Вектор Витта - Witt vector

В математика, а Вектор Витта является бесконечная последовательность элементов коммутативное кольцо. Эрнст Витт показал как надеть кольцо структура на множестве векторов Витта таким образом, что кольцо векторов Витта над конечным полем порядка п кольцо ${displaystyle p}$ -адические целые числа.

История

В 19 веке, Эрнст Эдуард Куммер изучал циклические расширения полей в рамках своей работы над Последняя теорема Ферма. Это привело к теме, теперь известной как Теория Куммера. Позволять k быть полем, содержащим примитив пкорень единства. Теория Куммера классифицирует степень п циклические расширения поля K из k. Такие поля взаимно однозначно соответствуют порядку п циклические группы ${displaystyle Delta Subteq k ^ {imes} / (k ^ {imes}) ^ {n}}$ , куда ${displaystyle Delta}$ соответствует ${displaystyle K = k ({sqrt [{n}] {Delta}})}$ .

Но предположим, что k имеет характерный п. Проблема обучения на степень п расширение k, или, в более общем смысле, степень п^п расширения, может показаться внешне похожим на теорию Куммера. Однако в этой ситуации k не может содержать примитив пкорень единства. Если Икс это пй корень единства в k, то удовлетворяет ${displaystyle x ^ {p} = 1}$ . Но рассмотрим выражение ${displaystyle (x-1) ^ {p} = 0}$ . Расширяя использование биномиальные коэффициенты мы видим, что операция повышения до пмощность, известная здесь как Гомоморфизм Фробениуса, вводит множитель п ко всем коэффициентам, кроме первого и последнего, и поэтому по модулю п эти уравнения одинаковы. Следовательно ${displaystyle x = 1}$ . Следовательно, теория Куммера никогда не применима к расширениям, степень которых делится на характеристику.

Случай, когда характеристика делит степень, теперь называется Теория Артина – Шрайера потому что первый прогресс был достигнут Артином и Шрайером. Их первоначальной мотивацией было Теорема Артина – Шрайера, что характеризует настоящие закрытые поля как те, чья абсолютная группа Галуа имеет второй порядок.^[1] Это вдохновило их на вопрос, какие еще поля имеют конечные абсолютные группы Галуа. В процессе доказательства того, что других таких полей не существует, они доказали, что степень п расширения поля k характерных п были такими же, как разделение полей Многочлены Артина – Шрайера.. Это по определению формы ${displaystyle x ^ {p} -x-a.}$ Повторяя их конструкцию, они описали степень п² расширения. Авраам Адриан Альберт использовал эту идею для описания степени п^п расширения. Каждое повторение влекло за собой сложные алгебраические условия, обеспечивающие нормальное расширение поля.^[2]

Шмид^[3] обобщенное далее на некоммутативные циклические алгебры степени п^п. При этом некоторые многочлены, связанные с сложением ${displaystyle p}$ -адические целые числа появившийся. Витт ухватился за эти многочлены. Используя их систематически, он смог дать простые и унифицированные конструкции степени. п^п расширения полей и циклические алгебры. В частности, он представил кольцо, которое теперь называется W_п(k), кольцо п-усеченный п-типичные векторы Витта. Это кольцо имеет k как частное, и в нем есть оператор F который называется оператором Фробениуса, поскольку он сводится к оператору Фробениуса на k. Витт отмечает, что степень п^п аналог многочленов Артина – Шрайера

{displaystyle F (x) -x-a,}

куда ${displaystyle ain W_ {n} (k)}$ . Чтобы завершить аналогию с теорией Куммера, определим ${displaystyle wp}$ быть оператором ${displaystyle xmapsto F (x) -x.}$ Тогда степень п^п расширение k находятся в биективном соответствии с циклическими подгруппами ${displaystyle Delta Subteq W_ {n} (k) / wp (W_ {n} (k))}$ порядка п^п, куда ${displaystyle Delta}$ соответствует полю ${displaystyle k (wp ^ {- 1} (Delta))}$ .

Мотивация

Любой ${displaystyle p}$ -адическое целое число (элемент ${displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ , не путать с ${displaystyle mathbb {Z} / pmathbb {Z} = mathbb {F} _ {p}}$ ) можно записать как степенной ряд ${displaystyle a_ {0} + a_ {1} p ^ {1} + a_ {2} p ^ {2} + cdots}$ , где ${displaystyle a_ {i}}$ обычно берутся из целочисленного интервала ${displaystyle [0, p-1] = {0,1,2, ldots, p-1}}$ . Трудно дать алгебраическое выражение для сложения и умножения, используя это представление, поскольку возникает проблема переноса между цифрами. Однако, принимая репрезентативные коэффициенты ${displaystyle a_ {i} in [0, p-1]}$ это только один из многих вариантов, и Hensel сам (создатель ${displaystyle p}$ -адические числа) предложили корни единства в поле в качестве представителей. Эти представители поэтому число ${displaystyle 0}$ вместе с ${displaystyle (p-1) ^ {ext {th}}}$ корни единства; то есть решения ${displaystyle x ^ {p} -x = 0}$ в ${displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ , так что ${displaystyle a_ {i} = a_ {i} ^ {p}}$ . Этот выбор естественным образом распространяется на кольцевые расширения ${displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ в котором поле вычетов увеличено до ${displaystyle mathbb {F} _ {q}}$ с ${displaystyle q = p ^ {f}}$ , некоторая сила ${displaystyle p}$ . Действительно, именно эти поля (поля дробей колец) мотивировали выбор Гензеля. Теперь представители ${displaystyle q}$ решения в области ${displaystyle x ^ {q} -x = 0}$ . Вызовите поле ${displaystyle mathbb {Z} _ {p} (eta)}$ , с ${displaystyle eta}$ соответствующий примитив ${displaystyle (q-1) ^ {ext {th}}}$ корень единства (над ${displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ ). Затем представители ${displaystyle 0}$ и ${displaystyle eta ^ {i}}$ за ${displaystyle 0leq ileq q-2}$ . Поскольку эти представители образуют мультипликативный набор, их можно рассматривать как персонажей. Примерно через тридцать лет после работ Хензеля Тейхмюллер изучил эти символы, которые теперь носят его имя, и это привело его к характеристике структуры всего поля в терминах поля вычетов. Эти Представители компании Teichmüller можно отождествить с элементами конечное поле ${displaystyle mathbb {F} _ {q}}$ порядка ${displaystyle q}$ взяв остатки по модулю ${displaystyle p}$ в ${displaystyle mathbb {Z} _ {p} (eta)}$ , и элементы ${displaystyle mathbb {F} _ {q} ^ {imes}}$ доставляются к своим представителям Teichmüller персонаж ${displaystyle omega: mathbb {F} _ {q} ^ {imes} o mathbb {Z} _ {p} (eta) ^ {imes}}$ . Эта операция определяет набор целых чисел в ${displaystyle mathbb {Z} _ {p} (eta)}$ с бесконечными последовательностями элементов ${displaystyle omega (mathbb {F} _ {q} ^ {imes}) чашка {0}}$ .

Взяв этих представителей, выражения для сложения и умножения можно записать в замкнутой форме. Теперь у нас есть следующая проблема (сформулированная для простейшего случая: ${displaystyle q = p}$ ): заданы две бесконечные последовательности элементов ${displaystyle omega (mathbb {F} _ {p} ^ {imes}) чашка {0},}$ опишите их сумму и произведение как ${displaystyle p}$ -адические целые числа явно. Эта проблема была решена Виттом с использованием векторов Витта.

Подробный мотивационный эскиз

Выводим кольцо из ${displaystyle p}$ -адические целые числа ${displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ из конечного поля ${displaystyle mathbb {F} _ {p} = mathbb {Z} / pmathbb {Z}}$ используя конструкцию, которая естественным образом обобщается на конструкцию вектора Витта.

Кольцо ${displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ из ${displaystyle p}$ -адические целые числа можно понимать как проективный предел из ${displaystyle mathbb {Z} / p ^ {i} mathbb {Z}.}$ В частности, он состоит из последовательностей ${displaystyle (n_ {0}, n_ {1}, ldots)}$ с ${displaystyle n_ {i} в mathbb {Z} / p ^ {i + 1} mathbb {Z},}$ такой, что ${displaystyle n_ {j} Equiv n_ {i} {mod {p}} ^ {i + 1}}$ за ${displaystyle jgeq i.}$ То есть каждый последующий элемент последовательности равен предыдущим элементам по модулю меньшей степени п; это обратный предел из прогнозы ${displaystyle mathbb {Z} / p ^ {i + 1} mathbb {Z} o mathbb {Z} / p ^ {i} mathbb {Z}.}$

Элементы ${displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ может быть расширен как (формальный) степенной ряд в ${displaystyle p}$

{displaystyle a_ {0} + a_ {1} p ^ {1} + a_ {2} p ^ {2} + cdots,}

куда ${displaystyle a_ {i}}$ обычно берутся из целочисленного интервала ${displaystyle [0, p-1] = {0,1, ldots, p-1}.}$ Конечно, этот степенной ряд обычно не сходится в ${displaystyle mathbb {R}}$ используя стандартную метрику для вещественных чисел, но она будет сходиться в ${displaystyle mathbb {Z} _ {p},}$ с ${displaystyle p}$ -адическая метрика. Мы наметим метод определения кольцевых операций для таких степенных рядов.

Сдача ${displaystyle a + b}$ обозначать ${displaystyle c}$ , можно было бы рассмотреть следующее определение сложения:

{displaystyle {egin {align} c_ {0} & Equiv a_ {0} + b_ {0} && {mod {p}} c_ {0} + c_ {1} p & Equiv (a_ {0} + b_ {0}) + (a_ {1} + b_ {1}) p && {mod {p}} ^ {2} c_ {0} + c_ {1} p + c_ {2} p ^ {2} & Equiv (a_ {0} + b_ {0}) + (a_ {1} + b_ {1}) p + (a_ {2} + b_ {2}) p ^ {2} && {mod {p}} ^ {3} end {выровнено} }}

и можно было бы дать аналогичное определение умножению. Однако это не закрытая формула, так как новые коэффициенты не входят в разрешенный набор. ${displaystyle [0, p-1].}$

Есть лучшее подмножество коэффициентов ${displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ что дает замкнутые формулы, представители Тейхмюллера: ноль вместе с ${displaystyle (p-1) ^ {ext {th}}}$ корни единства. Их можно вычислить явно (в терминах исходных представителей коэффициентов ${displaystyle [0, p-1]}$ ) как корни ${displaystyle x ^ {p-1} -1 = 0}$ через Хензель лифтинг, то ${displaystyle p}$ -адическая версия Метод Ньютона. Например, в ${displaystyle mathbb {Z} _ {5},}$ вычислить представителя ${displaystyle 2,}$ каждый начинает с поиска уникального решения ${displaystyle x ^ {4} -1 = 0}$ в ${displaystyle mathbb {Z} / 25mathbb {Z}}$ с ${displaystyle xequiv 2 {mod {5}}}$ ; один получает ${displaystyle 7.}$ Повторите это в ${displaystyle mathbb {Z} / 125mathbb {Z},}$ с условиями ${displaystyle x ^ {4} -1 = 0}$ и ${displaystyle xequiv 7 {mod {2}} 5}$ дает ${displaystyle 57,}$ и так далее; полученный представитель Тейхмюллера - это последовательность ${displaystyle (2,7,57, ldots).}$ Существование подъема на каждой ступеньке гарантирует наибольший общий делитель ${displaystyle (x ^ {p-1} -1, (p-1) x ^ {p-2}) = 1}$ в каждом ${displaystyle mathbb {Z} / p ^ {n} mathbb {Z}.}$

Этот алгоритм показывает, что для каждого ${displaystyle jin [0, p-1]}$ , есть ровно один представитель Тейхмюллера с ${displaystyle a_ {0} = j}$ , который мы обозначим ${displaystyle omega (j).}$ Действительно, это определяет Teichmüller персонаж ${displaystyle omega: mathbb {F} _ {p} ^ {*} o mathbb {Z} _ {p} ^ {*}}$ удовлетворение ${displaystyle mcirc omega = mathrm {id} _ {mathbb {F} _ {p}}}$ если обозначить ${displaystyle m: mathbb {Z} _ {p} o mathbb {Z} _ {p} / pmathbb {Z} _ {p} cong mathbb {F} _ {p}.}$ Обратите внимание, что ${displaystyle omega}$ является нет добавка, поскольку сумма не обязательно должна быть представительной. Несмотря на это, если ${displaystyle omega (k) = omega (i) + omega (j) {mod {p}}}$ в ${displaystyle mathbb {Z} _ {p},}$ тогда ${displaystyle i + j = k}$ в ${displaystyle mathbb {F} _ {p}.}$

Из-за этого взаимно однозначного соответствия, данного ${displaystyle omega}$ , можно расширить каждый ${displaystyle p}$ -адическое целое число как степенной ряд в ${displaystyle p}$ с коэффициентами, взятыми у представителей Тейхмюллера. Явный алгоритм можно дать следующим образом. Напишите представителю Teichmüller как ${displaystyle omega (t_ {0}) = t_ {0} + t_ {1} p ^ {1} + t_ {2} p ^ {2} + cdots.}$ Тогда, если есть произвольный ${displaystyle p}$ -адическое целое число в форме ${displaystyle x = x_ {0} + x_ {1} p ^ {1} + x_ {2} p ^ {2} + cdots,}$ можно понять разницу ${displaystyle x-omega (x_ {0}) = x '_ {1} p ^ {1} + x' _ {2} p ^ {2} + cdots,}$ оставив значение, кратное ${displaystyle p}$ . Следовательно, ${displaystyle x-omega (x_ {0}) = 0 {mod {p}}}$ . Затем процесс повторяется, вычитая ${displaystyle omega (x '_ {1}) p}$ и действуйте аналогичным образом. Это дает последовательность сравнений

{displaystyle {egin {align} x & Equiv omega (x_ {0}) && {mod {p}} x & Equiv omega (x_ {0}) + omega (x '_ {1}) p && {mod {p}} ^ { 2} & cdots конец {выровнено}}}

Так что

{displaystyle xequiv sum _ {j = 0} ^ {i} omega ({ar {x}} _ {j}) p ^ {j} {mod {p}} ^ {i + 1}}

и ${displaystyle i '> i}$ подразумевает:

{displaystyle sum _ {j = 0} ^ {i '} omega ({ar {x}} _ {j}) p ^ {j} Equiv sum _ {j = 0} ^ {i} omega ({ar {x }} _ {j}) p ^ {j} {mod {p}} ^ {i + 1}}

за

{displaystyle {ar {x}} _ {i}: = mleft ({frac {x-sum _ {j = 0} ^ {i-1} omega ({ar {x}} _ {j}) p ^ {) j}} {p ^ {i}}} ight).}

Следовательно, у нас есть степенной ряд для каждого остатка Икс по модулю степеней п, но с коэффициентами представителей Тейхмюллера, а не ${displaystyle {0, ldots, p-1}}$ . Ясно, что

{displaystyle sum _ {j = 0} ^ {infty} omega ({ar {x}} _ {j}) p ^ {j} = x,}

поскольку

{displaystyle p ^ {i + 1} mid x-sum _ {j = 0} ^ {i} omega ({ar {x}} _ {j}) p ^ {j}}

для всех ${displaystyle i}$ в качестве ${displaystyle i o infty,}$ поэтому разница стремится к 0 по отношению к ${displaystyle p}$ -адическая метрика. Результирующие коэффициенты обычно будут отличаться от ${displaystyle a_ {i}}$ по модулю ${displaystyle p ^ {i}}$ кроме первого.

Коэффициенты Тейхмюллера обладают ключевым дополнительным свойством: ${displaystyle omega ({ar {x}} _ {i}) ^ {p} = omega ({ar {x}} _ {i}),}$ который отсутствует для чисел в ${displaystyle [0, p-1]}$ . Это можно использовать для описания сложения следующим образом. Поскольку персонаж Тейхмюллера нет добавка ${displaystyle c_ {0} = a_ {0} + b_ {0}}$ не верно в ${displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ . Но это держится ${displaystyle mathbb {F} _ {p},}$ как следует из первого сравнения. Особенно,

{displaystyle c_ {0} ^ {p} Equiv (a_ {0} + b_ {0}) ^ {p} {mod {p}} ^ {2},}

и поэтому

{displaystyle c_ {0} -a_ {0} -b_ {0} эквив (а_ {0} + b_ {0}) ^ {p} -a_ {0} -b_ {0} эквив {ином {p} {1 }} a_ {0} ^ {p-1} b_ {0} + cdots + {inom {p} {p-1}} a_ {0} b_ {0} ^ {p-1} {mod {p}} ^ {2}.}

Поскольку биномиальный коэффициент ${displaystyle {inom {p} {i}}}$ делится на ${displaystyle p}$ , это дает

{displaystyle c_ {1} Equiv a_ {1} + b_ {1} -a_ {0} ^ {p-1} b_ {0} - {frac {p-1} {2}} a_ {0} ^ {p -2} b_ {0} ^ {2} -cdots -a_ {0} b_ {0} ^ {p-1} {mod {p}}.}

Это полностью определяет ${displaystyle c_ {1}}$ у лифта. Кроме того, сравнение по модулю ${displaystyle p}$ указывает, что расчет действительно может быть выполнен в ${displaystyle mathbb {F} _ {p},}$ удовлетворяющие основной цели определения простой аддитивной структуры.

За ${displaystyle c_ {2}}$ этот шаг уже очень громоздкий. Написать

{displaystyle c_ {1} = c_ {1} ^ {p} Equiv left (a_ {1} + b_ {1} -a_ {0} ^ {p-1} b_ {0} - {frac {p-1}) {2}} a_ {0} ^ {p-2} b_ {0} ^ {2} -cdots -a_ {0} b_ {0} ^ {p-1} ight) ^ {p} {mod {p} }.}

Как и для ${displaystyle c_ {0},}$ один ${displaystyle p}$ мощности недостаточно: надо брать

{displaystyle c_ {0} = c_ {0} ^ {p ^ {2}} Equiv (a_ {0} + b_ {0}) ^ {p ^ {2}}.}

Тем не мение, ${displaystyle {inom {p ^ {2}} {i}}}$ не делится на ${displaystyle p ^ {2},}$ но делится, когда ${displaystyle i = pd,}$ в таком случае ${displaystyle a ^ {i} b ^ {p ^ {2} -i} = a ^ {d} b ^ {p-d}}$ в сочетании с аналогичными одночленами в ${displaystyle c_ {1} ^ {p}}$ сделает несколько ${displaystyle p ^ {2}}$ .

На этом этапе становится ясно, что на самом деле вы работаете с добавлением формы

{displaystyle {egin {align} c_ {0} & Equiv a_ {0} + b_ {0} && {mod {p}} c_ {0} ^ {p} + c_ {1} p & Equiv a_ {0} ^ {p } + a_ {1} p + b_ {0} ^ {p} + b_ {1} p && {mod {p}} ^ {2} c_ {0} ^ {p ^ {2}} + c_ {1} ^ {p} p + c_ {2} p ^ {2} & эквивалент a_ {0} ^ {p ^ {2}} + a_ {1} ^ {p} p + a_ {2} p ^ {2} + b_ {0} ^ {p ^ {2}} + b_ {1} ^ {p} p + b_ {2} p ^ {2} && {mod {p}} ^ {3} end {выровнено}}}

Это мотивирует определение векторов Витта.

Конструкция колец Витта

Исправить простое число п. А Вектор Витта над коммутативным кольцом р это последовательность: ${displaystyle (X_ {0}, X_ {1}, X_ {2}, ldots)}$ элементов р. Определить Полиномы Витта ${displaystyle W_ {i}}$ к

${displaystyle W_ {0} = X_ {0}}$
${displaystyle W_ {1} = X_ {0} ^ {p} + pX_ {1}}$
${displaystyle W_ {2} = X_ {0} ^ {p ^ {2}} + pX_ {1} ^ {p} + p ^ {2} X_ {2}}$

и вообще

{displaystyle W_ {n} = sum _ {i = 0} ^ {n} p ^ {i} X_ {i} ^ {p ^ {n-i}}.}

В ${displaystyle W_ {n}}$ называются призрачные компоненты вектора Витта ${displaystyle (X_ {0}, X_ {1}, X_ {2}, ldots)}$ , и обычно обозначаются ${displaystyle X ^ {(n)}.}$ Призрачные компоненты можно рассматривать как альтернативную систему координат для р-модуль последовательностей.

В кольцо векторов Витта определяется покомпонентным сложением и умножением фантомных компонентов. То есть существует единственный способ сделать множество векторов Витта над любым коммутативным кольцом р в кольцо такое, что:

сумма и произведение задаются полиномами с целыми коэффициентами, не зависящими от р, и

проекция на каждую призрачную компоненту является кольцевым гомоморфизмом векторов Витта над Р, к р.

Другими словами,

${displaystyle (X + Y) _ {i}}$ и ${displaystyle (XY) _ {i}}$ задаются полиномами с целыми коэффициентами, не зависящими от р, и

${displaystyle X ^ {(i)} + Y ^ {(i)} = (X + Y) ^ {(i)}}$ и ${displaystyle X ^ {(i)} Y ^ {(i)} = (XY) ^ {(i)}.}$

Первые несколько полиномов, дающих сумму и произведение векторов Витта, могут быть записаны явно. Например,

{displaystyle (X_ {0}, X_ {1}, ldots) + (Y_ {0}, Y_ {1}, ldots) = (X_ {0} + Y_ {0}, X_ {1} + Y_ {1} + (X_ {0} ^ {p} + Y_ {0} ^ {p} - (X_ {0} + Y_ {0}) ^ {p}) / p, ldots)}

{displaystyle (X_ {0}, X_ {1}, ldots) imes (Y_ {0}, Y_ {1}, ldots) = (X_ {0} Y_ {0}, X_ {0} ^ {p} Y_ { 1} + X_ {1} Y_ {0} ^ {p} + pX_ {1} Y_ {1}, ldots)}

Их следует понимать как ярлыки для фактических формул. Если, например, кольцо р имеет характерный п, деление на п в первой формуле выше, ${displaystyle p ^ {2}}$ которые появятся в следующем компоненте и так далее, не имеют смысла. Однако если п-сила суммы развита, сроки ${displaystyle X_ {0} ^ {p} + Y_ {0} ^ {p}}$ отменяются предыдущими, а остальные упрощаются п, без деления на п остается, и формула имеет смысл. То же самое относится и к следующим компонентам.

Примеры

Кольцо Витта любого коммутативного кольца р в котором п обратима просто изоморфна ${displaystyle R ^ {mathbb {N}}}$ (произведение счетного числа копий р).На самом деле многочлены Витта всегда задают гомоморфизм кольца векторов Витта на ${displaystyle R ^ {mathbb {N}}}$ , и если п обратим этот гомоморфизм является изоморфизмом.

Кольцо Витта конечное поле порядка п кольцо ${displaystyle p}$ -адические целые числа, записанные в терминах представителей Тейхмюллера, как показано выше.

Кольцо Витта конечного поля порядка п^п это неразветвленное расширение степени п кольца ${displaystyle p}$ -адические целые числа.

Универсальные векторы Витта

Полиномы Витта для разных простых чисел п являются частными случаями универсальных многочленов Витта, которые могут быть использованы для образования универсального кольца Витта (независимо от выбора простого п). Определите универсальные многочлены Витта W_п за п ≥ 1 по

${displaystyle W_ {1} = X_ {1}}$
${displaystyle W_ {2} = X_ {1} ^ {2} + 2X_ {2}}$
${displaystyle W_ {3} = X_ {1} ^ {3} + 3X_ {3}}$
${displaystyle W_ {4} = X_ {1} ^ {4} + 2X_ {2} ^ {2} + 4X_ {4}}$

и вообще

{displaystyle W_ {n} = sum _ {d | n} dX_ {d} ^ {n / d}.}

Опять таки, ${displaystyle (W_ {1}, W_ {2}, W_ {3}, ldots)}$ называется вектором призрачные компоненты вектора Витта ${displaystyle (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, ldots)}$ , и обычно обозначается ${displaystyle (X ^ {(1)}, X ^ {(2)}, X ^ {(3)}, ldots)}$ .

Мы можем использовать эти многочлены для определения кольцо универсальных векторов Витта над любым коммутативным кольцом р во многом так же, как и выше (так что универсальные многочлены Витта являются гомоморфизмами кольца р).

Генерация функций

Витт также предложил другой подход с использованием производящих функций.^[4]

Определение

Позволять ${displaystyle X}$ вектор Витта и определим

{displaystyle f_ {X} (t) = prod _ {ngeq 1} (1-X_ {n} t ^ {n}) = sum _ {ngeq 0} A_ {n} t ^ {n}}

За ${displaystyle ngeq 1}$ позволять ${displaystyle {mathcal {I}} _ {n}}$ обозначают совокупность подмножеств ${displaystyle {1,2, ldots, n}}$ чьи элементы в сумме составляют ${displaystyle n}$ . потом

{displaystyle A_ {n} = sum _ {Iin {mathcal {I}} _ {n}} (- 1) ^ {| I |} prod _ {iin I} {X_ {i}}.}

Мы можем получить призрачные компоненты, взяв логарифмическая производная:

{displaystyle {egin {align} -t {frac {d} {dt}} log f_ {X} (t) & = - t {frac {d} {dt}} sum _ {ngeq 1} log (1-X_ {n} t ^ {n}) & = t {frac {d} {dt}} sum _ {ngeq 1} sum _ {dgeq 1} {frac {X_ {n} ^ {d} t ^ {nd} } {d}} & = sum _ {ngeq 1} sum _ {dgeq 1} nX_ {n} ^ {d} t ^ {nd} & = sum _ {mgeq 1} sum _ {d | m} dX_ {d} ^ {m / d} t ^ {m} & = sum _ {mgeq 1} X ^ {(m)} t ^ {m} конец {выровнено}}}

Сумма

Теперь мы можем видеть ${displaystyle f_ {Z} (t) = f_ {X} (t) f_ {Y} (t)}$ если ${displaystyle Z = X + Y}$ . Так что

{displaystyle C_ {n} = sum _ {0leq ileq n} A_ {n} B_ {n-i},}

если ${displaystyle A_ {n}, B_ {n}, C_ {n}}$ - соответствующие коэффициенты в степенном ряду ${displaystyle f_ {X} (t), f_ {Y} (t), f_ {Z} (t)}$ . потом

{displaystyle Z_ {n} = sum _ {0leq ileq n} A_ {n} B_ {ni} -sum _ {Iin {mathcal {I}} _ {n}, Ieq {n}} (- 1) ^ {| Я |} prod _ {iin I} {Z_ {i}}.}

С ${displaystyle A_ {n}}$ является многочленом от ${displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {n}}$ и аналогично для ${displaystyle B_ {n}}$ , по индукции можно показать, что ${displaystyle Z_ {n}}$ является многочленом от ${displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {n}, Y_ {1}, ldots, Y_ {n}.}$

Товар

Если мы установим ${displaystyle W = XY}$ тогда

{displaystyle -t {frac {d} {dt}} log f_ {W} (t) = - sum _ {mgeq 1} X ^ {(m)} Y ^ {(m)} t ^ {m}.}

Но

{displaystyle sum _ {mgeq 1} X ^ {(m)} Y ^ {(m)} t ^ {m} = sum _ {mgeq 1} sum _ {d | m} dX_ {d} ^ {m / d } сумма _ {e | m} eY_ {e} ^ {m / e} t ^ {m}}

.

Теперь 3-кортежи ${displaystyle {m, d, e}}$ с ${displaystyle min mathbb {Z} ^ {+}, d | m, e | m}$ находятся в биекции с 3-мя кортежами ${displaystyle {d, e, n}}$ с ${displaystyle d, e, nin mathbb {Z} ^ {+}}$ , через ${displaystyle n = m / [d, e]}$ ( ${displaystyle [d, e]}$ это наименьший общий множитель ) наша серия становится

{displaystyle sum _ {d, egeq 1} desum _ {ngeq 1} left (X_ {d} ^ {frac {[d, e]} {d}} Y_ {e} ^ {frac {[d, e]} {e}} t ^ {[d, e]} ight) ^ {n} = - t {frac {d} {dt}} log prod _ {d, egeq 1} left (1-X_ {d} ^ { frac {[d, e]} {d}} Y_ {e} ^ {frac {[d, e]} {e}} t ^ {[d, e]} ight) ^ {frac {de} {[d , e]}}}

Так что

{displaystyle f_ {W} (t) = prod _ {d, egeq 1} left (1-X_ {d} ^ {frac {[d, e]} {d}} Y_ {e} ^ {frac {[d , e]} {e}} t ^ {[d, e]} ight) ^ {frac {de} {[d, e]}} = sum _ {ngeq 0} D_ {n} t ^ {n}, }

куда ${displaystyle D_ {n}}$ являются полиномами от ${displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {n}, Y_ {1}, ldots, Y_ {n}.}$ Итак, по аналогичной индукции предположим

{displaystyle f_ {W} (t) = prod _ {ngeq 1} (1-W_ {n} t ^ {n}),}

тогда ${displaystyle W_ {n}}$ можно решить как полиномы от ${displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {n}, Y_ {1}, ldots, Y_ {n}.}$

Кольцевые схемы

Карта, взявшая коммутативное кольцо р кольцу векторов Витта над р (для фиксированного простого числа п) это функтор от коммутативных колец к коммутативным кольцам, а также представима, поэтому его можно рассматривать как схема кольца, называется Схема Витта, над ${displaystyle operatorname {Spec} (mathbb {Z}).}$ Схему Витта можно канонически отождествить со спектром кольцо симметричных функций.

Аналогичным образом кольца усеченных векторов Витта и кольца универсальных векторов Витта соответствуют кольцевым схемам, называемым усеченные схемы Витта и универсальная схема Витта.

Более того, функтор, переходящий в коммутативное кольцо ${displaystyle R}$ к набору ${displaystyle R ^ {n}}$ представлен аффинное пространство ${displaystyle mathbb {A} _ {mathbb {Z}} ^ {n}}$ , а кольцевая структура на ${displaystyle R ^ {n}}$ делает ${displaystyle mathbb {A} _ {mathbb {Z}} ^ {n}}$ в кольцевую схему, обозначенную ${displaystyle {underline {mathcal {O}}} ^ {n}}$ . Из построения усеченных векторов Витта следует, что их ассоциированная кольцевая схема ${displaystyle mathbb {W} _ {n}}$ это схема ${displaystyle mathbb {A} _ {mathbb {Z}} ^ {n}}$ с уникальной кольцевой структурой, такой что морфизм ${displaystyle mathbb {W} _ {n} o {подчеркивание {mathcal {O}}} ^ {n}}$ заданные полиномами Витта, является морфизмом кольцевых схем.

Коммутативные унипотентные алгебраические группы

Более алгебраически замкнутое поле характеристики 0, любое всесильный абелева связная алгебраическая группа изоморфно произведению копий аддитивной группы ${displaystyle G_ {a}}$ . Аналог этого для полей характеристики п ложно: усеченные схемы Витта - контрпримеры. (Мы превращаем их в алгебраические группы, забывая об умножении и просто используя аддитивную структуру.) Однако, по сути, это единственные контрпримеры: над алгебраически замкнутым полем характеристики п, любой всесильный абелева связная алгебраическая группа является изогенный к произведению схем усеченных групп Витта.