Подгруппы омега и агемо - Omega and agemo subgroup

В математика, или более конкретно теория групп, то омега и Agemo подгруппы описал так называемую «силовую структуру» конечный п-группа. Они были введены в (Зал 1933 ), где они использовались для описания класса конечных п-группы, структура которых достаточно похожа на структуру конечных абелевский п-группы, так называемые, регулярные p-группы. Отношения между властью и коммутатор структура является центральной темой в современном исследовании п-группы, как показано в работе по равномерно мощные p-группы.

Слово «агэмо» - это просто «омега», написанное наоборот, а подгруппа агемо обозначается перевернутой омегой.

Определение

Подгруппы омега - это серии подгрупп конечной p-группы, грамм, индексированные натуральными числами:

${displaystyle Omega _ {i} (G) = langle {g: g ^ {p ^ {i}} = 1} угол.}$

Подгруппы agemo представляют собой серию подгрупп:

${displaystyle mho ^ {i} (G) = langle {g ^ {p ^ {i}}: gin G} angle.}$

Когда я = 1 и п странно, то я обычно не включается в определение. Когда п четное, опущенное я может означать либо я = 1 или я = 2 в зависимости от местного соглашения. В этой статье мы используем соглашение, согласно которому опущенный я всегда указывает я = 1.

Примеры

В диэдральная группа порядка 8, грамм, удовлетворяет: ℧ (грамм) = Z (грамм) = [ грамм, грамм ] = Φ (грамм) = Soc (грамм) - единственная нормальная подгруппа порядка 2, обычно реализуемая как подгруппа, содержащая единицу и поворот на 180 °. Однако Ω (грамм) = грамм это вся группа, так как грамм порождается отражениями. Это показывает, что Ω (грамм) не обязательно должен быть набором элементов порядка п.

В группа кватернионов порядка 8, ЧАС, удовлетворяет Ω (ЧАС) = ℧(ЧАС) = Z (ЧАС) = [ ЧАС, ЧАС ] = Φ (ЧАС) = Soc (ЧАС) - единственная подгруппа порядка 2, обычно реализуемая как подгруппа, содержащая только 1 и −1.

В Силовский п-подгруппа, п, из симметричная группа на п² очков венок из двух циклические группы первого порядка. Когда п = 2, это как раз группа диэдра порядка 8. Она тоже удовлетворяет Ω (п) = п. Снова ℧ (п) = Z (п) = Soc (п) цикличен порядка п, но [ п, п ] = Φ (грамм) элементарный абелев порядка п^п−1.

В полупрямой продукт циклической группы порядка 4, действующей нетривиально на циклической группе порядка 4,

${displaystyle K = langle a, b: a ^ {4} = b ^ {4} = 1, ba = ab ^ {3} angle,}$

имеет ℧ (K) элементарный абелев порядка 4, но множество квадратов просто {1, аа, bb }. Здесь элемент aabb из ℧ (K) не является квадратом, показывая, что ℧ - это не просто множество квадратов.

Характеристики

В этом разделе пусть грамм быть конечным п-группа порядок |грамм| = п^п и показатель степени ехр (грамм) = п^k обладают рядом полезных свойств.

Общие свойства

• Оба Ω_я(грамм) и ℧^я(грамм) находятся характеристические подгруппы из грамм для всех натуральных чисел, я.
• Подгруппы омега и агемо образуют две нормальная серия:

грамм = ℧⁰(грамм) ≥ ℧¹(грамм) ≥ ℧²(грамм) ≥ ... ≥ ℧^k−2(грамм) ≥ ℧^k−1(грамм) > ℧^k(грамм) = 1

грамм = Ω_k(грамм) ≥ Ω_k−1(грамм) ≥ Ω_k−2(грамм) ≥ ... ≥ Ω₂(грамм) ≥ Ω₁(грамм)> Ω₀(грамм) = 1

и серии слабо переплетаются: Для всех я от 1 до k:

℧^я(грамм) ≤ Ω_k−я(грамм), но

℧^я−1(грамм) не содержится в Ω_k−я(грамм).

Поведение при факторах и подгруппах

Если ЧАС ≤ грамм это подгруппа из грамм и N ⊲ грамм это нормальная подгруппа из грамм, тогда:

• ℧^я(ЧАС) ≤ ЧАС ∩ ℧^я(грамм)
• Ω_я(ЧАС) = ЧАС ∩ Ω_я(грамм)
• ℧^я(N) ⊲ грамм
• Ω_я(N) ⊲ грамм
• ℧^я(грамм/N) = ℧^я(грамм)N/N
• Ω_я(грамм/N) ≥ Ω_я(грамм)N/N

Отношение к другим важным подгруппам

• Soc (грамм) = Ω (Z (грамм)), подгруппа, состоящая из центральных элементов порядка п это цоколь, Soc (грамм), из грамм
• Φ(грамм) = ℧(грамм)[грамм,грамм], подгруппа, порожденная всеми псилы и коммутаторы это Подгруппа Фраттини, Φ (грамм), из грамм.

Отношения в особых классах групп

• В абелевой п-группа, или, в более общем смысле, в обычном п-группа:

|℧^я(грамм) | ⋅ | Ω_я(грамм)| = |грамм|

[℧^я(грамм):℧^я+1(грамм)] = [Ω_я(грамм): Ω_я+1(грамм)],

где |ЧАС| это порядок из ЧАС и [ЧАС:K] = |ЧАС|/|K| обозначает индекс подгрупп K ≤ ЧАС.

Приложения

Первое применение подгрупп омега и агемо состояло в том, чтобы провести аналогию с обычный п-группы с абелевский п-группы в (Зал 1933 ).

Группы, в которых Ω (грамм) ≤ Z (грамм) были изучены Джон Г. Томпсон и видели несколько более свежих приложений.

Двойственное понятие, группы с [грамм,грамм] ≤ ℧(грамм) называются мощные p-группы и были представлены Авиноам Манн. Эти группы сыграли решающую роль в доказательстве гипотезы кокласса который представил важный способ понять структуру и классификацию конечных п-группы.

Рекомендации

• Dixon, J.D .; дю Сотуа, М. П. Ф.; Mann, A .; Сигал, Д. (1991), Аналитические про-p-группы, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-39580-1, МИСТЕР  1152800
• Холл, Филипп (1933), "Вклад в теорию групп порядка простой степени", Труды Лондонского математического общества, 36: 29–95, Дои:10.1112 / плмс / с2-36.1.29
• Лидхэм-Грин, К.; Маккей, Сьюзан (2002), Структура групп первичного степенного порядка, Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, 27, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853548-5, МИСТЕР  1918951
• Маккей, Сьюзан (2000), Конечные p-группы, Математические заметки королевы Марии, 18, Лондонский университет, ISBN  978-0-902480-17-9, МИСТЕР  1802994