Модуль Нётериана - Википедия - Noetherian module

В абстрактная алгебра, а Нётерский модуль это модуль что удовлетворяет условие возрастающей цепи на его подмодули, где подмодули частично упорядочены включение.

Исторически, Гильберта был первым математиком, который работал со свойствами конечно порожденных подмодулей. Он доказал важную теорему, известную как Базисная теорема Гильберта что говорит о том, что любой идеал в многомерном кольце многочленов произвольного поля является конечно порожденный. Однако собственность названа в честь Эмми Нётер кто был первым, кто понял истинное значение собственности.

Характеристики и свойства

При наличии аксиома выбора,[нужна цитата ] Возможны две другие характеристики:

Если M - модуль, а K - подмодуль, то M является нётеровым тогда и только тогда, когда K и M/K нётерские. Это контрастирует с общей ситуацией с конечно порожденными модулями: подмодуль конечно порожденного модуля не обязательно должен быть конечно порожденным.

Примеры

  • В целые числа, рассматриваемый как модуль над кольцом целых чисел, является нётеровым модулем.
  • Если р = Mп(F) является полным матричное кольцо над полем, и M = Mп 1(F) - набор векторов-столбцов над F, тогда M можно превратить в модуль, используя умножение матриц на элементы р слева от элементов M. Это нётеровский модуль.
  • Любой модуль, конечный как множество, является нётеровым.
  • Любой конечно порожденный правый модуль над нётеровым справа кольцом является нётеровым модулем.

Использование в других структурах

Право Кольцо Нётериана р по определению нетерово право р модуль над собой, используя умножение справа. Точно так же кольцо называется левым нётеровым кольцом, когда р считается ли Нётериан левым р модуль. Когда р это коммутативное кольцо прилагательные левые-правые можно опустить, поскольку они не нужны. Кроме того, если р является нётерским с обеих сторон, его принято называть нётерским, а не «левым и правым нётерским».

Условие Нётерова также может быть определено для бимодульных структур: нётеровский бимодуль - это бимодуль, ч.у. подбимодулей которого удовлетворяет условию возрастающей цепи. Поскольку подбимодуль р-S бимодуль M является, в частности, левым R-модулем, если M считается левым р модуль были нётерскими, тогда M автоматически является нётеровым бимодулем. Однако может случиться так, что бимодуль является нётеровым, а его левая или правая структуры не являются нётеровыми.

Смотрите также

Рекомендации

  • Эйзенбуд Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии, Springer-Verlag, 1995.