Местное кольцо - Local ring

В абстрактная алгебра, более конкретно теория колец, местные кольца уверены кольца которые сравнительно просты и служат для описания того, что называется "локальным поведением" в смысле функций, определенных на разновидности или коллекторы, или из поля алгебраических чисел рассмотрены на конкретном место, или премьер. Локальная алгебра это филиал коммутативная алгебра который изучает коммутативные локальные кольца и их модули.

На практике коммутативное локальное кольцо часто возникает в результате локализация кольца в лучшем идеале.

Понятие локальных колец было введено Вольфганг Круль в 1938 г. под названием Stellenringe.^[1] Английский термин местное кольцо связано с Зарисский.^[2]

Определение и первые следствия

А кольцо р это местное кольцо если он имеет одно из следующих эквивалентных свойств:

р имеет уникальный максимальный осталось идеальный.
р имеет единственный максимальный правый идеал.
1 ≠ 0 и сумма любых двух не-единицы в р не единица.
1 ≠ 0 и если Икс любой элемент р, тогда Икс или 1 − Икс это единица.
Если конечная сумма является единицей, то у нее есть член, который является единицей (это, в частности, говорит о том, что пустая сумма не может быть единицей, поэтому это означает 1 ≠ 0).

Если эти свойства выполнены, то единственный максимальный левый идеал совпадает с единственным максимальным правым идеалом и кольцом Радикал Якобсона. Третье из перечисленных выше свойств говорит о том, что множество неединиц в локальном кольце образует (собственный) идеал,^[3] обязательно содержится в радикале Якобсона. Четвертое свойство можно перефразировать следующим образом: кольцо р является локальным тогда и только тогда, когда не существует двух совмещать правильный (главный ) (левые) идеалы, где два идеала я₁, я₂ называются совмещать если р = я₁ + я₂.

На случай, если коммутативные кольца, нет необходимости различать левый, правый и двусторонний идеалы: коммутативное кольцо является локальным тогда и только тогда, когда оно имеет единственный максимальный идеал. До 1960 года многие авторы требовали, чтобы локальное кольцо было (левым и правым) Нётерян, и (возможно, нётеровы) локальные кольца назывались квазилокальные кольца. В данной статье это требование не предъявляется.

Местное кольцо, которое является область целостности называется локальный домен.

Примеры

Все поля (и косые поля ) являются локальными кольцами, поскольку {0} - единственный максимальный идеал в этих кольцах.
Ненулевое кольцо, в котором каждый элемент является либо единицей, либо нильпотентным, является локальным кольцом.
Важным классом локальных колец являются дискретные оценочные кольца, которые являются местными области главных идеалов это не поля.
Кольцо ${ Displaystyle mathbb {C} [[х]]}$ , элементы которого представляют собой бесконечный ряд ${ Displaystyle сумма _ {я = 0} ^ { infty} а_ {я} х ^ {я}}$ где умножения даются ${ displaystyle ( sum _ {i = 0} ^ { infty} a_ {i} x ^ {i}) ( sum _ {i = 0} ^ { infty} b_ {i} x ^ {i} ) = sum _ {i = 0} ^ { infty} c_ {i} x ^ {i}}$ такой, что ${ displaystyle c_ {n} = sum _ {i + j = n} a_ {i} b_ {j}}$ , является местным. Его единственный максимальный идеал состоит из всех необратимых элементов. Другими словами, он состоит из всех элементов с постоянным нулевым членом.
В общем, каждое кольцо формальный степенной ряд над локальным кольцом является локальным; максимальный идеал состоит из тех степенных рядов с постоянный срок в максимальном идеале базового кольца.
Аналогично алгебра двойные числа над любым полем является локальным. В более общем смысле, если F это местное кольцо и п положительное целое число, то кольцо частного F[Икс]/(Икс^п) является локальным с максимальным идеалом, состоящим из классов многочленов с постоянным членом, принадлежащим максимальному идеалу F, так как можно использовать геометрическая серия инвертировать все остальные многочлены по модулю Икс^п. Если F поле, то элементы F[Икс]/(Икс^п) либо нильпотентный или обратимый. (Двойные числа над F соответствуют случаю п = 2.)
Ненулевые фактор-кольца локальных колец локальны.
И наоборот, кольцо рациональное число с участием странный знаменатель местный; его максимальный идеал состоит из дробей с четным числителем и нечетным знаменателем. Это целые числа локализованный в 2.
В более общем плане, учитывая любые коммутативное кольцо р и любой главный идеал п из р, то локализация из р в п местный; максимальный идеал - это идеал, порожденный п в этой локализации; то есть максимальный идеал состоит из всех элементов так как с a ∈ п и s ∈ р - п.

Кольцо микробов

Чтобы мотивировать название "местные" для этих колец, мы рассматриваем действительные непрерывные функции определено на некоторых открытый интервал около 0 из реальная линия. Нас интересует только поведение этих функций около 0 (их «локальное поведение»), и поэтому мы будем идентифицировать две функции, если они согласуются на некотором (возможно, очень маленьком) открытом интервале около 0. Эта идентификация определяет отношение эквивалентности, а классы эквивалентности то, что называется "микробы действительнозначных непрерывных функций в 0 ". Эти ростки можно складывать и умножать, образуя коммутативное кольцо.

Чтобы увидеть, что это кольцо ростков локально, нам нужно охарактеризовать его обратимые элементы. Зародыш ж обратима тогда и только тогда, когда ж(0) ≠ 0. Причина: если ж(0) ≠ 0, то по непрерывности существует открытый интервал около 0, где ж отлична от нуля, и мы можем сформировать функцию г(Икс) = 1/ж(Икс) на этом интервале. Функция г дает росток, а продукт фг равно 1. (И наоборот, если ж обратима, то есть г такой, что ж(0)г(0) = 1, поэтому ж(0) ≠ 0.)

С этой характеристикой ясно, что сумма любых двух необратимых ростков снова необратима, и у нас есть коммутативное локальное кольцо. Максимальный идеал этого кольца состоит как раз из ростков ж с участием ж(0) = 0.

Точно такие же рассуждения работают для кольца ростков непрерывных вещественнозначных функций на любых топологическое пространство в данной точке, или кольцо ростков дифференцируемых функций на любых дифференцируемых многообразие в данной точке, или кольцо ростков рациональных функций на любой алгебраическое многообразие в заданной точке. Следовательно, все эти кольца локальны. Эти примеры помогают объяснить, почему схемы, обобщения многообразий, определяются как специальные локально окольцованные пространства.

Теория оценки

Местные кольца играют важную роль в теории оценки. По определению оценочное кольцо поля K это подкольцо р такое, что для каждого ненулевого элемента Икс из K, по крайней мере, один из Икс и Икс⁻¹ в р. Любое такое подкольцо будет локальным кольцом. Например, кольцо рациональное число с участием странный знаменатель (упомянутый выше) - это оценочное кольцо в ${ displaystyle mathbb {Q}}$ .

Учитывая поле K, который может быть или не быть функциональное поле, мы можем поискать в нем локальные кольца. Если K действительно были функциональным полем алгебраическое многообразие V, то для каждой точки п из V мы могли бы попытаться определить кольцо оценки р функций "определенных в" п. В случаях, когда V имеет размерность 2 или более, существует проблема, которая видится следующим образом: если F и г являются рациональными функциями на V с участием

F(п) = г(п) = 0,

функция

F/г

является неопределенная форма в п. Рассмотрим простой пример, например

Y/Икс,

подошел по линии

Y = tX,

видно, что стоимость в п это понятие без простого определения. Он заменяется использованием оценок.

Некоммутативный

Некоммутативные локальные кольца возникают естественным образом при кольца эндоморфизмов в изучении прямая сумма разложения модули над некоторыми другими кольцами. В частности, если кольцо эндоморфизмов модуля M местный, то M является неразложимый; наоборот, если модуль M имеет конечный длина и неразложима, то его кольцо эндоморфизмов локально.

Если k это поле из характеристика п > 0 и г конечный п-группа, то групповая алгебра кг местный.

Некоторые факты и определения

Коммутативный падеж

Мы также пишем (р, м) для коммутативного локального кольца р с максимальным идеалом м. Каждое такое кольцо становится топологическое кольцо естественным образом, если взять силу м как база соседства из 0. Это м-адическая топология на р. Если (р, м) коммутативный Нётерян местное кольцо, тогда

{ Displaystyle bigcap _ {я = 1} ^ { infty} м ^ {я} = {0 }}

(Теорема Крулля о пересечении), откуда следует р с м-адическая топология - это Пространство Хаусдорфа. Теорема является следствием Лемма Артина – Риса. вместе с Лемма Накаямы, и, как таковое, «нётерское» предположение имеет решающее значение. Действительно, пусть р - кольцо ростков бесконечно дифференцируемых функций в 0 вещественной прямой и м быть максимальным идеалом ${ Displaystyle (х)}$ . Тогда ненулевая функция ${ displaystyle e ^ {- {1 над x ^ {2}}}}$ принадлежит ${ Displaystyle м ^ {п}}$ для любого п, так как эта функция делится на ${ Displaystyle х ^ {п}}$ по-прежнему гладко.

Что касается любого топологического кольца, возникает вопрос: (р, м) является полный (как однородное пространство ); если это не так, считается завершение, опять местное кольцо. Полные нётерские локальные кольца классифицируются по Теорема Коэна о структуре.

В алгебраической геометрии, особенно когда р является локальным кольцом схемы в некоторой точке п, р / м называется поле вычетов локального кольца или поля вычетов точки п.

Если (р, м) и (S, п) локальные кольца, то a локальный гомоморфизм колец от р к S это кольцевой гомоморфизм ж : р → S с собственностью ж(м) ⊆ п.^[4] Это в точности гомоморфизмы колец, непрерывные по данным топологиям на р и S. Например, рассмотрим морфизм колец ${ displaystyle mathbb {C} [x] / (x ^ {3}) to mathbb {C} [x, y] / (x ^ {3}, x ^ {2} y, y ^ {4 })}$ отправка ${ Displaystyle х mapsto х}$ . Прообраз ${ Displaystyle (х, у)}$ является ${ Displaystyle (х)}$ . Другой пример локального морфизма колец дает ${ Displaystyle mathbb {C} [x] / (x ^ {3}) to mathbb {C} [x] / (x ^ {2})}$ .

Общий случай

В Радикал Якобсона м местного кольца р (который равен единственному максимальному левому идеалу, а также единственному максимальному правому идеалу) состоит в точности из неединиц кольца; кроме того, это единственный максимальный двусторонний идеал р. Однако в некоммутативном случае наличие единственного максимального двустороннего идеала не эквивалентно локальности.^[5]

Для элемента Икс местного кольца р, следующие эквиваленты:

Икс имеет левую обратную
Икс имеет право обратный
Икс обратимый
Икс не в м.

Если (р, м) местный, то факторное кольцо р/м это тело. Если J ≠ р есть любой двусторонний идеал в р, то фактор-кольцо р/J снова локальный, с максимальным идеалом м/J.

А глубокая теорема от Ирвинг Каплански говорит, что любой проективный модуль над локальным кольцом свободный, хотя случай, когда модуль конечно порожден, является простым следствием Лемма Накаямы. Это имеет интересное последствие с точки зрения Эквивалентность Морита. А именно, если п это конечно порожденный проективный р модуль, то п изоморфен свободному модулю р^п, а значит, кольцо эндоморфизмов ${ Displaystyle mathrm {Конец} _ {R} (P)}$ изоморфно полному кольцу матриц ${ Displaystyle mathrm {M} _ {п} (R)}$ . Поскольку каждое кольцо Морита эквивалентно локальному кольцу р имеет форму ${ Displaystyle mathrm {Конец} _ {R} (P)}$ для такого п, вывод состоит в том, что единственные кольца Морита эквивалентны локальному кольцу р являются (изоморфны) кольцам матриц над р.

Заметки

^ Крулл, Вольфганг (1938). "Теория измерений в Стелленринген". J. Reine Angew. Математика. (на немецком). 1938 (179): 204. Дои:10.1515 / crll.1938.179.204.
^ Зариски, Оскар (Май 1943 г.). «Основы общей теории бирациональных соответствий» (PDF). Пер. Амер. Математика. Soc. Американское математическое общество. 53 (3): 490–542 [497]. Дои:10.2307/1990215. JSTOR 1990215.
^ Лам (2001), стр. 295, Thm. 19.1.
^ «Тег 07БИ».
^ Матрица 2 на 2 над полем, например, имеет единственный максимальный идеал {0}, но имеет несколько максимальных правых и левых идеалов.

использованная литература

Лам, Т. (2001). Первый курс некоммутативных колец. Тексты для выпускников по математике (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-95183-0.
Джейкобсон, Натан (2009). Базовая алгебра. 2 (2-е изд.). Дувр. ISBN 978-0-486-47187-7.

Смотрите также

внешние ссылки

Философия местных колец

[Krull-1] Крулл, Вольфганг (1938). "Теория измерений в Стелленринген". J. Reine Angew. Математика. (на немецком). 1938 (179): 204. Дои:10.1515 / crll.1938.179.204.

[Zariski-2] Зариски, Оскар (Май 1943 г.). «Основы общей теории бирациональных соответствий» (PDF). Пер. Амер. Математика. Soc. Американское математическое общество. 53 (3): 490–542 [497]. Дои:10.2307/1990215. JSTOR 1990215.

[3] Лам (2001), стр. 295, Thm. 19.1.

[4] «Тег 07БИ».

[5] Матрица 2 на 2 над полем, например, имеет единственный максимальный идеал {0}, но имеет несколько максимальных правых и левых идеалов.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]