Монический многочлен - Monic polynomial

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Монический многочлен»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Январь 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В алгебра, а монический многочлен является полиномом от одной переменной (т. е. одномерный многочлен ) в которой ведущий коэффициент (ненулевой коэффициент старшей степени) равен 1. Следовательно, унитарный многочлен имеет вид

${ displaystyle x ^ {n} + c_ {n-1} x ^ {n-1} + cdots + c_ {2} x ^ {2} + c_ {1} x + c_ {0}}$

Одномерные многочлены

Если многочлен есть только один неопределенный (одномерный многочлен ), то термины обычно записываются либо от высшей степени к низшей («нисходящие степени»), либо от низшей степени к высшей степени («возрастающие степени»). Одномерный многочлен от Икс степени п затем принимает общий вид, показанный выше, где

c_п ≠ 0, c_п−1, ..., c₂, c₁ и c₀

- константы, коэффициенты полинома.

Здесь термин c_пИкс^п называется ведущий термин, а его коэффициент c_п в ведущий коэффициент; если старший коэффициент 1, одномерный многочлен называется моник.

Примеры

• Комплексные квадратичные многочлены

Характеристики

Мультипликативно замкнутый

Множество всех монических многочленов (над заданным (унитарным) звенеть А и для данной переменной Икс) замкнуто относительно умножения, так как произведение главных членов двух монических многочленов является старшим членом их произведения. Таким образом, приведенные многочлены образуют мультипликативный полугруппа из кольцо многочленов А[Икс]. Собственно, поскольку постоянный многочлен 1 моническая, эта полугруппа четная моноид.

Частично заказано

Ограничение делимость отношение к множеству всех монических многочленов (над данным кольцом) является частичный заказ, и, таким образом, делает это значение посеть. Причина в том, что если п(Икс) делит q(Икс) и q(Икс) делит п(Икс) для двух монических многочленов п и q, тогда п и q должны быть равны. Соответствующее свойство неверно для многочленов в общем случае, если кольцо содержит обратимые элементы кроме 1.

Решения полиномиального уравнения

В остальном свойства монических многочленов и соответствующих им монических полиномиальные уравнения существенно зависят от кольца коэффициентов А. Если А это поле, то всякий ненулевой многочлен п имеет ровно один связанный монический многочлен q; фактически, q является п делится на старший коэффициент. Таким образом, любое нетривиальное полиномиальное уравнение п(Икс) = 0 можно заменить эквивалентным моническим уравнением q(Икс) = 0. Например, общее вещественное уравнение второй степени

${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ (куда ${ displaystyle a neq 0}$)

может быть заменен на

${ displaystyle x ^ {2} + px + q = 0}$,

поставивп = б/а иq = c/а. Таким образом, уравнение

${ displaystyle 2x ^ {2} + 3x + 1 = 0}$

эквивалентно моническому уравнению

${ displaystyle x ^ {2} + { frac {3} {2}} x + { frac {1} {2}} = 0.}$

Тогда общая формула квадратичного решения представляет собой несколько более упрощенную форму:

${ displaystyle x = { frac {1} {2}} left (-p pm { sqrt {p ^ {2} -4q}} right).}$

Целостность

С другой стороны, если кольцо коэффициентов не является полем, есть более существенные отличия. Например, моническое полиномиальное уравнение с целое число коэффициенты не могут иметь других рациональный решения, чем целочисленные решения. Таким образом, уравнение

${ Displaystyle 2x ^ {2} + 3x + 1 = 0}$

возможно, может иметь некоторый рациональный корень, который не является целым числом (и, кстати, один из его корней равен −1/2); а уравнения

${ displaystyle x ^ {2} + 5x + 6 = 0}$

и

${ displaystyle x ^ {2} + 7x + 8 = 0}$

может иметь только целочисленные решения или иррациональный решения.

Корни приведенного многочлена с целыми коэффициентами называются алгебраические целые числа.

Решения монических полиномиальных уравнений над область целостности важны в теории интегральные расширения и целозамкнутые области, а значит, и для алгебраическая теория чисел. В общем, предположим, что А является областью целостности, а также подкольцом области целостности B. Рассмотрим подмножество C из B, состоящий из тех B элементов, удовлетворяющих моническим полиномиальным уравнениям над А:

${ Displaystyle C: = {b in B: exists , p (x) in A [x] ,, { hbox {, который является моническим и таким, что}} p (b) = 0 } ,.}$

Набор C содержит А, поскольку любой а ∈ А удовлетворяет уравнению Икс − а = 0. Более того, можно доказать, что C закрывается при сложении и умножении. Таким образом, C это подкольцо B. Кольцо C называется целостное закрытие из А в B; или просто интегральное замыкание А, если B это поле дроби из А; и элементы C как говорят интеграл над А. Если здесь ${ Displaystyle А = mathbb {Z}}$ (кольцо целые числа ) и ${ Displaystyle B = mathbb {C}}$ (Поле сложные числа ), тогда C кольцо алгебраические целые числа.

Неприводимость

Если п это простое число, количество моников неприводимые многочлены степени п через конечное поле ${ Displaystyle GF (p)}$ с п элементов равно функция подсчета ожерелий ${ Displaystyle N_ {p} (п)}$.^{[нужна цитата ]}

Если снять ограничение быть моническим, это число станет ${ displaystyle (p-1) N_ {p} (n)}$.

Общее количество корней этих унитарных неприводимых многочленов равно ${ displaystyle nN_ {p} (n)}$. Это количество элементов поля ${ displaystyle GF (p ^ {n})}$ (с ${ displaystyle p ^ {n}}$ элементы), которые не принадлежат какому-либо меньшему полю.

За п = 2, такие многочлены обычно используются для генерации псевдослучайные двоичные последовательности.^{[нужна цитата ]}

Многомерные полиномы

Обычно термин моник не используется для многочленов от нескольких переменных. Однако многочлен от нескольких переменных можно рассматривать как многочлен только от «последней» переменной, но с коэффициентами, являющимися многочленами от остальных. Это можно сделать несколькими способами, в зависимости от того, какая из переменных выбрана «последней». Например, действительный многочлен

${ displaystyle p (x, y) = 2xy ^ {2} + x ^ {2} -y ^ {2} + 3x + 5y-8}$

является моническим, рассматривается как элемент в р[у][Икс], т. е. как одномерный многочлен от переменной Икс, с коэффициентами, которые сами являются одномерными многочленами от у:

${ displaystyle p (x, y) = 1 cdot x ^ {2} + (2y ^ {2} +3) cdot x + (- y ^ {2} + 5y-8)}$;

но п(Икс,у) не является моническим элементом как элемент в р[Икс][у], с тех пор коэффициент наивысшей степени (т. е. у² коэффициент) равен 2Икс − 1.

Существует альтернативное соглашение, которое может быть полезно, например в Основа Грёбнера контексты: многочлен называется моническим, если его старший коэффициент (как многомерный многочлен) равен 1. Другими словами, предположим, что р = р(Икс₁,...,Икс_п) - ненулевой многочлен от п переменные, и что существует данная мономиальный порядок на множестве всех ("монических") одночленов от этих переменных, т. е. полный порядок свободной коммутативной моноид создано Икс₁,...,Икс_п, с единицей как наименьшим элементом и с учетом умножения. В этом случае этот порядок определяет наивысший не обращающийся в нуль член в п, и п может быть назван моническим, если этот член имеет коэффициент один.

«Монические многомерные многочлены» согласно любому определению имеют общие свойства с «обычными» (одномерными) моническими многочленами. Примечательно, что произведение монических многочленов снова является моническим.

Рекомендации

• Пинтер, Чарльз К. (2010) [Несокращенное переиздание второго издания работы 1990 года, первоначально опубликованного в 1982 году издательством McGraw – Hill Publishing Company]. Книга абстрактной алгебры. Дувр. ISBN  978-0486474175.