Глоссарий теории колец - Glossary of ring theory

Теория колец это филиал математика в котором кольца изучаются: то есть конструкции, поддерживающие как добавление и умножение операция. Это глоссарий некоторых терминов предмета.

По вопросам коммутативной алгебры (теории коммутативных колец) см. глоссарий коммутативной алгебры. О теоретико-кольцевых концепциях языка модулей см. Также Глоссарий теории модулей.

Для конкретных типов алгебр см. Также: Глоссарий теории поля и Словарь групп Ли и алгебр Ли. Поскольку в настоящее время нет глоссария по необязательно ассоциативным структурам алгебры в целом, этот глоссарий включает некоторые концепции, которые не нуждаются в ассоциативности; например, производное.

А

Амицур комплекс: В Амицур комплекс гомоморфизма колец является коцепным комплексом, который измеряет степень, в которой гомоморфизм колец не может быть точно плоский.
Артиниан: Левый Артинианское кольцо кольцо, удовлетворяющее состояние нисходящей цепочки для левых идеалов; Правое артиново кольцо - это кольцо, удовлетворяющее условию убывающей цепи для правых идеалов. Если кольцо является одновременно левым и правым артиновым, оно называется Артиниан. Артиновы кольца - это нётеровы кольца.
Теорема Артина-Веддербуна: В Теорема Артина – Веддерберна утверждает, что полупростое кольцо - это конечное произведение (полных) матричных колец над телами.
ассоциировать: В коммутативном кольце элемент а называется ассоциировать элемента б если а разделяет б и б разделяет а.
автоморфизм: А кольцевой автоморфизм изоморфизм колец одного и того же кольца; другими словами, это единичный элемент кольца эндоморфизмов кольца, который является мультипликативным и сохраняет мультипликативную идентичность.; An автоморфизм алгебры над коммутативным кольцом р является изоморфизмом алгебр одной и той же алгебры; это кольцевой автоморфизм, который также р-линейный.
Адзумая: An Адзумая алгебра является обобщением центральной простой алгебры на неполевое базовое кольцо.

B

двумерность: В двумерность ассоциативной алгебры А над коммутативным кольцом р это проективная размерность ${ displaystyle A}$ как ${ displaystyle A ^ {op} otimes _ {R} A}$ -модуль. Например, алгебра имеет нулевую двумерность тогда и только тогда, когда она отделима.
логический: А логическое кольцо кольцо, в котором каждый элемент мультипликативно идемпотентный элемент.
Брауэр: В Группа Брауэра поля - абелева группа, состоящая из всех классов эквивалентности центральных простых алгебр над полем.

C

категория: В категория колец - категория, в которой объекты являются (всеми) кольцами, а морфизмы - (всеми) гомоморфизмами колец.
центр: 1. Элемент р кольца р является центральный если xr = rx для всех Икс в р. Набор всех центральных элементов образует подкольцо из р, известный как центр из р.; 2. А центральная алгебра является ассоциативной алгеброй над центром.; 3. А центральная простая алгебра центральная алгебра, которая также является простым кольцом.
централизатор: 1. В централизатор подмножества S кольца - подкольцо, состоящее из элементов, коммутирующих с элементами S. Например, централизатор самого кольца является центром кольца.; 2. Программа двойной центратор комплекта является центратором центратора комплекта. Ср. теорема о двойном централизаторе.
характеристика: 1. В характеристика кольца - это наименьшее натуральное число п удовлетворение nx = 0 для всех элементов Икс кольца, если такой п существуют. В противном случае характеристика равна 0.; 2. Программа характеристическое подкольцо из р наименьшее подкольцо (т.е. единственное минимальное подкольцо). Необходим образ единственного кольцевого гомоморфизма ${ displaystyle mathbb {Z} to R}$ и, таким образом, изоморфен ${ Displaystyle mathbb {Z} / п}$ куда п это характеристика р.
изменять: А смена колец - функтор (между соответствующими категориями), индуцированный гомоморфизмом колец.
Алгебра Клиффорда: А Алгебра Клиффорда это некая ассоциативная алгебра, которая полезна в геометрии и физике.
последовательный: Левый связное кольцо является кольцом, в котором каждый конечно порожденный левый идеал является конечно определенным модулем; другими словами, это последовательный как левый модуль над собой.
коммутативный: 1. Кольцо р является коммутативный если умножение коммутативное, т.е. RS = SR для всех р,s ∈ р.; 2. Кольцо р является косо-коммутативный если ${ displaystyle xy = (- 1) ^ { epsilon (x) epsilon (y)} yx}$ куда ${ Displaystyle epsilon (х)}$ обозначает четность элемента Икс.; 3. Коммутативная алгебра - это ассоциативная алгебра, которая является коммутативным кольцом.; 4. Коммутативная алгебра это теория коммутативных колец.

D

происхождение: 1. А происхождение возможно неассоциативной алгебры А над коммутативным кольцом р является р-линейный эндоморфизм, удовлетворяющий Правило Лейбница^{[необходимо разрешение неоднозначности ]}.; 2. Программа алгебра вывода алгебры А является подалгеброй алгебры эндоморфизмов А который состоит из производных.
дифференциал: А дифференциальная алгебра является алгеброй вместе с дифференцированием.
непосредственный: А прямой продукт семейства колец - это кольцо, заданное декартово произведение данных колец и покомпонентное определение алгебраических операций.
делитель: 1. В область целостности р,^{[требуется разъяснение ]} элемент а называется делитель элемента б (и мы говорим а разделяет б), если существует элемент Икс в р с топор = б.; 2. Элемент р из р это оставили делитель нуля если существует ненулевой элемент Икс в р такой, что rx = 0 и правый делитель нуля или если существует ненулевой элемент у в р такой, что год = 0. Элемент р из р называется двусторонний делитель нуля если это одновременно левый делитель нуля и правый делитель нуля.
разделение: А делительное кольцо или тело - это кольцо, в котором каждый ненулевой элемент является единицей и 1 ≠ 0.
домен: А домен является ненулевым кольцом без делителей нуля, кроме 0. По историческим причинам коммутативная область называется область целостности.

E

эндоморфизм: An кольцо эндоморфизмов кольцо, образованное эндоморфизмы объекта с аддитивной структурой; умножение считается функциональная композиция, а его добавление - поточечное сложение изображений.
обволакивающая алгебра: (Универсальный) обволакивающая алгебра E необязательно ассоциативной алгебры А ассоциативная алгебра, определяемая А каким-то универсальным способом. Самый известный пример - это универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли.
расширение: А расширение кольца кольца р абелевой группой я пара ${ displaystyle (E, varphi)}$ состоящий из кольца E и гомоморфизм колец ${ displaystyle varphi: E to R}$ чье ядро я.
внешняя алгебра: В внешняя алгебра векторного пространства или модуля V является фактором тензорной алгебры V идеалом, порожденным элементами вида ${ displaystyle x otimes x}$ .

F

поле: А поле - коммутативное тело; т.е. ненулевое кольцо, в котором каждый ненулевой элемент обратим.
фильтрованное кольцо: А фильтрованное кольцо кольцо с фильтрацией.
конечно порожденный: 1. Левый идеал я является конечно порожденный если существует конечное число элементов а₁, ..., а_п такой, что я = Ра₁ + ... + Ра_п. Правильный идеал я является конечно порожденный если существует конечное число элементов а₁, ..., а_п такой, что я = а₁р + ... + а_пр. Двусторонний идеал я является конечно порожденный если существует конечное число элементов а₁, ..., а_п такой, что я = Ра₁р + ... + Ра_пр.; 2. А конечно порожденное кольцо кольцо, конечно порожденное как Z-алгебра.
конечно представленный: А конечно представленная алгебра над коммутативным кольцом р является (коммутативным) ассоциативная алгебра это частное из кольцо многочленов над р конечного числа переменных конечно порожденный идеал.^[1]
свободный: 1. А бесплатное идеальное кольцо или ель - это кольцо, в котором каждый правый идеал является свободным модулем фиксированного ранга.; 2. Полукольцо - это кольцо, в котором каждый конечно порожденный правый идеал является свободным модулем фиксированного ранга.; 3. В бесплатный продукт семейства ассоциативных - это ассоциативная алгебра, полученная, грубо говоря, образующими и отношениями алгебр в семействе. Это понятие зависит от того, какая категория ассоциативной алгебры рассматривается; например, в категории коммутативных колец свободное произведение - это тензорное произведение.; 4. А бесплатное кольцо кольцо, которое является свободная алгебра над целыми числами.
основной: 1. Элемент Икс области целостности является главный элемент если это не ноль и не единица и всякий раз Икс делит продукт ab, Икс разделяет а или же Икс разделяет б.; 2. Идеальный п в коммутативное кольцо р является основной если п ≠ р и если для всех а и б в р с ab в п, у нас есть а в п или же б в п. Каждый максимальный идеал в коммутативном кольце первичен.; 3. Идеал п в (не обязательно коммутативном) кольце р простое, если п ≠ р и для всех идеалов А и B из р, ${ Displaystyle AB substeq P}$ подразумевает ${ displaystyle A substeq P}$ или же ${ Displaystyle B substeq P}$ . Это расширяет определение коммутативных колец.; 4. первичное кольцо : А ненулевое кольцо р называется первичное кольцо если для любых двух элементов а и б из р с aRb = 0, у нас есть либо а = 0 или же б = 0. Это эквивалентно тому, что нулевой идеал является простым идеалом (в некоммутативном смысле). простое кольцо и каждый домен первичное кольцо.
примитивный: 1. А оставили примитивное кольцо кольцо, имеющее верный просто оставили р-модуль. Каждый простое кольцо примитивен. Примитивные кольца основной.; 2. Идеальный я кольца р как говорят примитивный если ${ displaystyle R / I}$ примитивен.
главный: А главный идеал : А главный левый идеал в кольце р левый идеал вида Ра для какого-то элемента а из р. А главный правый идеал правильный идеал формы aR для какого-то элемента а из р. А главный идеал двусторонний идеал вида RaR для какого-то элемента а из р.
главный: 1. А главная идеальная область является областью целостности, в которой каждый идеал является главным.; 2. А кольцо главных идеалов кольцо, в котором каждый идеал является главным.

Q

квазифробениус: квазифробениусово кольцо : особый тип артинианского кольца, которое также является самоинъективное кольцо с обеих сторон. Всякое полупростое кольцо квазифробениусово.; кольцо частного или же факторное кольцо : Дано кольцо р и идеал я из р, то кольцо частного кольцо, образованное множеством р/я из смежные классы {а + я : а∈р} вместе с операциями (а + я) + (б + я) = (а + б) + я и (а + я)(б + я) = ab + я. Связь между идеалами, гомоморфизмами и фактор-кольцами суммируется в основная теорема о гомоморфизмах.

р

радикальный

В радикал идеала я в коммутативное кольцо состоит из всех тех элементов кольца, мощность которых лежит в я. Он равен пересечению всех простых идеалов, содержащих я.

звенеть

1. А набор р с двумя бинарные операции, обычно называемые сложением (+) и умножением (×), такие, что р является абелева группа в дополнение, р это моноид при умножении, а умножение происходит как слева, так и справа распределительный сверх сложения. Предполагается, что кольца имеют мультипликативную идентичность, если не указано иное. Аддитивное тождество обозначается 0, а мультипликативное тождество 1. (Предупреждение: некоторые книги, особенно старые книги, используют термин "кольцо" для обозначения того, что здесь будет называться rng; т.е. они не требуют, чтобы кольцо имело мультипликативную идентичность.)

2. А кольцевой гомоморфизм : А функция ж : р → S между кольцами (р, +, ∗) и (S, ⊕, ×) это кольцевой гомоморфизм если это удовлетворяет

ж(а + б) = ж(а) ⊕ ж(б)

ж(а ∗ б) = ж(а) × ж(б)

ж(1) = 1

для всех элементов а и б из р.

3. изоморфизм колец : Гомоморфизм колец, биективный это изоморфизм колец. Обратный к изоморфизму колец также является изоморфизмом колец. Два кольца изоморфный если между ними существует изоморфизм колец. Изоморфные кольца можно рассматривать как одно и то же, только с разными метками на отдельных элементах.

rng

А значение квадратного нуля: А rng в котором ху = 0 для всех Икс и у. Иногда их также называют нулевые кольца, даже если они обычно не имеют 1. Термин «rng» подразумевает, что это «rянг "без"ястоматология ».

S

самоинъективный: Кольцо р является оставили самоинъективный если модуль _рр является инъективный модуль. Хотя кольца с единицей всегда проективны как модули, они не всегда инъективны как модули.
полусовершенный: А полусовершенное кольцо кольцо р такой, что для радикала Якобсона ${ Displaystyle J (R)}$ из р, (1) ${ Displaystyle R / J (R)}$ полупроста и (2) подъем идемпотентов по модулю ${ Displaystyle J (R)}$ .
полупервичный: А полупервичное кольцо кольцо р такой, что для радикала Якобсона ${ Displaystyle J (R)}$ из р, (1) ${ Displaystyle R / J (R)}$ полупроста и (2) ${ Displaystyle J (R)}$ это нильпотентный идеал.
полупервичный: 1. А полупервичное кольцо это кольцо, где единственное нильпотентный идеал это тривиальный идеал ${ displaystyle {0 }}$ . Коммутативное кольцо полупервично тогда и только тогда, когда оно редуцировано.; 2. Идеальный я кольца р является полупервичный если для любого идеала А из р, ${ displaystyle A ^ {n} substeq I}$ подразумевает ${ displaystyle A substeq I}$ . Эквивалентно, я полупервично тогда и только тогда, когда ${ displaystyle R / I}$ является полупервичным кольцом.
полупримитивный: А полупримитивное кольцо или полупростое кольцо Джекобсона - это кольцо, Радикал Якобсона равно нулю. Регулярные и примитивные кольца фон Неймана полупримитивны, однако квазифробениусовы кольца и локальные кольца обычно не полупримитивны.
полукольцо: А полукольцо : Алгебраическая структура, удовлетворяющая тем же свойствам, что и кольцо, за исключением того, что сложение должно быть только абелевым. моноид операция, а не операция абелевой группы. То есть элементы в полукольце не обязательно должны иметь аддитивные обратные.
полупростой: А полупростое кольцо артиновское кольцо р это конечное произведение простых артиновых колец; другими словами, это полупростой оставили р-модуль.
отделяемый: А отделимая алгебра - ассоциативная алгебра, тензор-квадрат которой допускает идемпотентная отделимость.
серийный: Право серийное кольцо кольцо, которое является правым последовательным модулем над собой.
Севери-Брауэр: В Сорт Севери – Брауэра является алгебраическим многообразием, ассоциированным с данной центральной простой алгеброй.
просто: 1. А простое кольцо ненулевое кольцо, которое имеет только тривиальные двусторонние идеалы (нулевой идеал, само кольцо и не более), является простое кольцо.; 2. А простая алгебра ассоциативная алгебра, представляющая собой простое кольцо.
подкольцо: А подкольцо это подмножество S кольца (р, +, ×), которое остается кольцом, когда + и × ограничиваются S и содержит мультипликативную единицу 1 р.
симметрическая алгебра: 1. В симметрическая алгебра векторного пространства или модуля V является фактором тензорной алгебры V идеалом, порожденным элементами вида ${ displaystyle x otimes y-y otimes x}$ .; 2. Программа градуированная симметрическая алгебра векторного пространства или модуля V является вариантом симметрической алгебры, построенной с учетом градуировки.
Сильвестр домен: А Сильвестр домен кольцо, в котором Закон недействительности Сильвестра держит.

Т

тензор: В алгебра тензорного произведения ассоциативных алгебр является тензорным произведением алгебр как модулей с компонентным умножением; В тензорная алгебра векторного пространства или модуля V прямая сумма всех тензорных степеней ${ displaystyle V ^ { otimes n}}$ с умножением на тензорное произведение.
банальный: 1. Тривиальный идеал - это либо нулевой, либо единичный идеал.; 2. Программа тривиальное кольцо или же нулевое кольцо кольцо, состоящее из одного элемента 0 = 1.

U

единица измерения: единица измерения или же обратимый элемент : Элемент р кольца р это единица измерения если существует элемент р⁻¹ такой, что rr⁻¹ = р⁻¹р = 1. Этот элемент р⁻¹ однозначно определяется р и называется мультипликативный обратный из р. Набор единиц образует группа при умножении.
единство: Термин «единство» - это еще одно название мультипликативной идентичности.
уникальный: А уникальная область факторизации или же факториальное кольцо является областью целостности р в котором каждое ненулевое ненулевоеединица измерения элемент можно записать как произведение основные элементы из р.
однорядный: Право однорядное кольцо кольцо, являющееся цепным справа модулем над собой. Коммутативное цепное кольцо также называется оценочное кольцо.

V

регулярный элемент фон Неймана: 1. регулярный элемент фон Неймана : Элемент р кольца р является фон Нейман регулярный если существует элемент Икс из р такой, что р = rxr.; 2. А регулярное кольцо фон Неймана: Кольцо, для которого каждый элемент а можно выразить как а = акса для другого элемента Икс в ринге. Полупростые кольца регулярны по фон Нейману.

Z

нуль: А нулевое кольцо: Кольцо, состоящее только из одного элемента. 0 = 1, также называемый тривиальное кольцо. Иногда «нулевое кольцо» альтернативно используется для обозначения значение квадратного нуля.

Смотрите также

Глоссарий теории модулей

Примечания

^ Гротендик и Дьедонне 1964, §1.4.1

Глоссарий теории колец - Glossary of ring theory

А

B

C

D

E

F

грамм

ЧАС

я

J

K

L

M

N

О

п

Q

р

S

Т

U

V

Z

Смотрите также

Примечания

Рекомендации