Регулярная p-группа - Regular p-group

В математический конечный теория групп, Концепция чего-либо обычный п-группа отражает некоторые из наиболее важных свойств абелевский п-группы, но достаточно общий, чтобы включать самые "маленькие" п-группы. Обычный п-группы были введены Филлип Холл (1934 ).

Определение

Конечная п-группа грамм как говорят обычный если любой из следующих эквивалентов (Зал 1959, Гл. 12.4), (Хупперт 1967, Кап. III §10) выполнены условия:

Для каждого а, б в грамм, Существует c в производная подгруппа ЧАС′ Подгруппы ЧАС из грамм создано а и б, так что а^п · б^п = (ab)^п · c^п.
Для каждого а, б в грамм, есть элементы c_я в производной подгруппе подгруппы, порожденной а и б, так что а^п · б^п = (ab)^п · c₁^п ⋯ c_k^п.
Для каждого а, б в грамм и каждое положительное целое число п, есть элементы c_я в производной подгруппе подгруппы, порожденной а и б такой, что а^q · б^q = (ab)^q · c₁^q ⋯ c_k^q, куда q = п^п.

Примеры

Многие знакомые п-группы регулярные:

Каждый абелевский п-группа регулярна.
Каждый п-группа класс нильпотентности строго меньше чем п регулярно. Это следует из Идентичность Холла – Петреско.
Каждый п-группа порядок в большинстве п^п регулярно.
Каждая конечная группа показатель степени п регулярно.

Однако многие знакомые п-группы не являются регулярными:

Всякая неабелева 2-группа нерегулярна.
В Силовский п-подгруппа из симметричная группа на п² очки нерегулярны и в порядке п^п+1.

Характеристики

А п-группа регулярная если и только если каждый подгруппа порожденный двумя элементами, является регулярным.

Каждая подгруппа и факторгруппа регулярной группы регулярна, но прямой продукт регулярных групп не обязательно должны быть регулярными.

2-группа регулярна тогда и только тогда, когда она абелева. 3-группа с двумя образующими регулярна тогда и только тогда, когда ее производная подгруппа циклический. Каждый п-группа нечетного порядка с циклической производной подгруппой регулярна.

Подгруппа п-группа грамм порожденный элементами разделения порядка п^k обозначается Ω_k(грамм) и регулярные группы хорошо себя ведут в том, что Ω_k(грамм) - это в точности множество элементов порядка, делящего п^k. Подгруппа, порожденная всеми п^k-я степень элементов в грамм обозначается ℧_k(грамм). В обычной группе индекс [G: ℧_k(грамм)] равен порядку Ω_k(грамм). На самом деле коммутаторы и мощности взаимодействуют особенно простыми способами (Хупперт 1967, Kap III §10, Satz 10.8). Например, учитывая нормальные подгруппы M и N регулярного п-группа грамм и неотрицательные целые числа м и п, есть [℧_м(M),℧_п(N)] = ℧_м+п([M,N]).

Филип Холл критерии регулярности п-группа грамм: грамм является регулярным, если выполняется одно из следующих условий:
1. [грамм:℧₁(грамм)] < п^п
2. [грамм′:℧₁(ГРАММ')| < п^п−1
3. | Ω₁(грамм)| < п^п−1

Обобщения

Мощная p-группа
мощность закрыта п-группа

Регулярная p-группа - Regular p-group

Содержание

Определение

Примеры

Характеристики

Обобщения

Рекомендации