Корень единства - Root of unity

5-й корень из единицы (синие точки) в комплексная плоскость

В математика, а корень единства, иногда называемый де Муавр число, любое комплексное число что дает 1, когда поднял до некоторой положительной целой степени п. Корни единства используются во многих разделах математики и особенно важны в теория чисел, теория группа персонажей, а дискретное преобразование Фурье.

Корни единства можно определить в любом поле. Если характеристика поля равняется нулю, корни - это комплексные числа, которые также алгебраические целые числа. Для полей с положительной характеристикой корни принадлежат конечное поле, и, наоборот, всякий ненулевой элемент конечного поля является корнем из единицы. Любые алгебраически замкнутое поле содержит точно п пкорни единства, кроме случаев, когда п кратно (положительной) характеристике поля.

Общее определение

Геометрическое представление корня 2–6-й степени общего комплексного числа в полярной форме. Для корня n-й степени из единицы положим р = 1 и φ = 0. Главный корень отмечен черным цветом.

An пй корень единства, где п положительное целое число, это число z удовлетворение уравнение^[1][2]

${ displaystyle z ^ {n} = 1.}$

Если не указано иное, корни единства можно считать сложные числа (включая число 1 и число –1, если п четные, комплексные с нулевой мнимой частью), и в этом случае пкорни единства

${ displaystyle exp left ({ frac {2k pi i} {n}} right) = cos { frac {2k pi} {n}} + i sin { frac {2k pi } {n}}, qquad k = 0,1, dots, n-1.}$

Однако определяющее уравнение корней из единицы имеет смысл над любым поле (и даже по любому кольцо ) F, что позволяет рассматривать корни из единицы в F. Какое бы поле ни было F, корни единства в F являются комплексными числами, если характеристика из F равно 0 или, иначе, принадлежит конечное поле. И наоборот, каждый ненулевой элемент в конечном поле является корнем из единицы в этом поле. Увидеть Корень единства по модулю п и Конечное поле для получения дополнительной информации.

An пкорень из единства называется примитивный если это не мкорень из единицы для меньшего м, то есть если

${ displaystyle z ^ {n} = 1 quad { text {and}} quad z ^ {m} neq 1 { text {for}} m = 1,2,3, ldots, n-1 .}$

Если п это простое число, все пкорни из единицы, кроме 1, примитивны.

В приведенной выше формуле в терминах экспоненциальных и тригонометрических функций примитивный пкорни единства те, для которых k и п находятся взаимно простые целые числа.

Последующие разделы этой статьи будут соответствовать сложным корням единства. Относительно случая корней из единицы в полях ненулевой характеристики см. Конечное поле § Корни единицы. В случае корней из единицы в кольцах модульные целые числа, увидеть Корень из единицы по модулю n.

Элементарные свойства

Каждые пкорень единства z примитивный акорень единства для некоторых а ≤ п, которое является наименьшим положительным целым числом такое, что z^а = 1.

Любая целая степень пкорень из единства также пкорень из единства, как

${ displaystyle (z ^ {k}) ^ {n} = z ^ {kn} = (z ^ {n}) ^ {k} = 1 ^ {k} = 1.}$

Это также верно для отрицательных показателей. В частности, обратная величина пкорень единства - это его комплексно сопряженный, а также пкорень из единства:

${ displaystyle { frac {1} {z}} = z ^ {- 1} = z ^ {n-1} = { bar {z}}.}$

Если z является пкорень единства и а ≡ б (мод п) тогда z^а = z^б. Фактически, по определению соответствие, а = б + кн для некоторого целого числа k, и

${ Displaystyle z ^ {a} = z ^ {b + kn} = z ^ {b} z ^ {kn} = z ^ {b} (z ^ {n}) ^ {k} = z ^ {b} 1 ^ {k} = z ^ {b}.}$

Следовательно, учитывая власть z^а из z, надо z^а = z^р, где 0 ≤ р < п это остаток от Евклидово деление из а к п.

Позволять z быть примитивным пкорень единства. Тогда силы z, z², ..., z^п−1, z^п = z⁰ = 1 находятся пкорень единства и все различны. (Если z^а = z^б где 1 ≤ а < б ≤ п, тогда z^б−а = 1, что означало бы, что z не будет примитивным.) Это означает, что z, z², ..., z^п−1, z^п = z⁰ = 1 все из пкорни единства, поскольку пПолиномиальное уравнение -й степени имеет не более п отличные решения.

Из предыдущего следует, что если z примитивный пкорень из единства, тогда ${ displaystyle z ^ {a} = z ^ {b}}$ если и только если ${ Displaystyle a Equiv b { pmod {n}}.}$Если z не примитивно тогда ${ Displaystyle а эквив б { pmod {п}}}$ подразумевает ${ displaystyle z ^ {a} = z ^ {b},}$ но обратное может быть ложным, как показано в следующем примере. Если п = 4, непримитивный пй корень единства z = –1, и у одного есть ${ Displaystyle г ^ {2} = г ^ {4} = 1}$, несмотря на то что ${ Displaystyle 2 not Equiv 4 { pmod {4}}.}$

Позволять z быть примитивным пй корень единства. Сила ш = z^k из z примитивный ай корень единства для

${ displaystyle a = { frac {n} { gcd (k, n)}},}$

где ${ Displaystyle НОД (к, п)}$ это наибольший общий делитель из п и k. Это связано с тем, что ка наименьшее кратное k это также кратно п. Другими словами, ка это наименьший общий множитель из k и п. Таким образом

${ displaystyle a = { frac { operatorname {lcm} (k, n)} {k}} = { frac {kn} {k gcd (k, n)}} = { frac {n} { gcd (k, n)}}.}$

Таким образом, если k и п находятся совмещать, z^k тоже примитивный пкорень единства, и, следовательно, есть φ(п) (где φ является Функция Эйлера ) отличный примитив пкорни единства. (Отсюда следует, что если п - простое число, все корни, кроме +1 примитивны.)

Другими словами, если Р(п) это набор всех пкорни единства и П(п) это набор примитивных, Р(п) это несвязный союз из П(п):

${ Displaystyle OperatorName {R} (n) = bigcup _ {d | n} OperatorName {P} (d),}$

где обозначения означают, что d проходит через все делители п, в том числе 1 и п.

Поскольку мощность Р(п) является п, и что из П(п) является φ(п), это демонстрирует классическую формулу

${ displaystyle sum _ {d | n} varphi (d) = n.}$

Свойства группы

Группа всех корней единства

Продукт и мультипликативный обратный двух корней единства также являются корнями единства. Фактически, если Икс^м = 1 и у^п = 1, тогда (Икс⁻¹)^м = 1, и (ху)^k = 1, где k это наименьший общий множитель из м и п.

Следовательно, корни единства образуют абелева группа при умножении. Эта группа является торсионная подгруппа из круговая группа.

Группа пкорни единства

Продукт и мультипликативный обратный из двух пкорни единства также пкорни единства. Следовательно пкорни единства образуют группа при умножении.

Учитывая примитивный пкорень единства ω, другой пкорни th являются полномочиями ω. Это означает, что группа пкорни единства циклическая группа. Стоит отметить, что срок циклическая группа возникла из-за того, что эта группа является подгруппой круговая группа.

Группа Галуа примитивных пкорни единства

Позволять ${ Displaystyle mathbb {Q} ( omega)}$ быть расширение поля рациональных чисел, порожденных над ${ displaystyle mathbb {Q}}$ примитивным пй корень единства ω. Как каждый пкорень единства - это сила ω, то поле ${ Displaystyle mathbb {Q} ( omega)}$ содержит все пкорни единства, и ${ Displaystyle mathbb {Q} ( omega)}$ это Расширение Галуа из ${ displaystyle mathbb {Q}.}$

Если k целое число, ω^k примитивный пй корень из единицы тогда и только тогда, когда k и п находятся совмещать. В этом случае карта

${ displaystyle omega mapsto omega ^ {k}}$

вызывает автоморфизм из ${ Displaystyle mathbb {Q} ( omega)}$, который отображает каждый пкорень единства к его k-я мощность. Каждый автоморфизм ${ Displaystyle mathbb {Q} ( omega)}$ получается таким образом, и эти автоморфизмы образуют Группа Галуа из ${ Displaystyle mathbb {Q} ( omega)}$ над полем рациональных чисел.

Правила возведение в степень следует, что композиция двух таких автоморфизмов получается перемножением показателей степени. Отсюда следует, что карта

${ Displaystyle к mapsto left ( omega mapsto omega ^ {k} right)}$

определяет групповой изоморфизм между единицы кольца целые числа по модулю п и группа Галуа ${ displaystyle mathbb {Q} ( omega).}$

Это показывает, что эта группа Галуа абелевский, и, таким образом, подразумевает, что первоосновные корни единства могут быть выражены в терминах радикалов.

Тригонометрическое выражение

Третьи корни единства

Участок z³ − 1, в котором ноль представлен черным цветом. Увидеть Раскраска домена для интерпретации.

Участок z⁵ − 1, в котором ноль представлен черным цветом.

Формула де Муавра, что справедливо для всех реальных Икс и целые числа п, является

${ displaystyle left ( cos x + i sin x right) ^ {n} = cos nx + i sin nx.}$

Настройка Икс = 2π/п дает примитивный пкорень из единицы, получается

${ displaystyle left ( cos { frac {2 pi} {n}} + i sin { frac {2 pi} {n}} right) ^ {n} = cos 2 pi + я грех 2 пи = 1,}$

но

${ displaystyle left ( cos { frac {2 pi} {n}} + i sin { frac {2 pi} {n}} right) ^ {k} = cos { frac { 2k pi} {n}} + i sin { frac {2k pi} {n}} neq 1}$

за k = 1, 2, …, п − 1. Другими словами,

${ displaystyle cos { frac {2 pi} {n}} + я sin { frac {2 pi} {n}}}$

примитивный пй корень единства.

Эта формула показывает, что на комплексная плоскость то пкорни из единицы находятся в вершинах регулярный п-сторонний многоугольник вписанный в единичный круг, с одной вершиной в 1. (См. графики для п = 3 и п = 5 справа.) Этот геометрический факт объясняет термин "круговорот" в таких фразах, как круговое поле и круговой полином; это от греческих корней "цикло "(круг) плюс"томос "(вырезать, разделить).

Формула Эйлера

${ Displaystyle е ^ {ix} = соз х + я грех х,}$

что справедливо для всех реальных Икс, можно использовать, чтобы поставить формулу для пкорни единства в форме

${ displaystyle e ^ {2 pi i { frac {k} {n}}} qquad 0 leq k$

Из обсуждения в предыдущем разделе следует, что это примитивный пth-корень тогда и только тогда, когда дробь k/п находится в низших терминах, т.е. k и п взаимно просты.

Алгебраическое выражение

В пкорни из единицы по определению являются корнями многочлена Икс^п − 1, и поэтому алгебраические числа. Поскольку этот многочлен не несводимый (кроме п = 1) примитивный пкорни из единицы являются корнями неприводимого многочлена меньшей степени, называемого круговой полином, и часто обозначается Φ_п. Степень Φ_п дан кем-то Функция Эйлера, который учитывает (среди прочего) количество примитивных пкорни единства. Корни Φ_п в точности примитивные пкорни единства.

Теория Галуа может использоваться, чтобы показать, что круговые многочлены удобно решать в терминах радикалов. (Тривиальная форма ${ Displaystyle { sqrt [{п}] {1}}}$ неудобно, потому что он содержит непримитивные корни, такие как 1, которые не являются корнями кругового полинома, и потому что он не дает отдельно действительную и мнимую части.) Это означает, что для каждого положительного целого числа п, существует выражение, построенное из целых чисел путем извлечения корня, сложения, вычитания, умножения и деления (ничего другого), так что примитив пКорни из единицы - это в точности набор значений, которые могут быть получены путем выбора значений для извлечения корней (k возможные значения для kй корень). (Подробнее см. § Циклотомические поля ниже.)

Гаусс доказал, что примитивный пкорень из единицы может быть выражен с помощью только квадратные корни, сложение, вычитание, умножение и деление тогда и только тогда, когда возможно строить с циркулем и линейкой то регулярный п-угольник. В этом случае если и только если п является либо степенью двойки, либо произведением степени двойки и Простые числа Ферма это все разные.

Если z примитивный пкорень из единицы, то же верно и для 1/z, и ${ displaystyle r = z + { frac {1} {z}}}$ вдвое больше реальной части z. Другими словами, Φ_п это обратный многочлен, многочлен ${ displaystyle R_ {n}}$ который имеет р как корень может быть выведен из Φ_п стандартными действиями над обратными многочленами, а примитивный пкорни единства могут быть выведены из корней ${ displaystyle R_ {n}}$ путем решения квадратное уровненеие ${ displaystyle z ^ {2} -rz + 1 = 0.}$ То есть действительная часть первообразного корня ${ displaystyle { frac {r} {2}},}$ а его мнимая часть ${ displaystyle pm i { sqrt {1- left ({ frac {r} {2}} right) ^ {2}}}.}$

Полином ${ displaystyle R_ {n}}$ - неприводимый многочлен, все корни которого вещественны. Его степень равна степени двойки, если и только если п является произведением степени двойки на произведение (возможно, пустое) различных простых чисел Ферма, и регулярное п-угольник можно построить с помощью циркуля и линейки. В противном случае он разрешим в радикалах, но один находится в казус несокрушимый, то есть каждое выражение корней в терминах радикалов включает нереальные радикалы.

Явные выражения в низких степенях

• За п = 1, круговой полином равен Φ₁(Икс) = Икс − 1 Следовательно, единственный примитивный первый корень из единицы - 1, что не является примитивным. пкорень единства для каждого п больше 1.

• Так как Φ₂(Икс) = Икс + 1, единственный примитивный второй (квадратный) корень из единицы равен –1, что также не является примитивным пкорень единства для каждого четного п > 2. В предыдущем случае это завершает список действительных корней единицы.

• Так как Φ₃(Икс) = Икс² + Икс + 1, примитивные третьи (кубические) корни из единицы, которые являются корнями этого квадратичный многочлен, находятся

${ displaystyle { frac {-1 + i { sqrt {3}}} {2}}, { frac {-1-i { sqrt {3}}} {2}}.}$

• Так как Φ₄(Икс) = Икс² + 1, два примитивных корня четвертой степени из единицы равны я и −я.

• Так как Φ₅(Икс) = Икс⁴ + Икс³ + Икс² + Икс + 1, четыре примитивных корня пятой степени единства являются корнями этого полином четвертой степени, которая может быть явно решена в терминах радикалов, давая корни

${ displaystyle { frac { varepsilon { sqrt {5}} - 1} {4}} pm i { frac { sqrt {10 + 2 varepsilon { sqrt {5}}}} {4} },}$

где ${ displaystyle varepsilon}$ может принимать два значения 1 и –1 (одно и то же значение в двух случаях).

• Так как Φ₆(Икс) = Икс² − Икс + 1, есть два примитивных корня шестой степени из единицы, которые являются отрицательными (а также квадратными корнями) двух примитивных кубических корней:

${ displaystyle { frac {1 + i { sqrt {3}}} {2}}, { frac {1-i { sqrt {3}}} {2}}.}$

• Поскольку 7 не является простым числом Ферма, седьмые корни из единицы являются первыми, которые требуют кубические корни. Есть 6 примитивных седьмых корней из единицы, которые попарно комплексно сопряженный. Сумма корня и его сопряженного двойника равна его действительной части. Эти три суммы являются тремя действительными корнями кубического многочлена ${ displaystyle r ^ {3} + r ^ {2} -2r-1,}$ и примитивные седьмые корни единства

${ displaystyle { frac {r} {2}} pm i { sqrt {1 - { frac {r ^ {2}} {4}}}},}$

где р пробегает корни указанного выше многочлена. Как и любой кубический полином, эти корни можно выразить через квадратные и кубические корни. Однако, поскольку все эти три корня реальны, это казус несокрушимый, и любое такое выражение включает ненастоящие кубические корни.

• Так как Φ₈(Икс) = Икс⁴ + 1, четыре примитивных корня восьмой степени из единицы являются квадратными корнями из примитивных корней четвертой степени, ±я. Они таким образом

${ displaystyle pm { frac { sqrt {2}} {2}} pm i { frac { sqrt {2}} {2}}.}$

• Увидеть гептадекагон для действительной части 17-го корня из единицы.

Периодичность

Если z примитивный пкорень из единицы, тогда последовательность степеней

… , z⁻¹, z⁰, z¹, …

является п-периодический (потому что z ^j + п = z ^j⋅z ^п = z ^j⋅1 = z ^j для всех значений j), а п последовательность полномочий

s_k: … , z ^k⋅(−1), z ^k⋅0, z ^k⋅1, …

за k = 1, … , п все п-периодический (потому что z ^{k⋅(j + п)} = z ^k⋅j). Кроме того, множество {s₁, … , s_п} этих последовательностей является основа линейного пространства всех п-периодические последовательности. Это значит, что любой п-периодическая последовательность комплексных чисел

… , Икс₋₁ , Икс₀ , Икс₁, …

можно выразить как линейная комбинация сил примитивного пкорень из единства:

${ displaystyle x_ {j} = sum _ {k} X_ {k} cdot z ^ {k cdot j} = X_ {1} z ^ {1 cdot j} + cdots + X_ {n} cdot z ^ {п cdot j}}$

для некоторых комплексных чисел Икс₁, … , Икс_п и каждое целое число j.

Это форма Анализ Фурье. Если j является (дискретной) временной переменной, то k это частота и Икс_k это сложный амплитуда.

Выбор за примитив пй корень единства

${ displaystyle z = e ^ { frac {2 pi i} {n}} = cos { frac {2 pi} {n}} + i sin { frac {2 pi} {n} }}$

позволяет Икс_j быть выраженным как линейная комбинация потому что и грех:

${ displaystyle x_ {j} = sum _ {k} A_ {k} cos { frac {2 pi jk} {n}} + sum _ {k} B_ {k} sin { frac { 2 pi jk} {n}}.}$

Это дискретное преобразование Фурье.

Суммирование

Позволять SR (п) быть суммой всех пкорни единства, примитивные или нет. потом

${ displaystyle Operatorname {SR} (n) = { begin {cases} 1, & n = 1 0, & n> 1 end {cases}}}$

Это непосредственное следствие Формулы Виета. Фактически, пкорни из единицы, являющиеся корнями многочлена Икс^п – 1, их сумма является коэффициентом степени п – 1, который равен 1 или 0 в зависимости от того, п = 1 или п > 1.

В качестве альтернативы для п = 1 нечего доказывать. За п > 1 существует корень z ≠ 1. Поскольку набор S из всех пкорни единства - это группа, z S = S, поэтому сумма удовлетворяет z SR (п) = SR (п)откуда SR (п) = 0.

Позволять SP (п) быть суммой всех примитивных пкорни единства. потом

${ Displaystyle OperatorName {SP} (п) = му (п),}$

где μ(п) это Функция Мёбиуса.

В разделе Элементарные свойства, было показано, что если Р(п) это набор всех пкорни единства и П(п) это набор примитивных, Р(п) является несвязным объединением П(п):

${ Displaystyle OperatorName {R} (n) = bigcup _ {d | n} OperatorName {P} (d),}$

Из этого следует

${ displaystyle operatorname {SR} (n) = sum _ {d | n} operatorname {SP} (d).}$

Применяя Формула обращения Мебиуса дает

${ displaystyle operatorname {SP} (n) = sum _ {d | n} mu (d) operatorname {SR} left ({ frac {n} {d}} right).}$

В этой формуле, если d < п, тогда SR (п/d) = 0, и для d = п: SR (п/d) = 1. Следовательно, SP (п) = μ(п).

Это особый случай c_п(1) из Сумма Рамануджана c_п(s), определяемый как сумма sсилы первобытного пкорни единства:

${ displaystyle c_ {n} (s) = sum _ {a = 1 attop gcd (a, n) = 1} ^ {n} e ^ {2 pi i { frac {a} {n} } s}.}$

Ортогональность

Из формулы суммирования следует ортогональность отношения: для j = 1, … , п и j ′ = 1, … , п

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} { overline {z ^ {j cdot k}}} cdot z ^ {j ' cdot k} = n cdot delta _ {j, j '}}$

где δ это Дельта Кронекера и z какой-нибудь примитивный пй корень единства.

В п × п матрица U чья (j, k)-я запись

${ displaystyle U_ {j, k} = n ^ {- { frac {1} {2}}} cdot z ^ {j cdot k}}$

определяет дискретное преобразование Фурье. Вычисление обратного преобразования с использованием гауссовское исключение требует О (п³) операции. Однако из ортогональности следует, что U является унитарный. Это,

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} { overline {U_ {j, k}}} cdot U_ {k, j '} = delta _ {j, j'},}$

и, таким образом, обратное U является просто комплексно сопряженным. (Этот факт впервые отметил Гаусс при решении проблемы тригонометрическая интерполяция ). Прямое применение U или его обратный к данному вектору требует О(п²) операции. В быстрое преобразование Фурье алгоритмы сокращают количество операций до О(п бревноп).

Циклотомические полиномы

Нули многочлен

${ Displaystyle р (г) = г ^ {п} -1}$

точно пкорни из единицы, каждый с кратностью 1. пth циклотомический многочлен определяется тем, что его нули - это в точности примитивный пкорни из единицы, каждый с кратностью 1.

${ Displaystyle Phi _ {n} (z) = prod _ {k = 1} ^ { varphi (n)} (z-z_ {k})}$

где z₁, z₂, z₃, … ,z_{φ (п)} примитивны пкорни единства, и φ (п) является Функция Эйлера. Полином Φ_п(z) имеет целые коэффициенты и является неприводимый многочлен над рациональное число (т.е. его нельзя записать как произведение двух многочленов положительной степени с рациональными коэффициентами). Случай простого п, что проще, чем общее утверждение, следует, применяя Критерий Эйзенштейна к многочлену

${ displaystyle { frac {(z + 1) ^ {n} -1} {(z + 1) -1}},}$

и расширяясь с помощью биномиальной теоремы.

Каждые пкорень из единства примитивен dкорень -й степени из единицы ровно для одного положительного делитель d из п. Отсюда следует, что

${ displaystyle z ^ {n} -1 = prod _ {d | n} Phi _ {d} (z).}$

Эта формула представляет факторизация полинома z^п − 1 в несводимые факторы.

${ Displaystyle { begin {align} z ^ {1} -1 & = z-1 z ^ {2} -1 & = (z-1) (z + 1) z ^ {3} -1 & = (z-1) left (z ^ {2} + z + 1 right) z ^ {4} -1 & = (z-1) (z + 1) left (z ^ {2} +1 right) z ^ {5} -1 & = (z-1) left (z ^ {4} + z ^ {3} + z ^ {2} + z + 1 right) z ^ { 6} -1 & = (z-1) (z + 1) left (z ^ {2} + z + 1 right) left (z ^ {2} -z + 1 right) z ^ { 7} -1 & = (z-1) left (z ^ {6} + z ^ {5} + z ^ {4} + z ^ {3} + z ^ {2} + z + 1 right) z ^ {8} -1 & = (z-1) (z + 1) left (z ^ {2} +1 right) left (z ^ {4} +1 right) end { выровнен}}}$

Применение Инверсия Мёбиуса к формуле дает

${ Displaystyle Phi _ {n} (z) = prod _ {d | n} left (z ^ { frac {n} {d}} - 1 right) ^ { mu (d)} = prod _ {d | n} left (z ^ {d} -1 right) ^ { mu left ({ frac {n} {d}} right)},}$

где μ это Функция Мёбиуса. Итак, первые несколько круговых многочленов равны

Φ₁(z) = z − 1

Φ₂(z) = (z² − 1)⋅(z − 1)⁻¹ = z + 1

Φ₃(z) = (z³ − 1)⋅(z − 1)⁻¹ = z² + z + 1

Φ₄(z) = (z⁴ − 1)⋅(z² − 1)⁻¹ = z² + 1

Φ₅(z) = (z⁵ − 1)⋅(z − 1)⁻¹ = z⁴ + z³ + z² + z + 1

Φ₆(z) = (z⁶ − 1)⋅(z³ − 1)⁻¹⋅(z² − 1)⁻¹⋅(z − 1) = z² − z + 1

Φ₇(z) = (z⁷ − 1)⋅(z − 1)⁻¹ = z⁶ + z⁵ + z⁴ + z³ + z² +z + 1

Φ₈(z) = (z⁸ − 1)⋅(z⁴ − 1)⁻¹ = z⁴ + 1

Если п это простое число, то все пкорни из единицы, кроме 1, примитивны пкорни, и у нас есть

${ Displaystyle Phi _ {p} (z) = { frac {z ^ {p} -1} {z-1}} = sum _ {k = 0} ^ {p-1} z ^ {k }.}$

Подставляя любое натуральное число ≥ 2 вместо z, эта сумма становится база z объединить. Таким образом, необходимым (но не достаточным) условием для того, чтобы перегруппировка была простой, является простота ее длины.

Обратите внимание, что, в отличие от первого появления, нет все коэффициенты всех циклотомических полиномов равны 0, 1 или -1. Первое исключение: Φ₁₀₅. Неудивительно, что на получение примера уходит так много времени, потому что поведение коэффициентов не так сильно зависит от п как от того, сколько нечетных простых множителей появляется в п. Точнее, можно показать, что если п имеет 1 или 2 нечетных простых множителя (например, п = 150) тогда п-й круговой многочлен имеет только коэффициенты 0, 1 или -1. Таким образом, первые мыслимые п для которого может быть коэффициент помимо 0, 1 или -1, является произведением трех наименьших нечетных простых чисел, и это 3⋅5⋅7 = 105. Само по себе это не доказывает, что у 105-го полинома есть другой коэффициент, но показывает, что это первый, который даже имеет шанс работать (а затем вычисление коэффициентов показывает, что это так). Теорема Шура гласит, что существуют циклотомические многочлены с произвольно большими по модулю коэффициентами. В частности, если ${ displaystyle n = p_ {1} p_ {2} cdots p_ {t},}$ где ${ displaystyle p_ {1}$ нечетные простые числа, ${ displaystyle p_ {1} + p_ {2}> p_ {t},}$ и т странно, то 1 − т встречается как коэффициент при п-й круговой полином.^[3]

Известно множество ограничений на значения, которые круговые многочлены могут принимать при целочисленных значениях. Например, если п простое, то d ∣ Φ_п(d) если и только d ≡ 1 (мод п).

Циклотомические полиномы разрешимы в радикалы, поскольку корни единства сами являются радикалами. Более того, существуют более информативные радикальные выражения для пкорни единства с дополнительным свойством^[4] что каждое значение выражения, полученное выбором значений радикалов (например, знаков квадратных корней), является примитивным пй корень единства. Это уже было показано Гаусс в 1797 г.^[5] Эффективный алгоритмы существуют для вычисления таких выражений.^[6]

Циклические группы

В пкорни из единицы образуют при умножении a циклическая группа из порядок п, и фактически эти группы включают все конечные подгруппы мультипликативная группа поля комплексных чисел. А генератор для этой циклической группы является примитивной пй корень единства.

В пкорни единства образуют неприводимый представление любой циклической группы порядка п. Отношение ортогональности также следует из теоретико-групповых принципов, описанных в группа персонажей.

Корни единства появляются как записи собственные векторы любой циркулянтная матрица, т.е. матрицы, инвариантные относительно циклических сдвигов, что также следует из теории представлений групп как вариант Теорема Блоха.^[7] В частности, если циркулянт Эрмитова матрица рассматривается (например, дискретизированная одномерная Лапласиан с периодическими границами^[8]) свойство ортогональности сразу следует из обычной ортогональности собственных векторов эрмитовых матриц.

Циклотомические поля

Присоединив примитивный пй корень единства ${ displaystyle mathbb {Q},}$ можно получить пth круговое поле ${ displaystyle mathbb {Q} ( exp (2 pi i / n)).}$Этот поле содержит все пкорни единства и является поле расщепления из п-й круговой многочлен над ${ displaystyle mathbb {Q}.}$ В расширение поля ${ Displaystyle mathbb {Q} ( ехр (2 пи я / п)) / mathbb {Q}}$ имеет степень φ (п) и это Группа Галуа является естественно изоморфный в мультипликативную группу единиц кольца ${ displaystyle mathbb {Z} / n mathbb {Z}.}$

Поскольку группа Галуа ${ Displaystyle mathbb {Q} ( ехр (2 пи я / п)) / mathbb {Q}}$ абелева, это абелево расширение. Каждое подполе кругового поля является абелевым расширением рациональных чисел. Отсюда следует, что каждый пкорень из единства может быть выражен через k-корни, с различными k не превышающий φ (п). В этих случаях Теория Галуа можно явно записать в терминах Гауссовские периоды: эта теория из Disquisitiones Arithmeticae из Гаусс был опубликован за много лет до Галуа.^[9]

Наоборот, каждый абелево расширение рациональных чисел - такое подполе кругового поля - это содержание теоремы Кронекер, обычно называемый Теорема Кронекера – Вебера. на том основании, что Вебер завершил доказательство.

Отношение к квадратичным целым числам

в комплексная плоскость, красные точки - это корень пятой степени из единицы, а черные точки - это суммы корня пятой степени из единицы и его комплексно сопряженного элемента.

в комплексная плоскость, углы двух квадратов являются корнями восьмой степени из единицы

За п = 1, 2, оба корня единства 1 и −1 находятся целые числа.

Для трех значений п, корни единства квадратичные целые числа:

• За п = 3, 6 они есть Целые числа Эйзенштейна (D = −3).
• За п = 4 они есть Гауссовские целые числа (D = −1): видеть мнимая единица.

Для четырех других значений п, примитивные корни из единицы не являются целыми квадратичными числами, а являются суммой любого корня из единицы с его комплексно сопряженный (также пкорень -й степени из единицы) является целым квадратичным числом.

За п = 5, 10, ни один из невещественных корней из единицы (которые удовлетворяют уравнение четвертой степени ) - целое квадратичное число, но сумма z + z = 2 Rez каждого корня с его комплексно сопряженным (также корнем 5-й степени из единицы) является элементом кольцо Z[1 + √5/2] (D = 5). Для двух пар невещественных корней пятой степени из единицы эти суммы равны обратный Золотое сечение и минус Золотое сечение.

За п = 8, для любого корня единства z + z равно 0, ± 2 или ±√2 (D = 2).

За п = 12, для любого корня из единства, z + z равно 0, ± 1, ± 2 или ±√3 (D = 3).

Смотрите также

• Система Аргана
• Круговая группа, единичные комплексные числа
• Групповая схема корней единства
• Dirichlet персонаж
• Сумма Рамануджана
• Кольцо Куммера
• Вектор Витта
• Teichmüller персонаж

Примечания

эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Корень единства»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Апрель 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

использованная литература

• Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (Пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, Г-Н  1878556, Zbl  0984.00001
• Милн, Джеймс С. (1998). «Алгебраическая теория чисел». Примечания к курсу.
• Милн, Джеймс С. (1997). "Теория поля классов". Примечания к курсу.
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 322. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-65399-8. Г-Н  1697859. Zbl  0956.11021.
• Нойкирх, Юрген (1986). Теория поля классов. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  3-540-15251-2.
• Вашингтон, Лоуренс К. (1997). Циклотомические поля (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-94762-0.
• Дербишир, Джон (2006). «Корни единства». Неизвестное количество. Вашингтон.: Джозеф Генри Пресс. ISBN  0-309-09657-X.