Чебышевские узлы - Chebyshev nodes

Узлы Чебышева эквивалентны Икс координаты п равноотстоящие точки на единичном полукруге (здесь п=10).^[1]

В численный анализ, Чебышевские узлы специфичны настоящий алгебраические числа, а именно корни Многочлены Чебышева первого рода. Они часто используются как узлы в полиномиальная интерполяция потому что результирующий полином интерполяции минимизирует влияние Феномен Рунге.^[2]

Определение

Нули первых 50 многочленов Чебышева первого рода

Для данного положительного целого числа п то Чебышевские узлы в интервале (−1, 1) являются

${ displaystyle x_ {k} = cos left ({ frac {2k-1} {2n}} pi right), quad k = 1, ldots, n.}$

Это корни Многочлен Чебышева первого рода степени п. Для узлов на произвольном интервале [а, б] ан аффинное преобразование может быть использован:

${ displaystyle x_ {k} = { frac {1} {2}} (a + b) + { frac {1} {2}} (ba) cos left ({ frac {2k-1}) {2n}} pi right), quad k = 1, ldots, n.}$

Приближение

Узлы Чебышева важны в теория приближения потому что они образуют особенно хороший набор узлов для полиномиальная интерполяция. Для функции на интервале ${ displaystyle [-1, + 1]}$ и ${ displaystyle n}$ точки ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n},}$ в этом интервале интерполяционный полином - это единственный полином ${ displaystyle P_ {n-1}}$ степени не более ${ displaystyle n-1}$ который имеет ценность ${ displaystyle f (x_ {i})}$ в каждой точке ${ displaystyle x_ {i}}$. Ошибка интерполяции при ${ displaystyle x}$ является

${ displaystyle f (x) -P_ {n-1} (x) = { frac {f ^ {(n)} ( xi)} {n!}} prod _ {i = 1} ^ {n } (х-х_ {я})}$

для некоторых ${ Displaystyle xi}$ (в зависимости от x) в [−1, 1].^[3] Так что логично попытаться минимизировать

${ displaystyle max _ {x in [-1,1]} left | prod _ {i = 1} ^ {n} (x-x_ {i}) right |.}$

Этот продукт моник многочлен степени п. Можно показать, что максимальное абсолютное значение (максимальная норма) любого такого многочлена ограничено снизу 2^1−п. Эта оценка достигается масштабированными многочленами Чебышева 2^1−п Т_п, которые также являются моническими. (Напомним, что |Т_п(Икс) | ≤ 1 для Икс ∈ [−1, 1].^[4]) Следовательно, когда узлы интерполяции Икс_я корни Т_п, ошибка удовлетворяет

${ Displaystyle left | е (х) -P_ {n-1} (x) right | leq { frac {1} {2 ^ {n-1} n!}} max _ { xi в [-1,1]} left | f ^ {(n)} ( xi) right |.}$

Для произвольного интервала [а, б] замена переменной показывает, что

${ displaystyle left | е (x) -P_ {n-1} (x) right | leq { frac {1} {2 ^ {n-1} n!}} left ({ frac { ba} {2}} right) ^ {n} max _ { xi in [a, b]} left | f ^ {(n)} ( xi) right |.}$

Заметки

использованная литература

• Стюарт, Гилберт В. (1996), Примечания по численному анализу, СИАМ, ISBN  978-0-89871-362-6.

дальнейшее чтение

• Бэрден, Ричард Л .; Фэрс, Дж. Дуглас: Численный анализ, 8-е изд., Стр. 503–512, ISBN  0-534-39200-8.