Бесплатное идеальное кольцо - Free ideal ring

В математика, особенно в области теория колец, а (справа) бесплатное идеальное кольцо, или же ель, это кольцо, в котором все правильные идеалы находятся бесплатные модули с уникальным классифицировать. Кольцо такое, что все правильные идеалы с не более чем п генераторы бесплатны и имеют уникальный ранг называется пихта. А полуфабрикат кольцо, в котором все конечно порожденный правые идеалы - это свободные модули единственного ранга. (Таким образом, кольцо является полужидким, если оно п-пихта для всех п ≥ 0.) Свойство полудрости симметрично слева и справа, а свойство пихты - нет.

Свойства и примеры

Оказывается, левая и правая ель - это домен. Кроме того, коммутативный пихта именно главная идеальная область, а коммутативная полутушка - это в точности Безу домен. Однако эти последние факты, как правило, неверны для некоммутативных колец (Кон 1971 ).

Каждые область главного правого идеала р - правая пихта, поскольку всякий ненулевой главный правый идеал области изоморфен р. Таким же образом и право Безу домен это полуфабрикат.

Поскольку все правые идеалы правой ели свободны, они проективны. Итак, любая правильная ель - это право наследственное кольцо, а также правая полуфирма - это правая полунаследственное кольцо. Потому что проективные модули над местные кольца бесплатны, и поскольку местные кольца имеют инвариантный базисный номер, то локальное наследственное справа кольцо - это пихта справа, а локальное полунаследственное справа кольцо - правое полукольцо.

В отличие от основной правой идеальной области, правильная ель не обязательно является правильной. Нётерян, однако в коммутативном случае р это Дедекиндский домен так как это наследственная область, и поэтому обязательно нётерова.

Еще один важный и мотивирующий пример свободного идеального кольца - свободная ассоциативная (унитальная) k-алгебры для делительных колец k, также называемый некоммутативные кольца многочленов (Кон 2000, §5.4).

Полуфабрикаты имеют инвариантный базисный номер и каждое полукорпус является Сильвестр домен.

Рекомендации

  • Кон, П. М. (1971), "Свободные идеальные кольца и свободные произведения колец", Actes du Congrès International des Mathématiciens (Ницца, 1970), 1, Готье-Виллар, стр. 273–278, Г-Н  0506389, заархивировано из оригинал на 2017-11-25, получено 2010-11-26
  • Кон, П. М. (2006), Свободные идеальные кольца и локализация в общих кольцах, Новые математические монографии, 3, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-85337-8, Г-Н  2246388
  • Кон, П. М. (1985), Бесплатные кольца и их отношения, Монографии Лондонского математического общества, 19 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, ISBN  978-0-12-179152-0, Г-Н  0800091
  • Кон, П. М. (2000), Введение в теорию колец, Springer Undergraduate Mathematics Series, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-1-85233-206-8, Г-Н  1732101
  • «Бесплатное идеальное кольцо», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

дальнейшее чтение