бостон: Birkhäuser, ISBN  0-8176-4259-5
  • Вейбель, Чарльз А. (1995). Введение в гомологическую алгебру. Издательство Кембриджского университета.