Эквивалентность Морита - Morita equivalence

В абстрактная алгебра, Эквивалентность Морита это отношения, определенные между кольца который сохраняет многие теоретико-кольцевые свойства. Он назван в честь японского математика. Киити Морита который определил эквивалентность и подобное понятие двойственности в 1958 году.

Мотивация

Кольца обычно изучаются с точки зрения их модули, поскольку модули можно рассматривать как представления колец. Каждое кольцо р имеет естественный р-модульная структура на самой себе, где действие модуля определяется как умножение в кольце, поэтому подход через модули является более общим и дает полезную информацию. Из-за этого часто изучают кольцо, изучая категория модулей над этим кольцом. Эквивалентность Мориты приводит эту точку зрения к естественному заключению, определяя кольца как эквивалентные Морите, если их категории модулей являются эквивалент. Это понятие представляет интерес только при работе с некоммутативные кольца, поскольку можно показать, что два коммутативные кольца эквивалентны Морите тогда и только тогда, когда они изоморфный.

Определение

Два кольца р и S (ассоциативные, с 1) называются (Морита) эквивалент если существует эквивалентность категории (левых) модулей над р, R-Mod, а категория (левых) модулей над S, S-Mod. Можно показать, что категории левого модуля R-Mod и S-Mod эквивалентны тогда и только тогда, когда правильные категории модулей Мод-Р и Mod-S эквивалентны. Далее можно показать, что любой функтор из R-Mod к S-Mod что дает эквивалентность, автоматически добавка.

Примеры

Любые два изоморфных кольца эквивалентны Морите.

Кольцо п-от-п матрицы с элементами в р, обозначенное M_п(р), Морита-эквивалентно р для любого п> 0. Обратите внимание, что это обобщает классификацию простых артиновых колец, данную Теория Артина – Веддерберна. Чтобы увидеть эквивалентность, обратите внимание, что если Икс левый р-модуль тогда Икс^п является M_п(р) -модуль, структура которого задается умножением матриц слева векторов-столбцов из Икс. Это позволяет определить функтор из категории левых р-модули в категорию левых M_п(р) -модули. Обратный функтор определяется пониманием того, что для любого M_п(р) -модуль есть левый р-модуль Икс такой, что M_п(р) -модуль получается из Икс как описано выше.

Критерии эквивалентности

Эквивалентности можно охарактеризовать следующим образом: если F:R-Mod ${ displaystyle to}$ S-Mod и г:S-Mod${ displaystyle to}$ R-Mod аддитивны (ковариантны) функторы, тогда F и г являются эквивалентностью тогда и только тогда, когда существует сбалансированная (S,р)-бимодуль п такой, что _Sп и п_р находятся конечно порожденный проективный генераторы и здесь естественные изоморфизмы функторов ${ displaystyle operatorname {F} (-) cong P otimes _ {R} -}$, и функторов ${ displaystyle operatorname {G} (-) cong operatorname {Hom} (_ {S} P, -).}$ Конечно порожденные проективные генераторы также иногда называют генераторы для своей категории модулей.^[1]

Для каждого точно вправо функтор F из разряда лево-р модули в разряд левыхS модули, которые коммутируют с прямые суммы, теорема гомологическая алгебра показывает, что есть (S, R)-бимодуль E такой, что функтор ${ displaystyle operatorname {F} (-)}$ естественно изоморфен функтору ${ displaystyle E otimes _ {R} -}$. Поскольку эквивалентности по необходимости точны и коммутируют с прямыми суммами, отсюда следует, что р и S эквивалентны Морите тогда и только тогда, когда существуют бимодули _рM_S и _SN_р такой, что ${ Displaystyle M otimes _ {S} N cong R}$ так как (R, R) бимодули и ${ displaystyle N otimes _ {R} M cong S}$ так как (SS) бимодули. Более того, N и M связаны через (S, R) бимодульный изоморфизм: ${ displaystyle N cong operatorname {Hom} (M_ {S}, S_ {S})}$.

Точнее, два кольца р и S эквивалентны Морите тогда и только тогда, когда ${ displaystyle S cong operatorname {End} (P_ {R})}$ для прогенератор модуль п_р,^[2] что имеет место тогда и только тогда, когда

${ Displaystyle S cong e mathbb {M} _ {n} (R) e}$

(изоморфизм колец) для некоторого натурального числа п и полный идемпотент е в кольце матриц M_п(р).

Известно, что если р эквивалентно Морита S, то кольцо C (р) изоморфно кольцу C (S), где C (-) обозначает центр кольца, и, кроме того р/J(р) является Морита эквивалентно S/J(S), где J(-) обозначает Радикал Якобсона.

Хотя изоморфные кольца эквивалентны Морите, эквивалентные кольца Морита могут быть неизоморфными. Простой пример: делительное кольцо D эквивалентно Морите всем своим матричным кольцам M_п(D), но не может быть изоморфным при п > 1. В частном случае коммутативных колец эквивалентные по Морите кольца фактически изоморфны. Это сразу следует из комментария выше, поскольку если р эквивалентно Морита S, ${ Displaystyle R = OperatorName {C} (R) cong OperatorName {C} (S) = S}$.

Свойства, сохраненные эквивалентностью

Многие свойства сохраняются функтором эквивалентности для объектов в категории модулей. Вообще говоря, любое свойство модулей, определенное исключительно в терминах модулей и их гомоморфизмов (а не их основных элементов или кольца), является категориальная собственность которое будет сохраняться функтором эквивалентности. Например, если F(-) - функтор эквивалентности из R-Mod к S-Mod, то р модуль M имеет любое из следующих свойств тогда и только тогда, когда S модуль F(M) делает: инъективный, проективный, плоский, верный, просто, полупростой, конечно порожденный, конечно представленный, Артиниан, и Нётерян. Примеры свойств, которые не обязательно сохраняются, включают: свободный, и будучи циклический.

Многие теоретические свойства колец сформулированы в терминах их модулей, и поэтому эти свойства сохраняются между эквивалентными кольцами Мориты. Свойства, общие для эквивалентных колец, называются Инвариант Морита свойства. Например, кольцо р является полупростой тогда и только тогда, когда все его модули полупросты и поскольку полупростые модули сохраняются при эквивалентности Мориты, эквивалентное кольцо S также должно иметь все свои модули полупростыми и, следовательно, быть полупростым кольцом.

Иногда не сразу становится очевидным, почему собственность должна быть сохранена. Например, используя одно стандартное определение регулярное кольцо фон Неймана (для всех а в р, Существует Икс в р такой, что а = акса) неясно, должно ли эквивалентное кольцо быть регулярным по фон Нейману. Однако другая формулировка: кольцо регулярно по фон Нейману тогда и только тогда, когда все его модули плоские. Поскольку плоскостность сохраняется для эквивалентности Мориты, теперь ясно, что регулярность фон Неймана инвариантна по Морите.

Следующие свойства инвариантны по Морите:

• просто, полупростой
• фон Нейман регулярный
• право или лево) Нётерян, право или лево) Артиниан
• право или лево) самоинъективный
• квазифробениус
• премьер, право или лево) примитивный, полупервичный, полупримитивный
• право или лево) (полу) наследственный
• право или лево) неособый
• право или лево) последовательный
• полупервичный, право или лево) идеально, полусовершенный
• полулокальный

Примеры свойств, которые нет Инвариант Морита включает коммутативный, местный, уменьшенный, домен, право или лево) Голди, Фробениус, инвариантный базисный номер, и Дедекинд конечный.

Есть как минимум два других теста для определения того, действительно ли свойство кольца ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ инвариантен Морита. Элемент е в кольце р это полный идемпотент когда е² = е и ReR = р.

• ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ инвариантно по Морите тогда и только тогда, когда кольцо р удовлетворяет ${ displaystyle { mathcal {P}}}$, то так же eRe за каждый полный идемпотент е и каждое кольцо матриц M_п(р) для каждого положительного целого числа п;

или

• ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ инвариантен Морита тогда и только тогда, когда: для любого кольца р и полный идемпотент е в р, р удовлетворяет ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ тогда и только тогда, когда кольцо eRe удовлетворяет ${ displaystyle { mathcal {P}}}$.

Дальнейшие направления

Двойственной теории эквивалентностей является теория дуальности между категориями модулей, где используются функторы контравариантный а не ковариантный. Эта теория, хотя и похожа по форме, имеет существенные различия, потому что нет двойственности между категориями модулей для любых колец, хотя двойственность может существовать для подкатегорий. Другими словами, поскольку бесконечномерные модули^{[требуется разъяснение ]} обычно не рефлексивный, теория двойственности легче применима к конечно порожденным алгебрам над нётеровыми кольцами. Возможно, неудивительно, что указанный выше критерий имеет аналог для двойственности, где естественный изоморфизм задается в терминах функтора hom, а не тензорного функтора.

Эквивалентность Морита также может быть определена в более структурированных ситуациях, например, для симплектических группоидов и C * -алгебры. В случае C * -алгебр более сильная эквивалентность типов, называемая сильная эквивалентность Морита, необходим для получения результатов, полезных в приложениях, из-за дополнительной структуры C * -алгебр (проистекающей из инволютивной * -операции), а также потому, что C * -алгебры не обязательно имеют тождественный элемент.

Значение в K-теории

Если два кольца эквивалентны Морите, существует индуцированная эквивалентность соответствующих категорий проективных модулей, поскольку эквивалентности Мориты сохраняют точные последовательности (и, следовательно, проективные модули). Поскольку алгебраическая K-теория кольца определено (в Подход Квиллена ) с точки зрения гомотопические группы из (примерно) классификация пространства из нерв категории (малой) конечно порожденных проективных модулей над кольцом, эквивалентные по Морите кольца должны иметь изоморфные K-группы.

Рекомендации

• Морита, Киити (1958). «Двойственность для модулей и ее приложения к теории колец с условием минимума». Научные отчеты Tokyo Kyoiku Daigaku. Раздел А. 6 (150): 83–142. ISSN  0371-3539. Zbl  0080.25702.
• DeMeyer, F .; Ингрэм, Э. (1971). Сепарабельные алгебры над коммутативными кольцами. Конспект лекций по математике. 181. Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-05371-2. Zbl  0215.36602.
• Anderson, F.W .; Фуллер, К. (1992). Кольца и категории модулей. Тексты для выпускников по математике. 13 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-97845-3. Zbl  0765.16001.
• Лам, Т. (1999). Лекции по модулям и кольцам. Тексты для выпускников по математике. 189. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. Главы 17-18-19. ISBN  978-1-4612-6802-4. Zbl  0911.16001.
• Мейер, Ральф. «Эквивалентность Мориты в алгебре и геометрии». CiteSeerX  10.1.1.35.3449. Цитировать журнал требует | журнал = (Помогите)

дальнейшее чтение

• Райнер, И. (2003). Максимальные заказы. Монографии Лондонского математического общества. Новая серия. 28. Oxford University Press. С. 154–169. ISBN  0-19-852673-3. Zbl  1024.16008.