Ранг (линейная алгебра) - Википедия - Rank (linear algebra)

В линейная алгебра, то классифицировать из матрица ${ displaystyle A}$ это измерение из векторное пространство сгенерировано (или охватывал ) по столбцам.^[1] Это соответствует максимальному количеству линейно независимый столбцы ${ displaystyle A}$. Это, в свою очередь, идентично размерности векторного пространства, охватываемого его строками.^[2] Таким образом, рейтинг является мерой "невырожденность " из система линейных уравнений и линейное преобразование закодировано ${ displaystyle A}$. Существует несколько эквивалентных определений ранга. Ранг матрицы - одна из ее самых фундаментальных характеристик.

Ранг обычно обозначается как ${ displaystyle operatorname {rank} (A)}$ или же ${ displaystyle operatorname {rk} (A)}$; иногда круглые скобки не пишутся, как в ${ displaystyle operatorname {rank} A}$.

Основные определения

В этом разделе мы дадим некоторые определения ранга матрицы. Возможны многие определения; видеть Альтернативные определения для некоторых из них.

В ранг столбца из ${ displaystyle A}$ это измерение из пространство столбца из ${ displaystyle A}$, в то время как ранг строки из ${ displaystyle A}$ это размер пространство строки из ${ displaystyle A}$.

Фундаментальный результат линейной алгебры состоит в том, что ранг столбца и ранг строки всегда равны. (Два доказательства этого результата приведены в § Доказательства того, что ранг столбца = ранг строки ниже.) Это число (то есть количество линейно независимых строк или столбцов) просто называется классифицировать из ${ displaystyle A}$.

Говорят, что матрица имеет полный ранг если ее ранг равен максимально возможному для матрицы тех же размеров, что меньше количества строк и столбцов. Матрица называется неполноценный если он не имеет полного звания. В дефицит ранга матрицы - это разница между меньшим числом строк и столбцов и рангом.

Ранг также является измерением изображение из линейное преобразование что дается умножением на А. В более общем плане, если линейный оператор на векторное пространство (возможно, бесконечномерный) имеет конечномерное изображение (например, оператор конечного ранга ), то ранг оператора определяется как размерность изображения.

Примеры

Матрица

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 - 2 & -3 & 1 3 & 3 & 0 end {bmatrix}}}$

имеет ранг 2: первые два столбца линейно независимый, поэтому ранг равен как минимум 2, но поскольку третий является линейной комбинацией первых двух (второй вычитается из первого), три столбца линейно зависимы, поэтому ранг должен быть меньше 3.

Матрица

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 - 1 & -1 & 0 & -2 end {bmatrix}}}$

имеет ранг 1: есть ненулевые столбцы, поэтому ранг положительный, но любая пара столбцов линейно зависима. Точно так же транспонировать

${ displaystyle A ^ { mathrm {T}} = { begin {bmatrix} 1 & -1 1 & -1 0 & 0 2 & -2 end {bmatrix}}}$

из ${ displaystyle A}$ имеет ранг 1. Действительно, поскольку вектор-столбцы ${ displaystyle A}$ являются векторами-строками транспонировать из ${ displaystyle A}$утверждение, что ранг столбца матрицы равен рангу строки, эквивалентно утверждению, что ранг матрицы равен рангу ее транспонирования, т. е. ${ displaystyle operatorname {rank} (A) = operatorname {rank} left (A ^ { mathrm {T}} right)}$.

Вычисление ранга матрицы

Ранг из форм эшелона строк

Распространенный подход к определению ранга матрицы - приведение ее к более простой форме, обычно форма эшелона строки, к элементарные операции со строками. Операции со строками не изменяют пространство строк (следовательно, не меняют ранг строки) и, будучи обратимыми, отображают пространство столбцов в изоморфное пространство (следовательно, не меняют ранг столбца). Оказавшись в форме эшелона строк, ранг явно одинаков как для ранга строки, так и для ранга столбца и равен количеству повороты (или основные столбцы), а также количество ненулевых строк.

Например, матрица ${ displaystyle A}$ данный

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} 1 & 2 & 1 - 2 & -3 & 1 3 & 5 & 0 end {bmatrix}}}$

может быть приведен в сокращенную форму строки-эшелона с помощью следующих элементарных операций со строками:

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 2 & 1 - 2 & -3 & 1 3 & 5 & 0 end {bmatrix}} R_ {2} rightarrow 2r_ {1} + r_ {2} { begin {bmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 1 & 3 3 & 5 & 0 end {bmatrix}} R_ {3} rightarrow -3r_ {1} + r_ {3} { begin {bmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 1 & 3 0 & -1 & -3 end {bmatrix}} R_ { 3} rightarrow r_ {2} + r_ {3} { begin {bmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 end {bmatrix}} R_ {1} rightarrow -2r_ {2} + r_ {1} { begin {bmatrix} 1 & 0 & -5 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 end {bmatrix}}}$.

Конечная матрица (в форме эшелона строк) имеет две ненулевые строки и, следовательно, ранг матрицы ${ displaystyle A}$ равно 2.

Вычисление

Применительно к плавающая точка вычисления на компьютерах, простое исключение Гаусса (LU разложение ) может быть ненадежным, и вместо него следует использовать разложение с выявлением ранга. Эффективной альтернативой является разложение по сингулярным числам (СВД), но есть и другие менее дорогие варианты, например QR-разложение с поворотом (т. н. показывающая ранг QR-факторизация ), которые все же численно более устойчивы, чем метод исключения Гаусса. Для численного определения ранга требуется критерий для принятия решения, когда значение, такое как сингулярное значение из SVD, следует рассматривать как нулевое, практический выбор, который зависит как от матрицы, так и от приложения.

Доказательства того, что ранг столбца = ранг строки

Тот факт, что ранги столбцов и строк любой матрицы равны, является фундаментальным в линейной алгебре. Приведено много доказательств. Один из самых элементарных был набросан в § Ранг из форм эшелона строк. Вот вариант этого доказательства:

Несложно показать, что ни ранг строки, ни ранг столбца не меняются операция элементарной строки. В качестве Гауссово исключение выполняется элементарными строковыми операциями, сокращенная форма эшелона строки матрицы имеет тот же ранг строки и тот же ранг столбца, что и исходная матрица. Дальнейшие элементарные операции с столбцами позволяют представить матрицу в виде единичная матрица возможно окаймленные строками и столбцами нулей. Опять же, это не меняет ни ранга строки, ни ранга столбца. Сразу видно, что ранги строки и столбца этой результирующей матрицы являются количеством ее ненулевых элементов.

Приведем еще два доказательства этого результата. Первый использует только основные свойства линейные комбинации векторов и справедливо над любыми поле. Доказательство основано на Wardlaw (2005).^[3] Второе использование ортогональность и справедливо для матриц над действительные числа; он основан на Mackiw (1995).^[2] Оба доказательства можно найти в книге Банерджи и Роя (2014).^[4]

Доказательство с использованием линейных комбинаций

Позволять А быть м × п матрица. Пусть ранг столбца А быть р, и разреши c₁, ..., c_р быть любой основой для пространства столбцов А. Поместите их как столбцы м × г матрица C. Каждый столбец А можно выразить как линейную комбинацию р столбцы в C. Это означает, что есть р × п матрица р такой, что A = CR. р матрица, я -й столбец формируется из коэффициентов, дающих я -й столбец А как линейная комбинация р столбцы C. Другими словами, р матрица, которая содержит кратные для оснований столбца пространства А (который C), которые затем используются для формирования А в целом. Теперь каждая строка А дается линейной комбинацией р ряды р. Следовательно, строки р образуют охватывающий набор пространства строк А и, по Лемма об обмене Стейница, ранг строки А не может превышать р. Это доказывает, что ранг строки А меньше или равен рангу столбца А. Этот результат можно применить к любой матрице, поэтому примените результат к транспонированию А. Поскольку ранг строки транспонированной А это ранг столбца А и ранг столбца транспонированной А это ранг строки А, тем самым устанавливается обратное неравенство, и мы получаем равенство ранга строки и ранга столбца А. (Также см Факторизация рангов.)

Доказательство с использованием ортогональности

Позволять А быть м × п матрица с записями в действительные числа чей ранг строки р. Следовательно, размерность пространства строк А является р. Позволять ${ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {r}}$ быть основа пространства строки А. Мы утверждаем, что векторы ${ displaystyle Ax_ {1}, Ax_ {2}, ldots, Ax_ {r}}$ находятся линейно независимый. Чтобы понять, почему, рассмотрим линейное однородное отношение, включающее эти векторы со скалярными коэффициентами ${ Displaystyle c_ {1}, c_ {2}, ldots, c_ {r}}$:

${ displaystyle 0 = c_ {1} Ax_ {1} + c_ {2} Ax_ {2} + cdots + c_ {r} Ax_ {r} = A (c_ {1} x_ {1} + c_ {2} x_ {2} + cdots + c_ {r} x_ {r}) = Av,}$

куда ${ Displaystyle v = c_ {1} x_ {1} + c_ {2} x_ {2} + cdots + c_ {r} x_ {r}}$. Сделаем два наблюдения: (а) v является линейной комбинацией векторов в пространстве строк А, откуда следует, что v принадлежит пространству строки А, и (б) поскольку А v = 0 вектор v является ортогональный каждому вектору-строке А и, следовательно, ортогонален каждому вектору в пространстве строк А. Факты (а) и (б) вместе означают, что v ортогонален сам себе, что доказывает, что v = 0 или по определению v,

${ displaystyle c_ {1} x_ {1} + c_ {2} x_ {2} + cdots + c_ {r} x_ {r} = 0.}$

Но помните, что ${ displaystyle x_ {i}}$ были выбраны за основу междурядья А и поэтому линейно независимы. Отсюда следует, что ${ Displaystyle c_ {1} = c_ {2} = cdots = c_ {r} = 0}$. Следует, что ${ displaystyle Ax_ {1}, Ax_ {2}, ldots, Ax_ {r}}$ линейно независимы.

Теперь каждый ${ displaystyle Ax_ {i}}$ очевидно является вектором в пространстве столбцов А. Так, ${ displaystyle Ax_ {1}, Ax_ {2}, ldots, Ax_ {r}}$ это набор р линейно независимые векторы в пространстве столбцов А и, следовательно, размерность пространства столбцов А (т.е. ранг столбца А) должен быть не меньше, чем р. Это доказывает, что ранг строки А не превышает ранг столбца А. Теперь применим этот результат к транспонированию А чтобы получить обратное неравенство и сделать вывод, как в предыдущем доказательстве.

Альтернативные определения

Во всех определениях этого раздела матрица А считается м × п матрица над произвольной поле F.

Размер изображения

Учитывая матрицу ${ displaystyle A}$, есть связанный линейное отображение

${ displaystyle f: F ^ {n} mapsto F ^ {m}}$

определяется

${ displaystyle f (x) = Ax}$.

Ранг ${ displaystyle A}$ размер изображения ${ displaystyle f}$. Это определение имеет то преимущество, что его можно применить к любой линейной карте без необходимости в конкретной матрице.

Рейтинг с точки зрения недействительности

Учитывая то же линейное отображение ж как и выше, ранг п минус размер ядро из ж. В теорема ранга-недействительности заявляет, что это определение эквивалентно предыдущему.

Ранг столбца - размер пространства столбца

Ранг А - максимальное количество линейно независимых столбцов ${ displaystyle c_ {1}, c_ {2}, dots, c_ {k}}$ из А; это измерение из пространство столбца из А (пространство столбца является подпространством F^м генерируется столбцами А, который на самом деле является изображением линейной карты ж связано с А).

Row rank - размер пространства строки

Ранг А - максимальное количество линейно независимых строк А; это размер пространство строки из А.

Ранг разложения

Ранг А это наименьшее целое число k такой, что А можно разложить на множители как ${ displaystyle A = CR}$, куда C является м × k матрица и р это k × п матрица. Фактически для всех целых чисел k, следующие эквиваленты:

1. ранг столбца А меньше или равно k,
2. существуют k столбцы ${ displaystyle c_ {1}, ldots, c_ {k}}$ размера м так что каждый столбец А является линейной комбинацией ${ displaystyle c_ {1}, ldots, c_ {k}}$,
3. существует ${ displaystyle m times k}$ матрица C и ${ Displaystyle к раз п}$ матрица р такой, что ${ displaystyle A = CR}$ (когда k это звание, это факторизация рангов из А),
4. существуют k ряды ${ displaystyle r_ {1}, ldots, r_ {k}}$ размера п так что каждая строка А является линейной комбинацией ${ displaystyle r_ {1}, ldots, r_ {k}}$,
5. ранг строки А меньше или равно k.

Действительно, очевидны следующие эквивалентности: ${ Displaystyle (1) Leftrightarrow (2) Leftrightarrow (3) Leftrightarrow (4) Leftrightarrow (5)}$Например, чтобы доказать (3) из (2), возьмем C быть матрицей, столбцы которой ${ displaystyle c_ {1}, ldots, c_ {k}}$ из (2). Для доказательства (2) из ​​(3) возьмем ${ displaystyle c_ {1}, ldots, c_ {k}}$ быть колоннами C.

Из эквивалентности следует ${ Displaystyle (1) Leftrightarrow (5)}$ что ранг строки равен рангу столбца.

Как и в случае характеристики "размерности изображения", это можно обобщить до определения ранга любой линейной карты: ранга линейной карты ж : V → W минимальная размерность k промежуточного пространства Икс такой, что ж можно записать как состав карты V → Икс и карта Икс → W. К сожалению, это определение не предлагает эффективного способа вычисления ранга (для которого лучше использовать одно из альтернативных определений). Видеть факторизация рангов для подробностей.

Рейтинг по сингулярным значениям

Ранг А равно количеству ненулевых сингулярные значения, что равно количеству ненулевых диагональных элементов в Σ в разложение по сингулярным числам ${ Displaystyle A = U Sigma V ^ {*}}$.

Детерминантный ранг - размер наибольшего не исчезающего второстепенного

Ранг А является наибольшим порядком любого ненулевого незначительный в А. (Порядок второстепенного - это длина стороны квадратной подматрицы, определителем которой она является.) Как и характеристика ранга разложения, это не дает эффективного способа вычисления ранга, но теоретически полезно: одиночный ненулевой минор свидетельствует о нижней границе (а именно ее порядке) ранга матрицы, что может быть полезно (например) для доказательства того, что определенные операции не понижают ранг матрицы.

Не исчезающий п-незначительный (п × п подматрица с ненулевым определителем) показывает, что строки и столбцы этой подматрицы линейно независимы, и, таким образом, эти строки и столбцы полной матрицы линейно независимы (в полной матрице), поэтому ранг строки и столбца по крайней мере равен большой как детерминантный ранг; однако обратное менее однозначно. Эквивалентность детерминантного ранга и ранга столбца является усилением утверждения, что если промежуток п векторы имеют размерность п, тогда п этих векторов покрывают пространство (эквивалентно, что можно выбрать остовное множество, которое является подмножество векторов): эквивалентность означает, что подмножество строк и подмножество столбцов одновременно определяют обратимую подматрицу (эквивалентно, если промежуток п векторы имеют размерность п, тогда п этих векторов охватывают пространство и есть набор п координаты, на которых они линейно независимы).

Тензорный ранг - минимальное количество простых тензоров

Ранг А это наименьшее число k такой, что А можно записать как сумму k матрицы ранга 1, где матрица определяется как имеющая ранг 1 тогда и только тогда, когда она может быть записана как ненулевое произведение ${ displaystyle c cdot r}$ вектора-столбца c и вектор-строка р. Это понятие ранга называется тензорный ранг; его можно обобщить в разделяемые модели интерпретация разложение по сингулярным числам.

Характеристики

Мы предполагаем, что А является м × п матрицу, и мы определяем линейную карту ж к ж(Икс) = АИкс как указано выше.

• Ранг м × п матрица - это неотрицательный целое число и не может быть больше, чем м или же п. То есть,

${ displaystyle operatorname {rank} (A) leq min (m, n).}$

Матрица, имеющая ранг мин (м, п) говорят, что имеет полный ранг; в противном случае матрица не имеющий ранга.

• Только нулевая матрица имеет нулевой ранг.
• ж является инъективный (или «один к одному») тогда и только тогда, когда А имеет звание п (в этом случае мы говорим, что А имеет полный ранг столбца).
• ж является сюръективный (или "на") тогда и только тогда, когда А имеет звание м (в этом случае мы говорим, что А имеет полный ранг).
• Если А квадратная матрица (т. е. м = п), тогда А является обратимый если и только если А имеет звание п (то есть, А имеет полное звание).
• Если B есть ли п × k матрица, тогда

${ displaystyle operatorname {rank} (AB) leq min ( operatorname {rank} (A), operatorname {rank} (B)).}$

• Если B является п × k матрица ранга п, тогда

${ displaystyle operatorname {rank} (AB) = operatorname {rank} (A).}$

• Если C является л × м матрица ранга м, тогда

${ displaystyle operatorname {rank} (CA) = operatorname {rank} (A).}$

• Ранг А равно р тогда и только тогда, когда существует обратимый м × м матрица Икс и обратимый п × п матрица Y такой, что

${ displaystyle XAY = { begin {bmatrix} I_ {r} & 0 0 & 0 end {bmatrix}},}$

куда я_р обозначает р × р единичная матрица.

• Сильвестр Неравенство рангов: если А является м × п матрица и B является п × k, тогда

${ displaystyle operatorname {rank} (A) + operatorname {rank} (B) -n leq operatorname {rank} (AB).}$^[я]

Это частный случай следующего неравенства.

• Неравенство из-за Фробениус: если AB, ABC и до н.э определены, то

${ displaystyle operatorname {rank} (AB) + Operatorname {rank} (BC) leq operatorname {rank} (B) + operatorname {rank} (ABC).}$^[ii]

• Субаддитивность:

${ Displaystyle OperatorName {ранг} (A + B) Leq Operatorname {ранг} (A) + Operatorname {ранг} (B)}$

когда А и B имеют одинаковое измерение. Как следствие, звание-k матрицу можно записать как сумму k матрицы ранга 1, но не меньше.

• Ранг матрицы плюс ничтожность матрицы равно количеству столбцов матрицы. (Это теорема ранга-недействительности.)
• Если А матрица над действительные числа тогда звание А и ранг соответствующего Матрица Грама равны. Таким образом, для вещественных матриц

${ displaystyle operatorname {rank} (A ^ { mathrm {T}} A) = operatorname {rank} (AA ^ { mathrm {T}}) = operatorname {rank} (A) = operatorname { rank} (A ^ { mathrm {T}}).}$

Это можно показать, доказав равенство их пустые пробелы. Нулевое пространство матрицы Грама задается векторами Икс для которого ${ displaystyle A ^ { mathrm {T}} Ax = 0.}$ Если это условие выполняется, то также имеем ${ displaystyle 0 = x ^ { mathrm {T}} A ^ { mathrm {T}} Ax = left | Ax right | ^ {2}.}$^[5]

• Если А матрица над сложные числа и ${ displaystyle { overline {A}}}$ обозначает комплексное сопряжение А и А^∗ сопряженное транспонирование А (т.е. прилегающий из А), тогда

${ displaystyle operatorname {rank} (A) = operatorname {rank} ({ overline {A}}) = operatorname {rank} (A ^ { mathrm {T}}) = operatorname {rank} ( A ^ {*}) = operatorname {rank} (A ^ {*} A) = operatorname {rank} (AA ^ {*}).}$

Приложения

Одним из полезных приложений вычисления ранга матрицы является вычисление количества решений система линейных уравнений. Согласно Теорема Руше – Капелли, система несовместна, если ранг расширенная матрица выше ранга матрица коэффициентов. Если, с другой стороны, ранги этих двух матриц равны, то система должна иметь хотя бы одно решение. Решение уникально тогда и только тогда, когда ранг равен количеству переменных. В противном случае общее решение будет иметь k свободные параметры где k разница между количеством переменных и рангом. В этом случае (и если предположить, что система уравнений состоит из действительных или комплексных чисел) система уравнений имеет бесконечно много решений.

В теория управления, ранг матрицы может использоваться, чтобы определить, линейная система является управляемый, или же наблюдаемый.

В области сложность коммуникации, ранг матрицы связи функции дает границы объема взаимодействия, необходимого двум сторонам для вычисления функции.

Обобщение

Существуют различные обобщения понятия ранга на матрицы над произвольными кольца, где ранг столбца, ранг строки, размерность пространства столбца и размерность пространства строки матрицы могут отличаться от других или могут не существовать.

Думая о матрицах как о тензоры, то тензорный ранг обобщается на произвольные тензоры; для тензоров порядка больше 2 (матрицы - это тензоры порядка 2), ранг очень трудно вычислить, в отличие от матриц.

Есть понятие классифицировать за гладкие карты между гладкие многообразия. Он равен линейному рангу производная.

Матрицы как тензоры

Ранг матрицы не следует путать с тензорный порядок, который называется тензорным рангом. Тензорный порядок - это количество индексов, необходимых для записи тензор, и, таким образом, все матрицы имеют тензорный порядок 2. Точнее, матрицы являются тензорами типа (1,1), имеющими один индекс строки и один индекс столбца, также называемые ковариантным порядком 1 и контравариантным порядком 1; видеть Тензор (внутреннее определение) для подробностей.

Тензорный ранг матрицы также может означать минимальное количество простые тензоры необходимо выразить матрицу как линейную комбинацию, и что это определение действительно согласуется с рангом матрицы, как здесь обсуждается.

Смотрите также

• Матроид ранг
• Неотрицательный ранг (линейная алгебра)
• Ранг (дифференциальная топология)
• Мультиколлинеарность
• Линейная зависимость

Примечания

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Роджер А. Хорн и Чарльз Р. Джонсон (1985). Матричный анализ. ISBN  978-0-521-38632-6.
• Кау, Аутар К. Две главы из книги Введение в матричную алгебру: 1. Векторы [1] и система уравнений [2]
• Майк Брукс: Справочное руководство по матрице. [3]