Детерминантное разнообразие - Determinantal variety

В алгебраическая геометрия, детерминантные разновидности - пространства матриц с заданной верхней оценкой их разряды. Их значение проистекает из того факта, что многие примеры в алгебраической геометрии имеют такую ​​форму, например, Сегре встраивание продукта двух проективные пространства.

Определение

Данный м и п и р <мин (м, п), детерминантное разнообразие Y _р это набор всех м × п матрицы (над полемk) с рангом ≤р. Это естественно алгебраическое многообразие как условие ранга матрицы ≤р дается обращением в нуль всех его (р + 1) × (р + 1) несовершеннолетние. Учитывая общий м × п матрица, элементы которой алгебраически независимый переменные Икс _я,j, эти миноры являются полиномами степени р + 1. Идеал k[Икс _я,j], порожденный этими многочленами, является детерминантный идеал. Поскольку уравнения, определяющие миноры, однородны, можно рассматривать Y _р либо как аффинное разнообразие в млн-размерный аффинное пространство, или как проективное разнообразие в (млн - 1) -мерный проективное пространство.

Характеристики

В радикальный идеал определяющее детерминантное многообразие, порождается (р + 1) × (р + 1) миноры матрицы (Брунс-Феттер, теорема 2.10).

Предполагая, что мы рассматриваем Y _р как аффинное разнообразие, его размерность р(м + п − р). Один из способов увидеть это: сформируйте пространство продукта ${displaystyle mathbf {A} ^ {mn} imes mathbf {Gr} (r, m)}$ над ${displaystyle mathbf {A} ^ {mn}}$ куда ${displaystyle mathbf {Gr} (r, m)}$ это Грассманиан из р-самолеты в м-мерное векторное пространство, и рассмотрим подпространство ${displaystyle Z_ {r} = {(A, W) mid A (k ^ {n}) подэтап W}}$, который является десингуляризация из ${displaystyle Y_ {r}}$ (по открытому множеству матриц ранга ровно р, это отображение является изоморфизмом) и ${displaystyle Z_ {r}}$ это векторный набор над ${displaystyle mathbf {Gr} (r, m)}$ который изоморфен ${displaystyle mathrm {Hom} (k ^ {n}, {mathcal {R}})}$ куда ${displaystyle {mathcal {R}}}$ - тавтологическое расслоение над грассманианом. Так ${displaystyle dim Y_ {r} = dim Z_ {r}}$ поскольку они бирационально эквивалентный, и ${displaystyle dim Z_ {r} = dim mathbf {Gr} (r, m) + nr = r (m-r) + nr}$ так как волокна ${displaystyle mathrm {Hom} (k ^ {n}, {mathcal {R}})}$ имеет размер номер.

Из сказанного выше видно, что матрицы ранга <р содержит сингулярный локус из ${displaystyle Y_ {r}}$, и фактически равенство. Этот факт можно проверить, используя то, что радикальный идеал задается минорами вместе с Критерий якобиана на невырожденность.

Разнообразие Y _р естественно имеет действие ${displaystyle G = mathbf {GL} (m) imes mathbf {GL} (n)}$, продукт общие линейные группы. Проблема определения сизигии из ${displaystyle Y_ {r}}$, когда характеристика из поле равен нулю, было решено Ален Ласку, используя естественное действиеграмм.

похожие темы

Можно «глобализировать» понятие детерминантных многообразий, рассматривая пространство линейных отображений между двумя векторными расслоениями на алгебраическом многообразии. Тогда детерминантные многообразия попадают в общее изучение локусы вырождения. Выражение для класса когомологий этих локусов вырождения дается формулой Формула Тома-Портеуса, см. (Fulton-Pragacz).

Рекомендации

• Брунс, Винфрид; Веттер, Удо (1988). Детерминантные кольца. Конспект лекций по математике. 1327. Springer-Verlag. Дои:10.1007 / BFb0080378. ISBN  978-3-540-39274-3.
• Фултон, Уильям; Прагач, Петр (1998). Многообразия Шуберта и локусы вырождения. Конспект лекций по математике. 1689. Springer-Verlag. Дои:10.1007 / BFb0096380. ISBN  978-3-540-69804-3.
• Ласку, Ален (1978). "Syzygies des varétés determinantales". Успехи в математике. 30 (3): 202–237. Дои:10.1016/0001-8708(78)90037-3.
• Миллер, Эзра; Штурмфельс, Бернд (2005). Комбинаторная коммутативная алгебра. Тексты для выпускников по математике. 227. Springer. ISBN  978-0-387-23707-7.
• Вейман, Ежи (2003). Когомологии векторных расслоений и сизигий. Кембриджские трактаты по математике. 149. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-62197-7.