Кольцо Коэна – Маколея - Википедия - Cohen–Macaulay ring

В математика, а Кольцо Коэна – Маколея это коммутативное кольцо с некоторыми из алгебро-геометрический свойства гладкий сорт, например местные равноразмерность. При мягких предположениях местное кольцо является Коэном – Маколеем в точности тогда, когда он является конечно порожденным свободным модулем над регулярным локальным подкольцом. Кольца Коэна – Маколея играют центральную роль в коммутативная алгебра: они образуют очень широкий класс, и тем не менее их хорошо понимают во многих отношениях.

Они названы в честь Фрэнсис Соуэрби Маколей  (1916 ), доказавший теорема о несмешанности для колец многочленов, и для Ирвин Коэн  (1946 ), доказавший теорему о несмешиваемости для колец формальных степенных рядов. Все кольца Коэна – Маколея обладают свойством несмешанности.

Для нётеровых локальных колец существует следующая цепочка включений.

Универсальные контактные кольцаКольца Коэна – МаколеяКольца Горенштейнаполные кольца пересечениярегулярные местные кольца

Определение

Для коммутативный Нётерян местное кольцо р, то глубина из р (максимальная длина регулярная последовательность в максимальный идеал из р) не более Измерение Крулля из р. Кольцо р называется Коэн – Маколей если его глубина равна его размеру.

В более общем смысле коммутативное кольцо называется Коэн – Маколей если это Нётер и все его локализации в главные идеалы Коэн – Маколей. В геометрическом выражении a схема называется Коэна – Маколея, если это местно нётерский и его локальное кольцо в каждой точке - Коэна – Маколея.

Примеры

Нётеровы кольца следующих типов - кольца Коэна – Маколея.

Еще несколько примеров:

  1. Кольцо K[Икс]/(Икс²) имеет размерность 0 и, следовательно, является размерностью Коэна – Маколея, но она не редуцирована и, следовательно, не является регулярной.
  2. Подкольцо K[т2, т3] кольца многочленов K[т], или его локализация, или завершение в т= 0, является 1-мерной областью, которая является горенштейновой и, следовательно, Коэна – Маколея, но не является регулярной. Это кольцо также можно описать как координатное кольцо куспидальный кубическая кривая у2 = Икс3 над K.
  3. Подкольцо K[т3, т4, т5] кольца многочленов K[т], либо его локализация или доработка на т= 0, является одномерной областью Коэна – Маколея, но не Горенштейна.

Рациональные особенности над полем нулевой характеристики - Коэна – Маколея. Торические разновидности над любым полем - Коэна – Маколея.[2] В программа минимальной модели широко используются сорта с klt (Лог-терминал Каваматы) особенности; в нулевой характеристике это рациональные особенности, а значит, Коэна – Маколея,[3] Одним из успешных аналогов рациональных особенностей в положительной характеристике является понятие F-рациональные особенности; опять же, такие особенности - Коэна – Маколея.[4]

Позволять Икс быть проективное разнообразие измерения п ≥ 1 над полем, и пусть L быть обильная линейка на Икс. Тогда секционное кольцо L

Коэна – Маколея тогда и только тогда, когда когомология группа ЧАСя(Икс, Lj) равен нулю для всех 1 ≤ яп−1 и все целые числа j.[5] Отсюда следует, например, что аффинный конус Spec р над абелева разновидность Икс Коэн – Маколей, когда Икс имеет размерность 1, но не когда Икс имеет размерность не менее 2 (потому что ЧАС1(Икс, О) не равно нулю). Смотрите также Обобщенное кольцо Коэна – Маколея.

Схемы Коэна-Маколея

Мы говорим, что местный нётер схема является Коэном – Маколеем, если в каждой точке местное кольцо Коэн-Маколей.

Кривые Коэна-Маколея

Кривые Коэна-Маколея являются частным случаем схем Коэна-Маколея, но полезны для компактификации пространств модулей кривых[6] где граница гладкого геометрического пятна является кривых Коэна-Маколея. Есть полезный критерий для определения того, являются ли кривые Коэна-Маколея. Схемы измерения являются Коэна-Маколея тогда и только тогда, когда они не имеют вложенных простых чисел.[7] Сингулярности, присутствующие в кривых Коэна-Маколея, можно полностью классифицировать, рассматривая случай плоской кривой.[8]

Не примеры

Используя этот критерий, есть простые примеры кривых, отличных от Коэна-Маколея, из построения кривых с вложенными точками. Например, схема

имеет разложение на простые идеалы . Геометрически это -ось со встроенной точкой в ​​начале координат, которую можно рассматривать как жирная точка. Дана гладкая проективная плоская кривая , кривую с вложенной точкой можно построить тем же способом: найти идеальную точки в и умножить на идеал из . потом

кривая с вложенной точкой в .

Теория пересечения

Схемы Коэна-Маколея имеют особое отношение к теория пересечений. Именно пусть Икс быть гладким разнообразием[9] и V, W замкнутые подсхемы чистой размерности. Позволять Z быть правильный компонент теоретико-схемного пересечения , то есть неприводимая компонента ожидаемой размерности. Если местное кольцо А из на общая точка из Z Коэн-Маколей, то кратность пересечения из V и W вдоль Z дается как длина А:[10]

.

В общем, эта кратность дается как длина, по существу, характеризует кольцо Коэна – Маколея; видеть #Характеристики. Кратность - один критерий, с другой стороны, грубо характеризует регулярное локальное кольцо как локальное кольцо кратности один.

Пример

В качестве простого примера, если мы возьмем пересечение парабола с касательной к нему прямой, локальное кольцо в точке пересечения изоморфно

что является Коэном – Маколеем длины два, следовательно, кратность пересечения равна двум, как и ожидалось.

Чудо-плоскостность или критерий Хиронаки

Существует замечательная характеристика колец Коэна – Маколея, которую иногда называют чудо-плоскостность или же Критерий Хиронаки. Позволять р быть локальным кольцом, которое конечно порожденный как модуль над некоторым регулярным локальным кольцом А содержалась в р. Такое подкольцо существует для любой локализации р в главный идеал из конечно порожденная алгебра над полем, Лемма Нётер о нормализации; он также существует, когда р заполнено и содержит поле, или когда р это полный домен.[11] потом р Коэна-Маколея тогда и только тогда, когда это плоский как А-модуль; это также эквивалентно сказать, что р является свободный как А-модуль.[12]

Геометрическая формулировка выглядит следующим образом. Позволять Икс быть связаны аффинная схема из конечный тип над полем K (например, аффинное разнообразие ). Позволять п быть размером Икс. По нормировке Нётер существует конечный морфизм ж из Икс аффинное пространство Ап над K. потом Икс является Коэном – Маколеем тогда и только тогда, когда все слои ж иметь такую ​​же степень.[13] Поразительно, что это свойство не зависит от выбора ж.

Наконец, есть версия Miracle Flatness для градуированных колец. Позволять р быть конечно порожденным коммутативным градуированная алгебра над полем K,

Всегда существует градуированное полиномиальное подкольцо Ар (с генераторами в разной степени) такие, что р конечно порожден как А-модуль. потом р является Коэном – Маколеем тогда и только тогда, когда р бесплатно как оцененный А-модуль. Опять же, отсюда следует, что эта свобода не зависит от выбора полиномиального подкольца А.

Характеристики

  • Локальное нётерское кольцо называется Коэном-Маколеем тогда и только тогда, когда его пополнение - Коэн-Маколей.[14]
  • Если р кольцо Коэна – Маколея, то кольцо многочленов р[Икс] и кольцо степенного ряда р[[Икс]] - это Коэн – Маколей.[15][16]
  • Для неделитель нуля ты в максимальном идеале нётерова локального кольца р, р является Коэном – Маколеем тогда и только тогда, когда р/(ты) - это Коэн – Маколей.[17]
  • Фактор кольца Коэна – Маколея по любому идеальный является универсальная цепочка.[18]
  • Если р является фактором кольца Коэна – Маколея, то геометрическое место { п ∈ Spec р | рп is Cohen – Macaulay} - открытое подмножество Spec р.[19]
  • Позволять (р, м, k) - нётерово локальное кольцо коразмерности вложения c, означающий, что c = тусклыйk(м/м2) - тусклый (р). С геометрической точки зрения это верно для локального кольца подсхемы коразмерности c по штатной схеме. За c=1, р Коэна – Маколея тогда и только тогда, когда это кольцо гиперповерхности. Существует также структурная теорема для колец Коэна – Маколея коразмерности 2: Теорема Гильберта – Берча: все они детерминантные кольца, определяемые р × р несовершеннолетние (р+1) × р матрица для некоторых р.
  • Для нётерского местного кольца (р, м) следующие эквивалентны:[20]
    1. р Коэн-Маколей.
    2. Для каждого идеальный параметр Q (идеал, порожденный система параметров ),
      : = Кратность Гильберта – Самуэля из Q.
    3. По какому-то параметру идеальный Q, .
(Видеть Обобщенное кольцо Коэна – Маколея а также Кольцо Buchsbaum для колец, обобщающих эту характеристику.)

Теорема о несмешанности

Идеальный я нётерского кольца А называется несмешанный в высоту, если высота я равна высоте каждого связанный премьер п из А/я. (Это сильнее, чем сказать, что А/я является равноразмерный; Смотри ниже.)

В теорема о несмешанности Говорят, держится за кольцо А если каждый идеал я генерируется количеством элементов, равным его высоте, не смешивается. Нётерово кольцо называется Коэном – Маколеем тогда и только тогда, когда для него выполняется теорема о несмешанности.[21]

Теорема о несмешивании применяется, в частности, к нулевому идеалу (идеалу, порожденному нулевыми элементами), и, таким образом, она утверждает, что кольцо Коэна – Маколея является равноразмерное кольцо; фактически, в строгом смысле: нет встроенного компонента, и каждый компонент имеет одинаковую коразмерность.

Смотрите также: квази-несмешанное кольцо (кольцо, в котором теорема о несмешивании верна для интегральное замыкание идеала ).

Контрпримеры

  1. Если K поле, то кольцо р = K[Икс,у]/(Икс2,ху) (координатное кольцо прямой с вложенной точкой) не является Коэном – Маколеем. Это следует, например, Чудо-плоскостность: р конечно над кольцом многочленов А = K[у] со степенью 1 по точкам аффинной прямой Spec А с у ≠ 0, но со степенью 2 над точкой у = 0 (поскольку K-векторное пространство K[Икс]/(Икс2) имеет размерность 2).
  2. Если K поле, то кольцо K[Икс,у,z]/(ху,xz) (координатное кольцо объединения прямой и плоскости) редуцировано, но не равноразмерно, и, следовательно, не Коэна – Маколея. Факторизация по неделителю нуля Иксz дает предыдущий пример.
  3. Если K поле, то кольцо р = K[ш,Икс,у,z]/(wy,wz,ху,xz) (координатное кольцо объединения двух пересекающихся в точку плоскостей) редуцировано и равноразмерно, но не Коэна – Маколея. Чтобы доказать это, можно использовать Hartshorne с теорема связности: если р является локальным кольцом Коэна – Маколея размерности не меньше 2, то Spec р минус подключен его закрытая точка.[22]

В Segre продукт из двух Кольца Коэна-Маколея не обязательно быть Коэном-Маколеем.[нужна цитата ]

Двойственность Гротендика

Одно значение условия Коэна – Маколея можно увидеть в когерентная двойственность теория. Разновидность или схема Икс есть Коэн – Маколея, если «дуализирующий комплекс», который априори лежит в производная категория из снопы на Икс, представлена ​​одним пучком. Более сильное свойство бытия Горенштейн означает, что этот пучок является линейный пакет. В частности, каждый обычный Схема Горенштейна. Таким образом, утверждения теорем двойственности, такие как Двойственность Серра или же Локальная двойственность Гротендика для схем Горенштейна или Коэна – Маколея сохраняют некоторую простоту того, что происходит для регулярных схем или гладких многообразий.

Примечания

  1. ^ Эйзенбуд (1995), теорема 18.18.
  2. ^ Фултон (1993), стр. 89.
  3. ^ Коллар и Мори (1998), теоремы 5.20 и 5.22.
  4. ^ Schwede & Tucker (2012), Приложение C.1.
  5. ^ Коллар (2013), (3.4).
  6. ^ Хонсен, Мортен. "Компактификация локально проективных кривых Коэна-Маколея" (PDF). В архиве (PDF) из оригинала на 5 марта 2020 г.
  7. ^ «Лемма 31.4.4 (0BXG) - проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Получено 2020-03-05.
  8. ^ Виганд, Роджер (декабрь 1991). «Кривые особенности конечного типа Коэна-Маколея». Arkiv för Matematik. 29 (1–2): 339–357. Дои:10.1007 / BF02384346. ISSN  0004-2080.
  9. ^ гладкость здесь как-то посторонняя и используется отчасти для понимания правильного компонента.
  10. ^ Фултон 1998, Предложение 8.2. (б)
  11. ^ Брунс и Герцог, теорема A.22.
  12. ^ Эйзенбуд (1995), следствие 18.17.
  13. ^ Эйзенбуд (1995), упражнение 18.17.
  14. ^ Мацумура (1989), теорема 17.5.
  15. ^ Мацумура (1989), теорема 17.7.
  16. ^ Мацумура (1989), теорема 23.5 .; NB: хотя ссылка на то, считается ли кольцо локальным или нет, нечеткая, для доказательства не требуется, чтобы кольцо было локальным.
  17. ^ Мацумура (1989), теорема 17.3. (Ii).
  18. ^ Мацумура (1989), теорема 17.9.
  19. ^ Мацумура (1989), упражнение 24.2.
  20. ^ Мацумура (1989), теорема 17.11.
  21. ^ Мацумура (1989), теорема 17.6.
  22. ^ Эйзенбуд (1995), теорема 18.12.

Рекомендации

внешняя ссылка