Глубина (теория колец) - Depth (ring theory)

В коммутативный и гомологический алгебра, глубина важный инвариант кольца и модули. Хотя глубину можно определить в более общем смысле, наиболее частым рассматриваемым случаем является случай модулей над коммутативным Нётерян местное кольцо. В этом случае глубина модуля связана с его проективное измерение посредством Формула Ауслендера – Бухсбаума. Более элементарным свойством глубины является неравенство

${ Displaystyle mathrm {глубина} (M) leq dim (M),}$

где тусклый M обозначает Измерение Крулля модуля M. Глубина используется для определения классов колец и модулей с хорошими свойствами, например, Кольца Коэна-Маколея и модули, для которых выполняется равенство.

Определение

Позволять р коммутативное кольцо, я идеал р и M а конечный р-модуль со свойством, Я правильно содержится в M. Затем я-глубина из M, также обычно называемый оценка из M, определяется как

${ displaystyle mathrm {depth} _ {I} (M) = min {i: operatorname {Ext} ^ {i} (R / I, M) neq 0 }.}$

По определению глубина локального кольца р с максимальным идеалом ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ это его ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$-глубина как модуль над собой. Если р это Коэн-Маколей локальное кольцо, затем глубина р равен размерности р.

По теореме Дэвид Рис, глубину также можно охарактеризовать с помощью понятия регулярная последовательность.

Теорема (Рис)

Предположим, что р коммутативный нётер местное кольцо с максимальным идеальный ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ и M является конечно порожденным р-модуль. Тогда все максимальные регулярные последовательности Икс₁,..., Икс_п за M, где каждый Икс_я принадлежит ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$, иметь одинаковую длину п равно ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$-глубина M.

Глубина и проективное измерение

В проективное измерение и глубина модуля над коммутативным нётеровым локальным кольцом дополняют друг друга. Это содержание формулы Ауслендера – Буксбаума, которая имеет не только фундаментальное теоретическое значение, но также обеспечивает эффективный способ вычисления глубины модуля. Предположим, что р коммутативный нётер местное кольцо с максимальным идеальный ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ и M является конечно порожденным р-модуль. Если проективная размерность M конечно, то Формула Ауслендера – Бухсбаума состояния

${ displaystyle mathrm {pd} _ {R} (M) + mathrm {depth} (M) = mathrm {depth} (R).}$

Кольца нулевой глубины

Коммутативное нётерово локальное кольцо р имеет нулевую глубину тогда и только тогда, когда его максимальный идеал ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ является связанный премьер, или, что то же самое, при наличии ненулевого элемента Икс из р такой, что ${ Displaystyle х { mathfrak {m}} = 0}$ (то есть, Икс уничтожает ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$). По сути, это означает, что закрытая точка - это встроенный компонент.

Например, кольцо ${ Displaystyle к [х, у] / (х ^ {2}, ху)}$ (куда k поле), которое представляет собой линию (${ displaystyle x = 0}$) со встроенной двойной точкой в ​​начале координат, имеет нулевую глубину в начале координат, но размерность один: это дает пример кольца, которое не Коэн – Маколей.

Рекомендации

• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии, Тексты для выпускников по математике, 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94269-8, МИСТЕР  1322960
• Винфрид Брунс; Юрген Херцог, Кольца Коэна – Маколея. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii + 403 pp. ISBN  0-521-41068-1