Скалярное умножение - Scalar multiplication

Скалярное умножение вектора на коэффициент 3 растягивает вектор.

Скалярные умножения -а и 2а вектора а

В математика, скалярное умножение одна из основных операций, определяющих векторное пространство в линейная алгебра^[1][2][3] (или, в более общем смысле, модуль в абстрактная алгебра^[4][5]). В обычных геометрических контекстах скалярное умножение настоящий Евклидов вектор на положительное действительное число умножает величину вектора без изменения его направления. Период, термин "скаляр "само по себе происходит от этого использования: скаляр - это то, что напольные весы векторы. Скалярное умножение - это умножение вектора на скаляр (где произведение - вектор), и его следует отличать от внутренний продукт двух векторов (где произведение - скаляр).

Определение

В общем, если K это поле и V это векторное пространство над K, то скалярное умножение функция из K × V к V. Результат применения этой функции к k в K и v в V обозначается kv.^[6]

Характеристики

Скалярное умножение подчиняется следующим правилам (вектор в жирный шрифт ):

• Аддитивность в скаляре: (c + d)v = cv + dv;
• Аддитивность в векторе: c(v + ш) = cv + cш;
• Совместимость произведения скаляров со скалярным умножением: (CD)v = c(dv);
• Умножение на 1 не меняет вектор: 1v = v;
• Умножение на 0 дает нулевой вектор: 0v = 0;
• Умножение на −1 дает Противоположное число: (−1)v = −v.

Здесь + есть добавление либо в поле, либо в векторном пространстве, в зависимости от ситуации; и 0 - аддитивная идентичность в любом.Сопоставление указывает либо скалярное умножение, либо умножение работа в поле.

Интерпретация

Скалярное умножение можно рассматривать как внешний бинарная операция или как действие поля в векторном пространстве. А геометрический Интерпретация скалярного умножения состоит в том, что оно растягивает или сжимает векторы на постоянный коэффициент. В результате он создает вектор в том же или противоположном направлении исходного вектора, но другой длины.^[7]

В частном случае V может считаться K саму себя и скалярное умножение тогда можно рассматривать просто как умножение в поле.

Когда V является K^п, скалярное умножение эквивалентно умножению каждого компонента на скаляр и может быть определено как таковое.

Та же идея применима, если K это коммутативное кольцо и V это модуль над K.K может даже быть буровая установка, но тогда нет аддитивной инверсии. K не является коммутативный, различные операции левое скалярное умножение cv и правое скалярное умножение vc можно определить.

Скалярное умножение матриц

В левое скалярное умножение матрицы А со скаляром λ дает другую матрицу того же размера, что и А. Обозначается он λА,^[6] чьи записи λА определены

${ displaystyle ( lambda mathbf {A}) _ {ij} = lambda left ( mathbf {A} right) _ {ij} ,,}$

явно:

${ displaystyle lambda mathbf {A} = lambda { begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {12} & cdots & A_ {1m} A_ {21} & A_ {22} & cdots & A_ {2m } vdots & vdots & ddots & vdots A_ {n1} & A_ {n2} & cdots & A_ {nm} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} lambda A_ { 11} & lambda A_ {12} & cdots & lambda A_ {1m} lambda A_ {21} & lambda A_ {22} & cdots & lambda A_ {2m} vdots & vdots & ddots & vdots lambda A_ {n1} & lambda A_ {n2} & cdots & lambda A_ {nm} end {pmatrix}} ,.}$

Точно так же правое скалярное умножение матрицы А со скаляром λ определяется как

${ Displaystyle ( mathbf {A} lambda) _ {ij} = left ( mathbf {A} right) _ {ij} lambda ,,}$

явно:

${ displaystyle mathbf {A} lambda = { begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {12} & cdots & A_ {1m} A_ {21} & A_ {22} & cdots & A_ {2m} vdots & vdots & ddots & vdots A_ {n1} & A_ {n2} & cdots & A_ {nm} end {pmatrix}} lambda = { begin {pmatrix} A_ {11} lambda & A_ {12} lambda & cdots & A_ {1m} lambda A_ {21} lambda & A_ {22} lambda & cdots & A_ {2m} lambda vdots & vdots & ddots & vdots A_ {n1} lambda & A_ {n2} lambda & cdots & A_ {nm} lambda end {pmatrix}} ,.}$

Когда основной звенеть является коммутативный, например, настоящий или же комплексное число поле, эти два умножения одинаковы и называются просто скалярное умножение. Однако для матриц более общего звенеть которые нет коммутативные, такие как кватернионы, они могут не быть равными.

Для действительного скаляра и матрицы:

${ displaystyle lambda = 2, quad mathbf {A} = { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$

${ displaystyle 2 mathbf {A} = 2 { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 2 ! cdot ! a & 2 ! cdot ! b 2 ! cdot ! c & 2 ! cdot ! d end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} a ! cdot ! 2 & b ! cdot ! 2 c ! cdot ! 2 & d ! cdot ! 2 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} 2 = mathbf {A} 2 .}$

Для кватернионных скаляров и матриц:

${ displaystyle lambda = i, quad mathbf {A} = { begin {pmatrix} i & 0 0 & j end {pmatrix}}}$

${ displaystyle i { begin {pmatrix} i & 0 0 & j end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} i ^ {2} & 0 0 & ij end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 0 0 & k end {pmatrix}} neq { begin {pmatrix} -1 & 0 0 & -k end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} i ^ {2 } & 0 0 & ji end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} i & 0 0 & j end {pmatrix}} i ,,}$

куда я, j, k являются кватернионными единицами. Некоммутативность умножения кватернионов препятствует переходу изменения ij = +k к джи = −k.

Смотрите также

• Скалярное произведение
• Умножение матриц
• Умножение векторов
• Продукт (математика)

Рекомендации