Prime кольцо - Prime ring
В абстрактная алгебра, а ненулевой звенеть р это первичное кольцо если для любых двух элементов а и б из р, arb = 0 для всех р в р означает, что либо а = 0 или же б = 0. Это определение можно рассматривать как одновременное обобщение обоих целостные области и простые кольца.
Хотя в этой статье обсуждается приведенное выше определение, первичное кольцо может также относиться к минимальному ненулевому подкольцо из поле, который порождается его тождественным элементом 1 и определяется его характеристика. Для поля характеристики 0 первичным кольцом является целые числа, для характеристики п поле (с п а простое число ) первичное кольцо является конечное поле порядка п (ср. основное поле ).[1]
Эквивалентные определения
Кольцо р является простым тогда и только тогда, когда нулевой идеал {0} является главный идеал в некоммутативном смысле.
В этом случае эквивалентные условия для простых идеалов дают следующие эквивалентные условия для р быть первичным кольцом:
- Для любых двух идеалов А и B из р, AB = {0} подразумевает А = {0} или B = {0}.
- Для любых двух верно идеалы А и B из р, AB = {0} подразумевает А = {0} или B = {0}.
- Для любых двух оставили идеалы А и B из р, AB = {0} подразумевает А = {0} или B = {0}.
Используя эти условия, можно проверить, что следующие условия эквивалентны р будучи первичным кольцом:
- Все ненулевые правые идеалы верный как правильно р модули.
- Все ненулевые левые идеалы остаются верными р модули.
Примеры
- Любой домен первичное кольцо.
- Любой простое кольцо является первичным кольцом, и в более общем смысле: каждое левое или правое примитивное кольцо первичное кольцо.
- Любое кольцо матриц над областью целостности является первичным кольцом. В частности, кольцо целочисленных матриц 2 на 2 является первичным кольцом.
Характеристики
- А коммутативное кольцо является первичным кольцом тогда и только тогда, когда оно область целостности.
- Кольцо первично тогда и только тогда, когда его нулевой идеал является главный идеал.
- Ненулевое кольцо первично тогда и только тогда, когда моноид своего идеалы не хватает делители нуля.
- В кольцо матриц над первичным кольцом снова первичное кольцо.
Примечания
- ^ Страница 90 из Ланг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
Рекомендации
- Лам, Цит-Юэн (2001), Первый курс в некоммутативных кольцах (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95325-0, Г-Н 1838439