Теорема существования - Existence theorem

Геометрическое доказательство существования иррационального числа: если равнобедренный прямоугольный треугольник ABC имел целые длины сторон, то же самое имел и строго меньший треугольник A'B'C. Повторение этой конструкции приведет к бесконечно убывающей последовательности целочисленных длин сторон.

В математика, теорема существования это теорема который утверждает существование определенного объекта.[1][2] Это может быть заявление, которое начинается с фразы "Существует) ", или это может быть универсальное утверждение, последнее квантификатор является экзистенциальный (например, "для всех Икс, у, ... существует (а) ... "). Формально символическая логика, теорема существования - это теорема с пренекс нормальная форма с участием экзистенциальный квантор, хотя на практике такие теоремы обычно формулируются стандартным математическим языком. Например, утверждение, что синус функция непрерывный везде, или любую теорему, написанную на нотация большой O, можно рассматривать как теоремы, которые являются экзистенциальными по своей природе, поскольку количественное определение можно найти в определениях используемых понятий.

Споры, восходящие к началу двадцатого века, касаются вопроса чисто теоретических теорем существования, то есть теорем, которые зависят от неконструктивного фундаментального материала, такого как аксиома бесконечности, то аксиома выбора или закон исключенного среднего. Такие теоремы не дают никаких указаний на то, как построить (или показать) объект, существование которого утверждается. Из конструктивист точки зрения, такие подходы нежизнеспособны, поскольку они приводят к потере математики ее конкретной применимости,[3] в то время как противоположная точка зрения состоит в том, что абстрактные методы имеют далеко идущие последствия (что означает?) в том смысле, что числовой анализ не может быть.

Результаты "чистого" существования

В математике теорема существования является чисто теоретической, если приведенное для нее доказательство не указывает на конструкцию объекта, существование которого утверждается. Такое доказательство неконструктивно,[4] поскольку весь подход может не подойти для строительства.[5] С точки зрения алгоритмы, чисто теоретические теоремы существования обходят все алгоритмы нахождения того, что, как утверждается, существует. Этим следует противопоставить так называемые «конструктивные» теоремы существования,[6] которые многие математики-конструктивисты, работающие в области расширенной логики (например, интуиционистская логика ) считают, что они по своей сути сильнее, чем их неконструктивные аналоги.

Несмотря на это, чисто теоретические результаты существования, тем не менее, повсеместны в современной математике. Например, Джон Нэш оригинальное доказательство существования равновесие по Нэшу в 1951 г. была такая теорема существования. Позже в 1962 г. был найден и конструктивный подход.[7]

Конструктивистские идеи

С другой стороны, было значительное разъяснение того, что конструктивная математика есть - без появления «основной теории». Например, согласно Эрретт Бишоп определений, непрерывность функции, такой как должно быть доказано как конструктивная оценка модуль непрерывности, что означает, что экзистенциальное содержание утверждения непрерывности - это обещание, которое всегда можно сдержать. Соответственно, Бишоп отвергает стандартную идею точечной непрерывности и предлагал определять непрерывность в терминах «локальной однородной непрерывности».[8] Другое объяснение теоремы существования можно было получить из теория типов, в котором доказательство экзистенциального утверждения может исходить только от срок (который можно рассматривать как вычислительный контент).

Смотрите также

Примечания

  1. ^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона - теорема". Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-11-29.
  2. ^ "Определение теоремы существования | Dictionary.com". www.dictionary.com. Получено 2019-11-29.
  3. ^ См. Раздел о неконструктивные доказательства записи "Конструктивное доказательство ".
  4. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Теорема существования». mathworld.wolfram.com. Получено 2019-11-29.
  5. ^ Деннис Э. Хесселинг (6 декабря 2012 г.). Гномы в тумане: восприятие интуиционизма Брауэра в 1920-е годы. Birkhäuser. п. 376. ISBN  978-3-0348-7989-7.
  6. ^ Исаак Рубинштейн; Лев Рубинштейн (28 апреля 1998 г.). Уравнения с частными производными в классической математической физике. Издательство Кембриджского университета. п. 246. ISBN  978-0-521-55846-4.
  7. ^ Шефер, Уве (3 декабря 2014 г.). От леммы Спернера к дифференциальным уравнениям в банаховых пространствах: введение в теоремы о неподвижной точке и их приложения. КИТ Научное издательство. п. 31. ISBN  978-3-7315-0260-9.
  8. ^ "Конструктивная математика Бишопа в nLab". ncatlab.org. Получено 2019-11-29.