Группа Стейнберга (K-теория) - Steinberg group (K-theory)

В алгебраическая K-теория, поле математика, то Группа Steinberg кольца это универсальное центральное расширение из коммутаторная подгруппа конюшни общая линейная группа из .

Он назван в честь Роберт Стейнберг, и это связано с ниже -группы, особенно и .

Определение

Абстрактно, учитывая кольцо , группа Штейнберга это универсальное центральное расширение из коммутаторная подгруппа из стабильная общая линейная группа (коммутатор совершенен и поэтому имеет универсальное центральное расширение).

Представление с использованием генераторов и отношений

Конкретная презентация с использованием генераторы и отношения как следует. Элементарные матрицы - т.е. матрицы вида , куда - единичная матрица, матрица с в -запись и нули в другом месте, и - удовлетворяют следующим соотношениям, называемым Отношения Штейнберга:

В нестабильная группа Штейнберга порядка над , обозначаемый , определяется образующими , куда и , эти генераторы подчиняются соотношениям Стейнберга. В стабильная группа Штейнберга, обозначаемый , это прямой предел системы . Ее также можно рассматривать как группу Стейнберга бесконечного порядка.

Картография дает групповой гомоморфизм . Поскольку элементарные матрицы порождают коммутаторная подгруппа, это отображение сюръективно на коммутаторную подгруппу.

Интерпретация как основная группа

Группа Стейнберга - это фундаментальная группа из Космос Володина, который является объединением классификация пространств из всесильный подгруппы GL (А).

Отношении K-теория

K1

это коядро карты , так как абелианизация и отображение сюръективен на коммутаторную подгруппу.

K2

это центр группы Штейнберга. Это было определение Милнора, и оно также следует из более общих определений высших -группы.

Это также ядро ​​отображения . Действительно, есть точная последовательность

Эквивалентно, это Множитель Шура группы элементарные матрицы, поэтому это также группа гомологий: .

K3

Герстен (1973) показало, что .

Рекомендации

  • Герстен, С. М. (1973) " кольца группы Steinberg », Труды Американского математического общества, Американское математическое общество, 37 (2): 366–368, Дои:10.2307/2039440, JSTOR  2039440