Точная категория - Exact category

В математика, точная категория это концепция теория категорий из-за Дэниел Квиллен который предназначен для инкапсуляции свойств короткие точные последовательности в абелевы категории не требуя, чтобы морфизмы действительно обладали ядра и коксовые ядра, что необходимо для обычного определения такой последовательности.

Определение

Точная категория E является аддитивная категория обладающий класс E «коротких точных последовательностей»: тройки объектов, соединенных стрелками

${displaystyle M 'o M o M' '}$

удовлетворяющие следующим аксиомам, вдохновленным свойствами короткие точные последовательности в абелева категория:

• E замкнуто относительно изоморфизмов и содержит канонические («точные с расщеплением») последовательности:

${displaystyle M 'o M'oplus M' 'o M' ';}$

• Предположим ${displaystyle M o M ''}$ появляется как вторая стрелка последовательности в E (это допустимый эпиморфизм) и ${displaystyle N o M ''}$ есть ли стрелка в E. Тогда их откат существует и его проекция на ${displaystyle N}$ также является допустимым эпиморфизмом. Вдвойне, если ${displaystyle M 'o M}$ появляется как первая стрелка последовательности в E (это допустимый мономорфизм) и ${displaystyle M 'o N}$ есть стрелка, то их выталкивание существует и его копроекция из ${displaystyle N}$ также является допустимым мономорфизмом. (Мы говорим, что допустимые эпиморфизмы «устойчивы относительно выталкивания», соответственно допустимые мономорфизмы «устойчивы относительно выталкивания».);
• Допустимые мономорфизмы: ядра соответствующих им допустимых эпиморфизмов и двойственно. Допустима композиция двух допустимых мономорфизмов (также допустимых эпиморфизмов);
• Предположим ${displaystyle M o M ''}$ это карта в E который допускает ядро ​​в E, и предположим ${displaystyle N o M}$ любая карта такая, что композиция ${displaystyle N o M o M ''}$ - допустимый эпиморфизм. Тогда так ${displaystyle M o M ''.}$ Вдвойне, если ${displaystyle M 'o M}$ допускает коядро и ${displaystyle M o N}$ таково, что ${displaystyle M 'o M o N}$ является допустимым мономорфизмом, то и ${displaystyle M 'o M.}$

Допустимые мономорфизмы обычно обозначаются ${displaystyle ightarrowtail}$ а допустимые эпиморфизмы обозначаются ${displaystyle woheadrightarrow.}$ Эти аксиомы не минимальны; на самом деле последний был показан Бернхардом Келлером (1990 ) быть избыточным.

Можно говорить о точный функтор между точными категориями точно так же, как в случае точные функторы абелевых категорий: точный функтор ${displaystyle F}$ из точной категории D к другому E является аддитивный функтор так что если

${displaystyle M'ightarrowtail M woheadrightarrow M ''}$

точно в D, тогда

${displaystyle F (M ') ightarrowtail F (M) woheadrightarrow F (M' ')}$

точно в E. Если D является подкатегорией E, это точная подкатегория если функтор включения полностью точен и точен.

Мотивация

Точные категории происходят из абелевых категорий следующим образом. Предположим А абелева и пусть E быть любым строго полный аддитивная подкатегория, замкнутая расширения в том смысле, что дана точная последовательность

${displaystyle 0 o M 'o M o M' 'o 0}$

в А, то если ${displaystyle M ', M' '}$ находятся в E, так это ${displaystyle M}$. Мы можем взять класс E быть просто последовательностями в E которые точны в А; это,

${displaystyle M 'o M o M' '}$

в E если только

${displaystyle 0 o M 'o M o M' 'o 0}$

точно в А. потом E является точной категорией в указанном выше смысле. Проверяем аксиомы:

• E замкнута относительно изоморфизмов и содержит расщепляемые точные последовательности: они истинны по определению, поскольку в абелевой категории любая последовательность, изоморфная точной, также является точной, и поскольку расщепляемые последовательности всегда точны в А.
• Допустимые эпиморфизмы (соответственно допустимые мономорфизмы) устойчивы относительно обратных образов (соответственно выталкиваний): заданной точной последовательности объектов в E,

${displaystyle 0 o M '{xrightarrow {f}} M o M' 'o 0,}$

и карта ${displaystyle N o M ''}$ с участием ${displaystyle N}$ в E, проверяется, что следующая последовательность также точна; поскольку E устойчиво относительно расширений, это означает, что ${displaystyle M imes _ {M ''} N}$ в E:

${displaystyle 0 o M '{xrightarrow {(f, 0)}} M imes _ {M' '} N o N o 0.}$

• Каждый допустимый мономорфизм является ядром своего соответствующего допустимого эпиморфизма, и наоборот: это верно как морфизмы в А, и E это полная подкатегория.
• Если ${displaystyle M o M ''}$ допускает ядро ​​в E и если ${displaystyle N o M}$ таково, что ${displaystyle N o M o M ''}$ является допустимым эпиморфизмом, то также ${displaystyle M o M ''}$: См. Quillen (1972 ).

Наоборот, если E любая точная категория, мы можем взять А быть категорией точные слева функторы от E в категорию абелевы группы, который сам является абелевым и в котором E является естественной подкатегорией (через Йонеда вложение, поскольку Hom точна слева), устойчивая относительно расширений и в которой последовательность принадлежит E если и только если это точно в А.

Примеры

• Любая абелева категория очевидным образом точна согласно построению # Мотивация.
• Менее тривиальный пример - категория Ab_tf из абелевы группы без кручения, которая является строго полной подкатегорией (абелевой) категории Ab всех абелевых групп. Он закрыт под расширениями: если

${displaystyle 0 o A o B o C o 0}$

короткая точная последовательность абелевых групп, в которой ${displaystyle A, C}$ без кручения, то ${displaystyle B}$ не имеет кручения по следующему аргументу: если ${displaystyle b}$ является элементом кручения, то его изображение в ${displaystyle C}$ равен нулю, так как ${displaystyle C}$ без кручения. Таким образом ${displaystyle b}$ лежит в ядре карты в ${displaystyle C}$, который ${displaystyle A}$, но он также не имеет кручения, поэтому ${displaystyle b = 0}$. Построением # Мотивация, Ab_tf это точная категория; некоторые примеры точных последовательностей в нем:

${displaystyle 0 o mathbb {Z} {xrightarrow {left ({egin {smallmatrix} 1 2end {smallmatrix}} ight)}} mathbb {Z} ^ {2} {xrightarrow {(-2,1)}} mathbb { Z} o 0,}$

${displaystyle 0 o mathbb {Q} o mathbb {R} o mathbb {R} / mathbb {Q} o 0,}$

${displaystyle 0 o dOmega ^ {0} (S ^ {1}) o Omega _ {c} ^ {1} (S ^ {1}) o H_ {ext {dR}} ^ {1} (S ^ {1 }) o 0,}$

где последний пример вдохновлен когомологии де Рама (${displaystyle Omega _ {c} ^ {1} (S ^ {1})}$ и ${displaystyle dOmega ^ {0} (S ^ {1})}$ являются замкнутые и точные дифференциальные формы на круговая группа ); в частности, известно, что группа когомологий изоморфна действительным числам. Эта категория не абелева.

• Следующий пример в некотором смысле дополняет приведенный выше. Позволять Ab_т - категория абелевых групп с участием кручение (а также нулевая группа). Это аддитивная и строго полная подкатегория Ab очередной раз. Еще проще убедиться, что он устойчив при расширениях: если

${displaystyle 0 o A o B o C o 0}$

- точная последовательность, в которой ${displaystyle A, C}$ есть кручение, то ${displaystyle B}$ естественно имеет все элементы кручения ${displaystyle A}$. Таким образом, это точная категория; некоторые примеры его точных последовательностей:

${displaystyle 0 o mathbb {Z} / 2mathbb {Z} o mathbb {Z} / 4mathbb {Z} o mathbb {Z} / 2mathbb {Z} o 0,}$

${displaystyle 0 o mathbb {Z} / 2mathbb {Z} {xrightarrow {(1,0,0)}} (mathbb {Z} / 2mathbb {Z}) ^ {2} oplus mathbb {Z} o (mathbb {Z } / 2mathbb {Z}) oplus mathbb {Z} o 0,}$

${displaystyle 0 o (mathbb {Z} / 2mathbb {Z}) oplus mathbb {Z} o (mathbb {Z} / 2mathbb {Z}) ^ {2} oplus mathbb {Z} {xrightarrow {(0,1,0 )}} mathbb {Z} / 2mathbb {Z} o 0,}$

где во втором примере ${displaystyle (1,0,0)}$ означает включение в качестве первого слагаемого, а в последнем примере ${displaystyle (0,1,0)}$ означает проекцию на второе слагаемое. Одна интересная особенность этой категории состоит в том, что она показывает, что понятие когомологий не имеет смысла в общих точных категориях: для рассмотрения «сложных»

${displaystyle mathbb {Z} / 2mathbb {Z} {xrightarrow {(1,0,0)}} (mathbb {Z} / 2mathbb {Z}) ^ {2} oplus mathbb {Z} {xrightarrow {(0,1 , 0)}} mathbb {Z} / 2mathbb {Z}}$

который получается путем вставки отмеченных стрелок в последних двух примерах выше. Вторая стрелка - допустимый эпиморфизм, и ее ядро ​​(из последнего примера) ${displaystyle (mathbb {Z} / 2mathbb {Z}) oplus mathbb {Z}}$. Поскольку две стрелки составляют ноль, первая стрелка факторы через это ядро, и фактически факторизация - это включение в качестве первого слагаемого. Таким образом, частное, если бы оно существовало, должно было бы быть ${displaystyle mathbb {Z}}$, которого на самом деле нет в Ab_т. То есть когомологии этого комплекса не определены.

использованная литература

• Келлер, Бернхард (1990). «Цепные комплексы и стабильные категории». Manuscripta Mathematica. 67: 379–417. CiteSeerX  10.1.1.146.3555. Дои:10.1007 / BF02568439. Приложение A. Точные категорииCS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)

• Квиллен, Дэниел (1972). Высшая алгебраическая K-теория I. Конспект лекций по математике. 341. Springer. С. 85–147. Дои:10.1007 / BFb0067053. ISBN  978-3-540-06434-3.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)