Теорема о примитивных элементах - Википедия - Primitive element theorem

В теория поля, то теорема о примитивном элементе или же Теорема Артина о примитивных элементах результат, характеризующий конечная степень расширения полей генерируется одним примитивный элемент, или же простые расширения. Он говорит в том, что конечное расширение является простым тогда и только тогда, когда существует только конечное число промежуточных полей. В частности, конечные отделяемый расширения просты, в том числе поля алгебраических чисел над рациональными числами и расширениями, в которых оба поля конечны.

Терминология

Позволять ${ displaystyle E / F}$ быть расширение поля. Элемент ${ displaystyle alpha in E}$ это примитивный элемент за ${ displaystyle E / F}$ когда ${ Displaystyle Е = F ( альфа).}$

Если такой примитивный элемент существует, то ${ displaystyle E / F}$ называется простое расширение. Если расширение поля имеет конечную степень ${ displaystyle n = [E: F]}$ , то каждый элемент Икс из E можно записать в виде

{ displaystyle x = f_ {n-1} { alpha} ^ {n-1} + cdots + f_ {1} { alpha} + f_ {0},}

куда ${ displaystyle f_ {i} in F}$ для всех я, и ${ displaystyle alpha in E}$ фиксированный. То есть, если ${ displaystyle E / F}$ это простое расширение степени п, Существует ${ displaystyle alpha in E}$ так что набор

{ Displaystyle {1, альфа, ldots, { альфа} ^ {п-1} }}

это основа для E как векторное пространство над F.

Пример

Если примыкать к рациональное число ${ Displaystyle F = mathbb {Q}}$ два иррациональных числа ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ и ${ displaystyle { sqrt {3}}}$ чтобы получить поле расширения ${ displaystyle E = mathbb {Q} ({ sqrt {2}}, { sqrt {3}})}$ из степень 4, можно показать, что это расширение простое, то есть ${ Displaystyle Е = mathbb {Q} ( альфа)}$ для одного ${ displaystyle alpha in E}$ . Принимая ${ displaystyle alpha = { sqrt {2}} + { sqrt {3}}}$ , степени 1, α, α², α³ может быть расширен как линейные комбинации из 1, ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ , ${ displaystyle { sqrt {3}}}$ , ${ displaystyle { sqrt {6}}}$ с целыми коэффициентами. Это можно решить система линейных уравнений за ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ и ${ displaystyle { sqrt {3}}}$ над ${ Displaystyle mathbb {Q} ( альфа)}$ , Например ${ displaystyle { sqrt {2}} = { tfrac {1} {2}} ( alpha ^ {3} -9 alpha)}$ . Это показывает, что α действительно примитивный элемент:

${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {2}}, { sqrt {3}}) = mathbb {Q} ({ sqrt {2}} + { sqrt {3}}).}$

Другой аргумент - отметить независимость 1, ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ , ${ displaystyle { sqrt {3}}}$ , ${ displaystyle { sqrt {6}}}$ над рациональностью; это показывает, что подполе, порожденное α, не может быть подполем, порожденным ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ или же ${ displaystyle { sqrt {3}}}$ или же ${ displaystyle { sqrt {6}}}$ , исчерпывая все подполя степени 2, как указано Теория Галуа. Следовательно, ${ Displaystyle mathbb {Q} ( альфа)}$ должно быть все поле.

Классическая теорема о примитивном элементе

Позволять ${ displaystyle E / F}$ быть отделяемое расширение конечной степени. ${ Displaystyle Е = F ( альфа)}$ для некоторых ${ displaystyle alpha in E}$ ; то есть расширение простое и ${ displaystyle alpha}$ примитивный элемент.

Заявление о существовании

Интерпретация теоремы изменилась с формулировкой теории Эмиль Артин около 1930 года. Со времен Галуа роль примитивных элементов заключалась в представлении поле расщепления как генерируется одним элементом. Этот (произвольный) выбор такого элемента был обойден Артином.^[1] В то же время рассуждения о конструкции такого элемента отступили: теорема превращается в теорема существования.

Следующая теорема Артина заменяет классическую теорема о примитивном элементе.

Теорема

Позволять ${ displaystyle E / F}$ быть конечной степенью расширение поля. потом ${ Displaystyle Е = F ( альфа)}$ для какого-то элемента ${ displaystyle alpha in E}$ тогда и только тогда, когда существует только конечное число промежуточных полей K с ${ Displaystyle E supseteq K supseteq F}$ .

Следствием теоремы является теорема о примитивных элементах в более традиционном смысле (где обычно негласно предполагалась отделимость):

Следствие

Позволять ${ displaystyle E / F}$ быть конечной степенью отделяемое расширение. потом ${ Displaystyle Е = F ( альфа)}$ для некоторых ${ displaystyle alpha in E}$ .

Следствие применимо к поля алгебраических чисел, т.е. конечные расширения рациональных чисел Q, поскольку Q имеет характеристика 0 и, следовательно, любое конечное расширение над Q отделима.

Контрпримеры

Для неразделимого расширения ${ displaystyle E / F}$ из характеристика p, тем не менее существует примитивный элемент при условии, что степень [E : F] является п: действительно, не может быть нетривиальных промежуточных подполей, так как их степени были бы делителями простого п.

Когда [E : F] = п², примитивного элемента может не быть (в этом случае промежуточных полей бесконечно много). Самый простой пример: ${ Displaystyle E = mathbb {F} _ {p} (T, U)}$ , поле рациональных функций от двух неопределенных Т и U над конечное поле с п элементы и ${ Displaystyle F = mathbb {F} _ {p} (T ^ {p}, U ^ {p})}$ . Фактически, для любого α = грамм(T, U) в E, элемент α^п лежит в F, поэтому α является корнем ${ Displaystyle f (X) = X ^ {p} - alpha ^ {p} in F [X]}$ , а α не может быть примитивным элементом (степени п² над F), но вместо F(α) - нетривиальное промежуточное поле.

Конструктивные результаты

Как правило, множество всех примитивных элементов конечного сепарабельного расширения E / F является дополнением конечного набора собственных F-подпространстваE, а именно промежуточные поля. Это заявление ничего не говорит о случае конечные поля, для которой существует вычислительная теория, посвященная поиску генератора мультипликативная группа поля (а циклическая группа ), который a fortiori примитивный элемент. Где F бесконечно, а принцип голубятни Метод доказательства рассматривает линейное подпространство, порожденное двумя элементами, и доказывает, что существует только конечное число линейных комбинаций

{ Displaystyle гамма = альфа + с бета }

с c в F, которые не могут создать подполе, содержащее оба элемента:

в качестве

{ Displaystyle F ( альфа, бета) / F ( альфа + с бета)}

является сепарабельным расширением, если

{ Displaystyle F ( альфа + с бета) subsetneq F ( альфа, бета)}

существует нетривиальное вложение

{ Displaystyle sigma: F ( альфа, бета) к { overline {F}}}

чье ограничение на

{ Displaystyle F ( альфа + с бета)}

это личность, которая означает

{ Displaystyle сигма ( альфа) + с сигма ( бета) = альфа + с бета}

и

{ displaystyle sigma ( beta) neq beta}

так что

{ Displaystyle с = { гидроразрыва { sigma ( alpha) - alpha} { beta - sigma ( beta)}}}

. Это выражение для c могу взять только

{ Displaystyle [F ( альфа): F] [F ( бета): F]}

разные значения. Для всех остальных значений

{ displaystyle c in F}

тогда

{ Displaystyle F ( альфа, бета) = F ( альфа + с бета)}

.

Это почти сразу же как способ показать, как результат Артина влечет за собой классический результат и оценку количества исключительных c с точки зрения количества промежуточных полей результатов (это число может быть ограничено теорией Галуа и априори). Следовательно, в этом случае метод проб и ошибок является возможным практическим методом поиска примитивных элементов.

Смотрите также

Примитивный элемент (конечное поле)

внешняя ссылка

[1] Исраэль Кляйнер, История абстрактной алгебры (2007), стр. 64.

[1]