P-группа - P-group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В математика, конкретно теория групп, учитывая простое число п, а п-группа это группа в которой порядок каждого элемента является мощность из п. То есть для каждого элемента грамм из п-группа грамм, существует неотрицательное целое число п так что продукт п^п копии грамм, и не менее, равно элемент идентичности. Порядки разных элементов могут быть разными степенями п.

Абелев п-группы также называются п-начальный или просто начальный.

А конечная группа это п-группа тогда и только тогда, когда ее порядок (количество его элементов) - это степень п. Для конечной группы грамм, то Теоремы Силова гарантировать существование подгруппа из грамм порядка п^п для каждого основная сила п^п что делит порядок грамм.

В оставшейся части статьи рассматриваются конечные п-группы. Для примера бесконечного абелева п-группа, см. Prüfer group, а для примера бесконечного просто п-группа, см. Группа тарских монстров.

Характеристики

Каждый п-группа периодический поскольку по определению каждый элемент имеет конечный порядок.

Если п прост и грамм это группа порядка п^k, тогда грамм имеет нормальную подгруппу порядка п^м для каждого 1 ≤ м ≤ k. Это следует по индукции, используя Теорема Коши и Теорема о соответствии для групп. Схема доказательства выглядит следующим образом: поскольку центр Z из грамм является нетривиальный (см. ниже), согласно Теорема Коши Z имеет подгруппу ЧАС порядка п. Центральное место в грамм, ЧАС обязательно нормально в грамм. Теперь мы можем применить индуктивную гипотезу к Г / ч, а результат следует из теоремы о соответствии.

Нетривиальный центр

Один из первых стандартных результатов с использованием уравнение класса в том, что центр нетривиального конечного п-группа не может быть тривиальной подгруппой.^[1]

Это составляет основу многих индуктивных методов в п-группы.

Например, нормализатор N из собственная подгруппа ЧАС конечного п-группа грамм правильно содержит ЧАС, потому что для любого контрпример с ЧАС = N, центр Z содержится в N, а также в ЧАС, но есть и меньший пример ЧАС/Z чей нормализатор в грамм/Z является N/Z = ЧАС/Z, создавая бесконечный спуск. Как следствие, каждое конечное п-группа нильпотентный.

В другом направлении каждый нормальная подгруппа конечного п-группа пересекает центр нетривиально, что можно доказать, рассматривая элементы N которые фиксируются, когда грамм действует на N по спряжению. Поскольку каждая центральная подгруппа нормальна, отсюда следует, что каждая минимальная нормальная подгруппа конечной п-группа центральная и имеет порядок п. Действительно, цоколь конечного п-группа - это подгруппа центра, состоящая из центральных элементов порядка п.

Если грамм это п-группа, то так грамм/Z, а значит, и у него нетривиальный центр. Прообраз в грамм центра грамм/Z называется второй центр и эти группы начинают верхний центральный ряд. Обобщая предыдущие комментарии о цоколе, конечный п-группа с заказом п^п содержит нормальные подгруппы порядка п^я с 0 ≤ я ≤ п, и любая нормальная подгруппа порядка п^я содержится в яй центр Z_я. Если нормальная подгруппа не содержится в Z_я, то его пересечение с Z_я+1 имеет размер не менее п^я+1.

Автоморфизмы

В автоморфизм группы п-группы хорошо изучены. Как и все конечные п-группа имеет нетривиальный центр, так что группа внутренних автоморфизмов является собственным фактором группы, каждое конечное п-группа имеет нетривиальную группа внешних автоморфизмов. Каждый автоморфизм грамм индуцирует автоморфизм на грамм/ Φ (грамм), где Φ (грамм) это Подгруппа Фраттини из грамм. Фактор G / Φ (грамм) является элементарная абелева группа и это группа автоморфизмов это общая линейная группа, так что очень хорошо понятно. Отображение из группы автоморфизмов грамм в эту общую линейную группу изучалась Бернсайд, который показал, что ядром этой карты является п-группа.

Примеры

п-группы одного порядка не обязательно изоморфный; например, циклическая группа C₄ и Кляйн четыре группы V₄ обе являются 2-группами порядка 4, но они не изоморфны.

Не нужен п-группа быть абелевский; то группа диэдра Dih₄ порядка 8 - неабелева 2-группа. Однако каждая группа порядка п² абелева.^{[примечание 1]}

Группы диэдра очень похожи и очень отличаются от группы кватернионов и полудиэдральные группы. Вместе группы диэдра, полудиэдра и кватернионов образуют 2-группы максимальный класс, то есть группы порядка 2^п+1 и класс нильпотентности п.

Итерированные венки

Повторяющийся венки циклических групп порядка п очень важные примеры п-группы. Обозначим циклическую группу порядка п в качестве W(1), и сплетение W(п) с W(1) как W(п + 1). потом W(п) - силовский п-подгруппа симметричная группа Сим (п^п). Максимальный п-подгруппы полной линейной группы GL (п,Q) являются прямым продуктом различных W(п). В нем порядок п^k куда k = (п^п − 1)/(п - 1). Имеет класс нильпотентности п^п−1, и его нижний центральный ряд, верхний центральный ряд, нижний показатель -п центральный ряд, а верхний показатель -п центральные серии равны. Он порождается элементами порядка п, но его показатель равен п^п. Вторая такая группа, W(2), также является п-группа максимального класса, поскольку она имеет порядок п^п+1 и класс нильпотентности п, но не обычный п-группа. Так как группы заказа п^п всегда являются регулярными группами, это также минимальный такой пример.

Обобщенные диэдральные группы

Когда п = 2 и п = 2, W(п) - группа диэдра порядка 8, поэтому в некотором смысле W(п) является аналогом группы диэдра для всех простых чисел п когда п = 2. Однако для более высоких п аналогия становится натянутой. Существует другое семейство примеров, которые более точно имитируют группы диэдра порядка 2.^п, но для этого потребуется немного больше настроек. Обозначим через ζ примитивный пкорень -й степени из единицы комплексных чисел, пусть Z[ζ] - кольцо циклотомические целые числа порожденный им, и пусть п быть главный идеал порожденный 1 − ζ. Позволять грамм - циклическая группа порядка п генерируется элементом z. Сформировать полупрямой продукт E(п) из Z[ζ] и грамм куда z действует как умножение на ζ. Полномочия п^п нормальные подгруппы E(п), а примеры групп E(п,п) = E(п)/п^п. E(п,п) имеет порядок п^п+1 и класс нильпотентности п, так это п-группа максимального класса. Когда п = 2, E(2,п) - диэдральная группа порядка 2^п. Когда п странно, оба W(2) и E(п,п) - неправильные группы максимального класса и порядка п^п+1, но не изоморфны.

Группы унитреугольных матриц

Силовские подгруппы общие линейные группы - еще одно фундаментальное семейство примеров. Позволять V быть векторным пространством размерности п с основанием { е₁, е₂, ..., е_п } и определим V_я быть векторным пространством, порожденным { е_я, е_я+1, ..., е_п } для 1 ≤ я ≤ п, и определим V_я = 0, когда я > п. Для каждого 1 ≤ м ≤ п, множество обратимых линейных преобразований V которые принимают каждый V_я к V_я+м образуют подгруппу Aut (V) обозначается U_м. Если V это векторное пространство над Z/пZ, тогда U₁ силовский п-подгруппа Aut (V) = GL (п, п), а условия ее нижний центральный ряд просто U_м. Что касается матриц, U_м те верхнетреугольные матрицы с единицами на одной диагонали и нулями на первой м−1 супердиагонали. Группа U₁ есть заказ п^{п·(п−1)/2}, класс нильпотентности п, и экспонента п^k куда k - наименьшее целое число не меньше основания п логарифм из п.

Классификация

Группы заказа п^п для 0 ≤ п ≤ 4 были классифицированы в начале истории теории групп,^[2] и современная работа распространила эти классификации на группы, порядок которых разделяет п⁷, хотя количество семейств таких групп растет так быстро, что человеческому разуму трудно понять дальнейшие классификации по этим линиям.^[3] Например, Маршалл Холл мл. и Джеймс К. Старший классифицированные группы порядка 2^п за п ≤ 6 в 1964 г.^[4]

Вместо того, чтобы классифицировать группы по порядку, Филип Холл предложил использовать понятие изоклинизм групп которые собрали конечные п-группы в семейства на основе большого фактора и подгрупп.^[5]

Совершенно иной метод классификации конечных п-группы по своим кокласс, то есть разница между их длина композиции и их класс нильпотентности. Так называемой гипотезы кокласса описал множество всех конечных п-группы фиксированного кокласса как возмущения конечного числа группы pro-p. Гипотезы кокласса были доказаны в 1980-х годах с использованием методов, связанных с Алгебры Ли и мощные p-группы.^[6] Окончательные доказательства теоремы кокласса принадлежат А. Шалеву и независимо от К. Р. Лидхэм-Грину, оба в 1994 г. Они допускают классификацию конечных п-группы в ориентированные коклассовые графы состоящий только из конечного числа коклассовых деревьев, чьи (бесконечно много) члены характеризуются конечным числом параметризованных представлений.

Каждая группа заказа п⁵ является метабелевский.^[7]

Вплоть до п³

Тривиальная группа - единственная группа первого порядка, а циклическая группа C_п это единственная группа заказа п. Есть ровно две группы заказов п², оба абелевы, а именно C_п² и C_п × C_п. Например, циклическая группа C₄ и Кляйн четыре группы V₄ который C₂ × C₂ обе являются 2-группами порядка 4.

Есть три абелевых группы порядка п³, а именно C_п³, C_п²×C_п, и C_п×C_п×C_п. Также есть две неабелевы группы.

За п ≠ 2, один является полупрямым произведением C_п×C_п с C_п, а другой - полупрямое произведение C_п² с C_п. Первую можно иначе описать как группу UT (3,п) унитреугольных матриц над конечным полем с п элементы, также называемые Мод группы Гейзенберга п.

За п = 2, оба упомянутых полупрямых произведения изоморфны группа диэдра Dih₄ порядка 8. Другая неабелева группа порядка 8 - это группа кватернионов Q₈.

Распространенность

Среди групп

Число классов изоморфизма групп порядка п^п растет как ${displaystyle p ^ {{frac {2} {27}} n ^ {3} + O (n ^ {8/3})}}$, и среди них преобладают классы, которые являются двухступенчатыми нильпотентными.^[8] Из-за такого быстрого роста существует фольклор гипотеза, утверждающая, что почти все конечные группы 2-группы: фракция классы изоморфизма 2-групп среди классов изоморфизма групп порядка не выше п считается, что стремится к 1 как п стремится к бесконечности. Например, из 49 910 529 484 различных групп порядка не более 2000, 49 487 365 422 или чуть более 99% составляют 2 группы порядка 1024.^[9]

Внутри группы

Каждая конечная группа, порядок которой делится на п содержит подгруппу, которая является нетривиальной п-группа, а именно циклическая группа порядка п генерируется элементом порядка п получен из Теорема Коши. Фактически, он содержит п-группа максимально возможного порядка: если ${displaystyle | G | = n = p ^ {k} m}$ куда п не разделяет м, тогда грамм имеет подгруппу п порядка ${displaystyle p ^ {k},}$ называется силовским п-подгруппа. Эта подгруппа не обязательно должна быть уникальной, но любые подгруппы этого порядка сопряжены, и любые п-подгруппа грамм содержится в силовском п-подгруппа. Это и другие свойства доказаны в Теоремы Силова.

Приложение к структуре группы

п-группы являются фундаментальными инструментами для понимания структуры групп и классификация конечных простых групп. п-группы возникают как как подгруппы, так и как фактор-группы. Как подгруппы, для данного простого числа п у одного есть силовский п-подгруппы п (самый большой п-подгруппа не единственная, но все сопряженная) и п-основной ${displaystyle O_ {p} (G)}$ (уникальный по величине нормальный п-подгруппа) и другие. В качестве частных наибольшее п-групповое частное - это частное грамм посредством п-остаточная подгруппа ${displaystyle O ^ {p} (G).}$ Эти группы связаны (для разных простых чисел), обладают важными свойствами, такими как теорема о фокальной подгруппе, и позволяют определить многие аспекты структуры группы.

Местное управление

Большая часть структуры конечной группы содержится в структуре ее так называемой локальные подгруппы, то нормализаторы неидентичности п-подгруппы.^[10]

Большой элементарные абелевы подгруппы конечной группы осуществляют контроль над группой, которая использовалась в доказательстве Теорема Фейта – Томпсона. Определенный центральные пристройки элементарных абелевых групп, называемых особые группы помочь описать структуру групп как действующих на симплектические векторные пространства.

Ричард Брауэр классифицировал все группы, силовские 2-подгруппы которых являются прямым произведением двух циклических групп порядка 4, и Джон Уолтер, Даниэль Горенштейн, Гельмут Бендер, Мичио Сузуки, Джордж Глауберман, и другие классифицировали те простые группы, силовские 2-подгруппы которых были абелевыми, диэдральными, полудиэдральными или кватернионными.

Смотрите также

• Элементарная группа
• Прюфер ранг
• Регулярная p-группа

Сноски

Примечания

Цитаты

Рекомендации

дальнейшее чтение

внешняя ссылка

• Роуленд, Тодд & Вайсштейн, Эрик В. "П-Групп". MathWorld.