Генераторная группа группы - Generating set of a group

5-й корни единства в комплексной плоскости образуют группа при умножении. Каждый неидентификационный элемент порождает группу.

В абстрактная алгебра, а генераторная установка группы это подмножество группы, такой что каждый элемент группа можно выразить как комбинацию (при групповой операции) конечного числа элементов подмножества и их обратное.

Другими словами, если S является подмножеством группы грамм, тогда ⟨S⟩, подгруппа, порожденная S, самый маленький подгруппа из грамм содержащий каждый элемент S, которое равно пересечению по всем подгруппам, содержащим элементы S; эквивалентно ⟨S⟩ - подгруппа всех элементов грамм что может быть выражено как конечное произведение элементов в S и их обратные. (обратите внимание, что инверсии необходимы только в том случае, если группа бесконечна; в конечной группе инверсия элемента может быть выражена как степень этого элемента.)

Если грамм = ⟨S⟩, То говорим, что S генерирует грамм, а элементы в S называются генераторы или же групповые генераторы. Если S - пустое множество, то ⟨S⟩ это тривиальная группа {е}, так как мы считаем пустой продукт тождеством.

Когда есть только один элемент Икс в S, ⟨S⟩ Обычно записывается как ⟨Икс⟩. В этом случае, ⟨Икс⟩ это циклическая подгруппа полномочий Икс, а циклическая группа, и мы говорим, что эта группа порождается Икс. Эквивалентно произнесению элемента Икс генерирует группу, говорит, что ⟨Икс⟩ Равно всей группе грамм. За конечные группы, это также эквивалентно тому, что Икс имеет порядок |грамм|.

Если грамм это топологическая группа затем подмножество S из грамм называется набором топологические генераторы если ⟨S⟩ Плотно в грамм, т.е. закрытие из ⟨S⟩ Это вся группа грамм.

Конечно порожденная группа

Если S конечно, то группа $грамм = ⟨ S ⟩$ называется конечно порожденный. Структура конечно порожденные абелевы группы в частности, легко описывается. Многие теоремы, верные для конечно порожденных групп, в общем случае неверны. Было доказано, что если конечная группа порождается подмножеством S, то каждый элемент группы может быть выражен как слово из алфавита S длины, меньшей или равной порядку группы.

Каждая конечная группа конечно порождена, поскольку $⟨ грамм ⟩ = грамм$ . В целые числа при добавлении являются примером бесконечной группы, которая конечно порождается как 1, так и −1, но группа рациональные при сложении не может быть конечно порожденным. Нет бесчисленный группа может быть конечно порождена. Например, добавляемая группа действительных чисел (р, +).

Различные подмножества одной и той же группы могут порождать подмножества. Например, если п и q целые числа с $gcd (п, q) = 1$ , тогда ${п, q}$ также генерирует группу целых чисел при сложении Личность Безу.

Хотя это правда, что каждый частное конечно порожденной группы конечно порождена (образы образующих в факторе дают конечное порождающее множество), подгруппа конечно порожденной группы не обязательно быть конечно порожденной. Например, пусть грамм быть свободная группа в двух генераторах, Икс и у (который, очевидно, конечно порожден, поскольку грамм = ⟨{Икс,у}⟩), и разреши S - подмножество, состоящее из всех элементов грамм формы у^пху^−п за п а натуральное число. ⟨S⟩ является изоморфный в свободную группу в счетно бесконечном числе образующих, и поэтому не может быть конечно порожденной. Однако любая подгруппа конечно порожденного абелева группа само по себе конечно порождено. На самом деле можно сказать больше: класс всех конечно порожденных групп замкнут относительно расширения. Чтобы убедиться в этом, возьмем набор порождающих (конечно порожденных) нормальная подгруппа и частное. Затем образующие нормальной подгруппы вместе с прообразами образующих фактора порождают группу.

Бесплатная группа

Самая общая группа, порожденная множеством S это группа свободно генерируемый к S. Каждая группа, порожденная S, является изоморфный к частное этой группы, особенность, которая используется в выражении групповых презентация.

Подгруппа Фраттини

Интересная сопутствующая тема - тема негенераторы. Элемент Икс группы грамм не является генератором, если каждый набор S содержащий Икс что порождает грамм, по-прежнему генерирует грамм когда Икс удален из S. В целых числах с добавлением единственный не-образующий равен 0. Набор всех не-образующих образует подгруппу грамм, то Подгруппа Фраттини.

Примеры

В группа единиц U (Z₉) - группа всех целых чисел относительно простой до 9 при умножении $мод 9$ $(U 9 = {1, 2, 4, 5, 7, 8}$ ). Вся арифметика здесь сделана по модулю 9. Семерка не является генератором U (Z₉), поскольку

{ displaystyle {7 ^ {i} { bmod {9}} | i in mathbb {N} } = {7,4,1 }.}

а 2 - так как:

{ displaystyle {2 ^ {i} { bmod {9}} | i in mathbb {N} } = {2,4,8,7,5,1 }.}

С другой стороны, для п > 2 симметричная группа степени п не является циклическим, поэтому он не создается каким-либо одним элементом. Однако он порождается двумя перестановками (1 2) и $(1 2 3 ... п)$ . Например, для S₃ у нас есть:

е = (1 2)(1 2)

(1 2) = (1 2)

(2 3) = (1 2)(1 2 3)

(1 3) = (1 2 3)(1 2)

(1 2 3) = (1 2 3)

(1 3 2) = (1 2)(1 2 3)(1 2)

Бесконечные группы также могут иметь конечные порождающие множества. Аддитивная группа целых чисел имеет 1 как порождающий набор. Элемент 2 не является генераторной установкой, так как нечетные числа будут отсутствовать. Двухэлементное подмножество ${3, 5}$ является порождающим набором, поскольку $(-5) + 3 + 3 = 1$ (на самом деле любая пара совмещать числа, как следствие Личность Безу ).

В группа диэдра порядка $п$ порождается множеством ${р, s}$ , куда $р$ представляет вращение на $π / п$ и $s$ есть любое отражение о линии симметрии.^[1]

В циклическая группа порядка $п$ , ${ Displaystyle mathbb {Z} / п mathbb {Z}}$ , а $п$ ^th корни единства все порождаются одним элементом (фактически, эти группы изоморфный для другого).^[2]

А презентация группы определяется как набор генераторов и набор отношений между ними, поэтому любой из примеров, перечисленных на этой странице, содержит примеры генерирующих наборов.^[3]

Полугруппы и моноиды

Если грамм это полугруппа или моноид, можно по-прежнему использовать понятие генераторной установки S из грамм. S является порождающим множеством полугруппы / моноида грамм если грамм наименьшая полугруппа / моноид, содержащая S.

Приведенные выше определения порождающего множества группы с использованием конечных сумм должны быть немного изменены, когда мы имеем дело с полугруппами или моноидом. Действительно, это определение больше не должно использовать понятие обратной операции. Набор S называется полугрупповой порождающей множеством грамм если каждый элемент грамм является конечной суммой элементов S. Аналогично множество S называется моноидным порождающим множеством грамм если каждый ненулевой элемент грамм является конечной суммой элементов S.

Например {1} является моноидным генератором множества неотрицательных натуральные числа ${ displaystyle mathbb {N} _ {0}}$ . Набор {1} также является полугрупповым генератором натуральных положительных чисел ${ displaystyle mathbb {N} _ {> 0}}$ . Однако целое число 0 не может быть выражено как (непустая) сумма 1's, таким образом {1} не является полугрупповым генератором неотрицательных натуральных чисел.

Аналогично, пока {1} является групповым генератором множества относительных целые числа ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ , {1} не является моноидным генератором набора относительных целых чисел. Действительно, целое число -1 не может быть выражена как конечная сумма 1'с.

Смотрите также

Примитивный элемент (конечное поле)
Граф Кэли
Генераторная установка для связанных значений в других структурах
Презентация группы

Примечания

^ С., Даммит, Дэвид (2004). Абстрактная алгебра. Фут, Ричард М., 1950- (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. п. 25. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264.
^ С., Даммит, Дэвид (2004). Абстрактная алгебра. Фут, Ричард М., 1950- (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. п. 54. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264.
^ С., Даммит, Дэвид (2004). Абстрактная алгебра. Фут, Ричард М., 1950- (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. п. 26. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264.

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Групповые генераторы». MathWorld.

[1] С., Даммит, Дэвид (2004). Абстрактная алгебра. Фут, Ричард М., 1950- (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. п. 25. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264.

[2] С., Даммит, Дэвид (2004). Абстрактная алгебра. Фут, Ричард М., 1950- (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. п. 54. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264.

[3] С., Даммит, Дэвид (2004). Абстрактная алгебра. Фут, Ричард М., 1950- (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. п. 26. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264.

[1]

[2]

[3]