Алгебраическое целое число - Algebraic integer

В алгебраическая теория чисел, алгебраическое целое число это комплексное число это корень некоторых монический многочлен (многочлен, ведущий коэффициент равно 1) с коэффициентами в $ℤ$ (набор целые числа ). Множество всех целых алгебраических чисел, $А$ , замкнута относительно сложения, вычитания и умножения и поэтому является коммутативной подкольцо комплексных чисел. Кольцо $А$ это целостное закрытие регулярных целых чисел $ℤ$ в комплексных числах.

В кольцо целых чисел из числовое поле $K$ , обозначаемый $О K$ , является пересечением $K$ и $А$ : его также можно охарактеризовать как максимальное порядок поля $K$ . Каждое целое алгебраическое число принадлежит кольцу целых чисел некоторого числового поля. Число $α$ является целым алгебраическим числом если и только если кольцо $ℤ [α]$ является конечно порожденный как Абелева группа, то есть как $ℤ$ -модуль.

Определения

Ниже приведены эквивалентные определения алгебраического целого числа. Позволять $K$ быть числовое поле (т.е. конечное расширение из $ℚ$ , набор рациональное число ), другими словами, $K = ℚ (θ)$ для некоторого алгебраического числа $θ \in ℂ$ посредством теорема о примитивном элементе.

$α \in K$ является целым алгебраическим числом, если существует монический многочлен $ж (Икс) \in ℤ [Икс]$ такой, что $ж (α) = 0$ .
$α \in K$ является целым алгебраическим числом, если минимальный монический многочлен от $α$ над $ℚ$ в $ℤ [Икс]$ .
$α \in K$ является целым алгебраическим числом, если $ℤ [α]$ является конечно порожденным $ℤ$ -модуль.
$α \in K$ является целым алгебраическим числом, если существует ненулевое конечно порожденное $ℤ$ -подмодуль $M \subset ℂ$ такой, что $αM \subseteq M$ .

Целые алгебраические числа являются частным случаем интегральные элементы расширения кольца. В частности, целое алгебраическое число является неотъемлемым элементом конечного расширения $K / ℚ$ .

Примеры

Единственные алгебраические целые числа, которые встречаются в множестве рациональное число целые числа. Другими словами, пересечение $ℚ$ и $А$ точно $ℤ$ . Рациональное число $а / б$ не является целым алгебраическим числом, если $б$ разделяет $а$ . Отметим, что старший коэффициент многочлена $bx - а$ это целое число $б$ . В другом частном случае квадратный корень $\sqrt п$ неотрицательного целого числа $п$ является целым алгебраическим числом, но иррационально, если $п$ это идеальный квадрат.

Если $d$ это целое число без квадратов затем расширение $K = ℚ (\sqrt d)$ это квадратичное поле рациональных чисел. Кольцо целых алгебраических чисел $О K$ содержит $\sqrt d$ так как это корень монического многочлена $Икс 2 - d$ . Более того, если $d \equiv 1 мод 4$ , то элемент $1 / 2 (1 + \sqrt d)$ также является целым алгебраическим числом. Он удовлетворяет полиному $Икс 2 - Икс + 1 / 4 (1 - d)$ где постоянный срок $1 / 4 (1 - d)$ целое число. Полное кольцо целых чисел порождается $\sqrt d$ или $1 / 2 (1 + \sqrt d)$ соответственно. Увидеть квадратичные целые числа для большего.

Кольцо целых чисел поля $F = ℚ [α]$ , $α = 3 \sqrt м$ , имеет следующие целостная основа, письмо $м = гонконгский 2$ для двух взаимно простых целых чисел без квадратов $час$ и $k$ :^[1]

{ displaystyle { begin {case} 1, alpha, { dfrac { alpha ^ {2} pm k ^ {2} alpha + k ^ {2}} {3k}} & m Equiv pm 1 { bmod {9}} 1, alpha, { dfrac { alpha ^ {2}} {k}} и { text {иначе}} end {case}}}

Если $ζ п$ примитивный $п$ th корень единства, то кольцо целых чисел круговое поле $ℚ (ζ п)$ точно $ℤ [ζ п]$ .

Если $α$ является целым алгебраическим числом, то $β = п \sqrt α$ - другое целое алгебраическое число. Полином для $β$ получается заменой $Икс п$ в полиноме для $α$ .

Не пример

Если $п (Икс)$ это примитивный многочлен который имеет целые коэффициенты, но не является моническим, и $п$ является несводимый над $ℚ$ , то ни один из корней $п$ являются целыми алгебраическими числами (но находятся алгебраические числа ). Вот примитивный используется в том смысле, что наивысший общий фактор набора коэффициентов $п$ равно 1; это слабее, чем требование, чтобы коэффициенты были попарно взаимно простыми.

Факты

Сумма, разность и произведение двух целых алгебраических чисел является целым алгебраическим числом. В общем, их частное нет. Используемый унитарный многочлен обычно более высокого степень чем те из исходных алгебраических целых чисел, и можно найти, взяв результирующие и факторинг. Например, если $Икс 2 - Икс - 1$ , $у 3 - у - 1$ и $z = ху$ , а затем исключив $Икс$ и $у$ от $z - ху$ и многочлены, которым удовлетворяет $Икс$ и $у$ использование результирующего дает $z 6 - 3 z 4 - 4 z 3 + z 2 + z - 1$ , который является неприводимым и является моническим многочленом, которому удовлетворяет произведение. (Чтобы увидеть, что $ху$ является корнем $Икс$ -результат $z - ху$ и $Икс 2 - Икс - 1$ , можно использовать тот факт, что результат содержится в идеале, порожденном двумя его входными полиномами.)
Следовательно, любое число, которое можно построить из целых чисел с корнями, сложением и умножением, является целым алгебраическим числом; но не все алгебраические целые числа так конструктивны: в наивном смысле большинство корней неприводимых квинтики не. Это Теорема Абеля – Руффини.
Каждый корень монического многочлена, коэффициенты которого являются целыми алгебраическими числами, сам является целым алгебраическим числом. Другими словами, целые алгебраические числа образуют кольцо, которое целиком закрытый в любом из его расширений.
Кольцо целых алгебраических чисел - это Безу домен, как следствие теорема о главном идеале.
Если монический многочлен, связанный с алгебраическим целым числом, имеет постоянный член 1 или -1, то обратная величина этого алгебраического целого числа также является алгебраическим целым числом и является единица измерения, элемент группа единиц кольца целых алгебраических чисел.

Смотрите также

использованная литература

^ Маркус, Дэниел А. (1977). Числовые поля (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. гл. 2, стр. 38 и пр. 41. ISBN 978-0-387-90279-1.

Штейн, В. Алгебраическая теория чисел: вычислительный подход (PDF).

[1] Маркус, Дэниел А. (1977). Числовые поля (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. гл. 2, стр. 38 и пр. 41. ISBN 978-0-387-90279-1.

[1]