Цоколь (математика) - Socle (mathematics)

В математика, период, термин цоколь имеет несколько связанных значений.

Цоколь группы

В контексте теория групп, то цоколь группа грамм, обозначается soc (грамм), это подгруппа генерируется минимальные нормальные подгруппы из грамм. Может случиться так, что группа не имеет минимальной нетривиальной нормальной подгруппы (то есть каждая нетривиальная нормальная подгруппа должным образом содержит другую такую ​​подгруппу), и в этом случае цоколь определяется как подгруппа, порожденная единицей. Цоколь является прямым продуктом минимальных нормальных подгрупп.^[1]

В качестве примера рассмотрим циклическая группа Z₁₂ с генератор ты, который имеет две минимальные нормальные подгруппы, одна из которых порождена ты⁴ (что дает нормальную подгруппу с 3 элементами), а другой - ты⁶ (что дает нормальную подгруппу с 2 элементами). Таким образом, цоколь Z₁₂ группа, порожденная ты⁴ и ты⁶, которая представляет собой группу, порожденную ты².

Цоколь - это характеристическая подгруппа, а значит, и нормальная подгруппа. Это не обязательно переходно нормальный, тем не мение.

Если группа грамм конечный разрешимая группа, то цоколь можно представить как произведение элементарный абелев п-группы. Таким образом, в данном случае это просто продукт копий Z/пZ для различных п, где то же п может встречаться в продукте несколько раз.

Цоколь модуля

В контексте теория модулей и теория колец то цоколь модуль M через звенеть р определяется как сумма минимальных ненулевых подмодулей модуля M. Его можно рассматривать как двойное понятие к тому из радикал модуля. В установленных обозначениях

${displaystyle mathrm {soc} (M) = sum {Nmid N {ext {простой подмодуль}} M}.}$

Эквивалентно,

${displaystyle mathrm {soc} (M) = igcap {Emid E {ext {является важным подмодулем}} M}.}$

В цоколь кольца р может относиться к одному из двух наборов в кольце. Учитывая р как право р модуль, soc (р_р) определена, и учитывая р как левый р модуль, soc (_рр) определено. Оба эти цоколя идеалы кольца, и известно, что они не обязательно равны.

• Если M является Артинианский модуль, soc (M) сам по себе существенный подмодуль из M.
• Модуль - это полупростой тогда и только тогда, когда soc (M) = M. Кольца для которых soc (M) = M для всех M точно полупростые кольца.
• soc (soc (M)) = soc (M).
• M это конечно когенерационный модуль тогда и только тогда, когда soc (M) конечно порождена, а soc (M) - существенный подмодуль из M.
• Поскольку сумма полупростых модулей полупроста, цоколь модуля можно также определить как единственный максимальный полупростой подмодуль.
• Из определения рад (р), легко видеть, что rad (р) уничтожает soc (р). Если р конечномерная единица алгебра и M конечно порожденный р-модуля, то цоколь состоит именно из элементов, аннулируемых Радикал Якобсона из р.^[2]

Цоколь алгебры Ли

В контексте Алгебры Ли, а цоколь симметрическая алгебра Ли это собственное подпространство структурных автоморфизм что соответствует собственному значению −’1. (Симметричная алгебра Ли распадается на прямая сумма его цоколя и косокль.)^[3]

Смотрите также

• Инъективный корпус
• Радикальный модуль
• Cosocle

Рекомендации

• Альперин, Дж.; Белл, Роуэн Б. (1995). Группы и представления. Springer-Verlag. п.136. ISBN  0-387-94526-1.
• Андерсон, Фрэнк Уайли; Фуллер, Кент Р. (1992). Кольца и категории модулей. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-97845-1.
• Робинсон, Дерек Дж. С. (1996), Курс теории групп, Тексты для выпускников по математике, 80 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xviii + 499, Дои:10.1007/978-1-4419-8594-1, ISBN  0-387-94461-3, МИСТЕР  1357169

Указатель статей, связанных с тем же именем Этот статья включает список связанных элементов с одинаковыми именами (или похожими именами). Если внутренняя ссылка неправильно привел вас сюда, вы можете изменить ссылку, чтобы она указывала непосредственно на предполагаемую статью.