Q-конструкция - Q-construction

В алгебре Quillen с Q-конструкция партнеры точная категория (например, абелева категория ) алгебраическая K-теория. Точнее, учитывая точную категорию C, конструкция создает топологическое пространство ${ displaystyle B ^ {+} C}$ так что ${ displaystyle pi _ {0} (B ^ {+} C)}$ это Группа Гротендик из C и когда C - категория конечно порожденных проективных модулей над кольцом р, за ${ Displaystyle я = 0,1,2}$ , ${ Displaystyle pi _ {я} (В ^ {+} С)}$ это я-я K-группа р в классическом понимании. (Обозначение «+» означает, что конструкция добавляет больше к классифицирующему пространству до н.э.) Один кладет

{ Displaystyle К_ {я} (С) = пи _ {я} (В ^ {+} С)}

и назовите это я-я K-группа C. Точно так же я-я K-группа C с коэффициентами в группе грамм определяется как гомотопическая группа с коэффициентами:

{ Displaystyle К_ {я} (С; Г) = пи _ {я} (В ^ {+} С; G)}

.

Конструкция широко применима и используется для определения алгебраическая K-теория в неклассическом контексте. Например, можно определить эквивариантная алгебраическая K-теория в качестве ${ displaystyle pi _ {*}}$ из ${ displaystyle B ^ {+}}$ категории эквивариантные пучки по схеме.

Вальдхаузен с S-конструкция обобщает Q-конструкцию в устойчивом смысле; фактически, первое, в котором используется более общий Категория Вальдхаузена, производит спектр вместо пробела. Бинарный комплекс Грейсона также дает конструкцию алгебраической K-теории для точных категорий.^[1] Смотрите также спектр модуля # K-теория для K-теории кольцевой спектр.

Конструкция

Позволять C быть точной категорией; т.е. аддитивная полная подкатегория абелевой категории, замкнутая относительно расширения. Если есть точная последовательность ${ displaystyle 0 to M ' to M to M' ' to 0}$ в C, то стрелка от M ′ называется допустимым моно, а стрелка из M называется допустимым эпи.

Позволять КК быть категорией, объекты которой идентичны объектам C и морфизмы из Икс к Y являются классами изоморфизма диаграмм ${ displaystyle X leftarrow Z to Y}$ такие, что первая стрелка является допустимым эпи, а вторая допустимым моно и двумя диаграммами изоморфны, если они отличаются только в середине и между ними есть изоморфизм. Состав морфизмов задается откатом.

Определить топологическое пространство ${ displaystyle B ^ {+} C}$ к ${ Displaystyle B ^ {+} C = Omega BQC}$ куда ${ displaystyle Omega}$ это функтор пространства цикла и ${ displaystyle BQC}$ это классификация пространства категории КК (геометрическая реализация нерва). Оказывается, он однозначно определен с точностью до гомотопической эквивалентности (так что обозначение обосновано).

Операции

Каждый гомоморфизм колец ${ displaystyle R to S}$ побуждает ${ Displaystyle B ^ {+} P (R) to B ^ {+} P (S)}$ и поэтому ${ Displaystyle K_ {i} (P (R)) = K_ {i} (R) to K_ {i} (S)}$ куда ${ Displaystyle P (R)}$ - категория конечно порожденных проективных модулей над р. Легко показать, что эта карта (называемая переносом) согласуется с картой Милнора. Введение в алгебраическую K-теорию.^[2] Конструкция также совместима с подвешивание кольца (ср. Грейсон).

Сравнение с классической K-теорией кольца

Теорема о Дэниел Квиллен заявляет, что когда C - категория конечно порожденных проективных модулей над кольцом р, ${ Displaystyle pi _ {я} (В ^ {+} С)}$ это я-я K-группа р в классическом смысле для ${ Displaystyle я = 0,1,2}$ . Обычное доказательство теоремы (ср. Вайбель 2013) опирается на промежуточную гомотопическую эквивалентность. Если S является симметричной моноидальной категорией, в которой каждый морфизм является изоморфизмом, строится (ср. Грейсон) категорию ${ displaystyle S ^ {- 1} S}$ которое обобщает групповую конструкцию моноида Гротендика. Позволять C - точная категория, в которой каждая точная последовательность разбивает, например, категорию конечно порожденных проективных модулей, и положим ${ Displaystyle S = OperatorName {iso} C}$ , подкатегория C с тем же классом объектов, но с морфизмами, которые являются изоморфизмами в C. Тогда существует «естественная» гомотопическая эквивалентность:^[3]

{ Displaystyle Omega BQC simeq B (S ^ {- 1} S)}

.

Эквивалентность строится следующим образом. Позволять E быть категорией, объектами которой являются короткие точные последовательности в C и морфизмы которых являются классами изоморфизма диаграмм между ними. Позволять ${ displaystyle f: E to QC}$ - функтор, который отправляет короткую точную последовательность третьему члену последовательности. Обратите внимание на волокно ${ displaystyle f ^ {- 1} (X)}$ , которая является подкатегорией, состоит из точных последовательностей, третий член которых равен Икс. Это делает E а категория разложена ${ displaystyle QC}$ . Письмо ${ displaystyle S ^ {- 1} f}$ за ${ displaystyle S ^ {- 1} E to QC}$ , существует очевидное (следовательно, естественное) включение ${ displaystyle Omega BQC}$ в гомотопическое волокно ${ Displaystyle F (BS ^ {- 1} f)}$ , что можно показать как гомотопическую эквивалентность. С другой стороны, по Теорема Квиллена B, можно показать, что ${ Displaystyle B (S ^ {- 1} S)}$ это гомотопический откат из ${ displaystyle BS ^ {- 1} f}$ вдоль ${ Displaystyle * в BQC}$ и, таким образом, гомотопически эквивалентен ${ Displaystyle F (BS ^ {- 1} f)}$ .

Теперь возьмем C быть категорией конечно порожденных проективных модулей над кольцом р и показывает, что ${ Displaystyle pi _ {я} В (S ^ {- 1} S)}$ являются ${ displaystyle K_ {i}}$ из р в классическом смысле для ${ Displaystyle я = 0,1,2}$ . Прежде всего, по определению, ${ Displaystyle pi _ {0} В (S ^ {- 1} S) = K_ {0} (R)}$ . Следующий, ${ displaystyle GL_ {n} (R) = operatorname {Aut} (R ^ {n}) to S ^ {- 1} S}$ дает нам:

{ displaystyle BGL (R) = varinjlim BGL_ {n} (R) to B (S ^ {- 1} S)}

.

(Здесь, ${ displaystyle BGL (R)}$ является либо классифицирующим пространством категории ${ Displaystyle GL (R)}$ или Пространство Эйленберга – Маклейна типа ${ Displaystyle К (GL (R), 1)}$ , что означает одно и то же.) Изображение на самом деле лежит в компоненте идентичности ${ Displaystyle B (S ^ {- 1} S)}$ и так получаем:

{ displaystyle f: BGL (R) to B (S ^ {- 1} S) ^ {0}.}

Позволять ${ displaystyle S_ {n}}$ быть полной подкатегорией S состоящий из модулей, изоморфных ${ displaystyle R ^ {n}}$ (таким образом, ${ displaystyle BS_ {n}}$ компонент связности, содержащий ${ displaystyle R ^ {n}}$ ). Позволять ${ displaystyle e in pi _ {0} (BS)}$ быть компонентом, содержащим р. Тогда по теореме Квиллена

{ displaystyle H_ {p} (B (S ^ {- 1} S) ^ {0}) subset H_ {p} (B (S ^ {- 1} S)) = H_ {p} (BS) [ pi _ {0} (BS) ^ {- 1}] = H_ {p} (BS) [e ^ {- 1}].}

Таким образом, класс слева имеет вид ${ displaystyle xe ^ {- n}}$ . Но ${ Displaystyle х mapsto xe ^ {m}}$ индуцируется действием ${ displaystyle R ^ {m} in S}$ . Следовательно,

{ displaystyle H_ {p} (B (S ^ {- 1} S) ^ {0}) = varinjlim H_ {p} (BS_ {n}) = varinjlim H_ {p} (BGL_ {n} (R )) = H_ {p} (BGL (R)), quad p geq 0.}

С ${ displaystyle B (S ^ {- 1} S) ^ {0}}$ является ЧАС-группа,

{ displaystyle pi _ {1} (B (S ^ {- 1} S) ^ {0}) = pi _ {1} (B (S ^ {- 1} S) ^ {0}) ^ { text {ab}} = H_ {1} (B (S ^ {- 1} S) ^ {0}) = H_ {1} (BGL (R)) = H_ {1} (GL (R)) = GL (R) ^ { text {ab}} = K_ {1} (R).}

Осталось посмотреть ${ displaystyle pi _ {2}}$ является ${ displaystyle K_ {2}}$ . Письмо ${ displaystyle Ff}$ для гомотопического слоя имеем длинную точную последовательность:

{ Displaystyle pi _ {2} (BGL (R)) = 0 к pi _ {2} (B (S ^ {- 1} S) ^ {0}) к pi _ {1} ( Ff) to pi _ {1} (BGL (R)) = GL (R) to K_ {1} (R).}

Из теории гомотопии мы знаем, что второй член является центральным; т.е. ${ Displaystyle pi _ {1} (Ff) к E (R)}$ это центральное расширение. Тогда из следующей леммы следует, что ${ displaystyle pi _ {1} (Ff)}$ это универсальное центральное расширение (т.е. ${ displaystyle pi _ {1} (Ff)}$ это Группа Steinberg из р и ядро ${ displaystyle K_ {2} (R)}$ .)

Лемма — Позволять ${ displaystyle f: от X до Y}$ - непрерывное отображение между связными CW-комплексами. Если ${ displaystyle f _ {*}: H _ {*} (X, L) to H _ {*} (Y, f ^ {*} L)}$ является изоморфизмом для любого система местных коэффициентов L на Икс, тогда

{ displaystyle H_ {1} ( pi _ {1} (Ff), mathbb {Z}) = H_ {2} ( pi _ {1} (Ff), mathbb {Z}) = 0.}

Доказательство: гомотопический тип ${ displaystyle Ff}$ не изменится, если мы заменим ж откатом ${ displaystyle { widetilde {f}}}$ по универсальному покрытию Y ${ displaystyle to Y}$ . Таким образом, мы можем заменить гипотезу той, что Y просто связано и ${ displaystyle H_ {p} (X, mathbb {Z}) simeq H_ {p} (Y, mathbb {Z}), p geq 0}$ . Теперь Спектральные последовательности Серра за ${ displaystyle Ff to X to Y}$ и ${ Displaystyle * к Y к Y}$ сказать:

{ displaystyle {} ^ {2} E_ {pq} = H_ {p} (Y, H_ {q} (Ff, mathbb {Z})) Rightarrow H_ {p + q} (X, mathbb {Z }),}

{ displaystyle {} ^ {2} E '_ {pq} = H_ {p} (Y, H_ {q} (*, mathbb {Z})) Rightarrow H_ {p + q} (Y, mathbb {Z}).}

Посредством теорема сравнения для спектральных последовательностей, следует, что ${ displaystyle {} ^ {2} E_ {0q} = {} ^ {2} E '_ {0q}}$ ; т.е. ${ displaystyle Ff}$ является ациклический. (По совпадению, перевернув аргумент, можно сказать, что это подразумевает ${ displaystyle H_ {p} (X, mathbb {Z}) simeq H_ {p} (Y, mathbb {Z});}$ Таким образом, условие леммы.) Далее, спектральная последовательность для покрытия ${ displaystyle { widetilde {Ff}} to Ff}$ с группой ${ Displaystyle G = pi _ {1} (Ff)}$ говорит: