Prenex нормальная форма - Prenex normal form

А формула из исчисление предикатов в Prenex^[1] нормальная форма (PNF), если он записан как строка кванторы и связанные переменные, называется префикс, за которым следует часть без кванторов, называемая матрица.^[2]

Каждая формула в классическая логика эквивалентно формуле в предваренной нормальной форме. Например, если ${ Displaystyle фи (у)}$, ${ displaystyle psi (z)}$, и ${ Displaystyle rho (х)}$ являются бескванторными формулами с указанными свободными переменными, тогда

${ Displaystyle forall x существует y forall z ( phi (y) lor ( psi (z) rightarrow rho (x)))}$

находится в предваренной нормальной форме с матрицей ${ displaystyle phi (y) lor ( psi (z) rightarrow rho (x))}$, пока

${ Displaystyle forall Икс (( существует у фи (у)) лор (( существует г пси (г)) rightarrow ро (х)))}$

логически эквивалентен, но не в предваренной нормальной форме.

Преобразование в предварительную форму

Эта секция нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. (Август 2018 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Каждый первый заказ формула логически эквивалентный (в классической логике) к некоторой формуле в преднормальной форме.^[3] Существует несколько правил преобразования, которые можно рекурсивно применять для преобразования формулы в предварительную нормальную форму. Правила зависят от того, какие логические связки появляются в формуле.

Конъюнкция и дизъюнкция

Правила для соединение и дизъюнкция скажи это

${ displaystyle ( forall x phi) land psi}$ эквивалентно ${ displaystyle forall x ( phi land psi)}$ при (мягком) дополнительном состоянии ${ Displaystyle существует х наверх}$, или, что то же самое, ${ displaystyle lnot forall x bot}$ (это означает, что существует хотя бы один человек),

${ Displaystyle ( forall x phi) lor psi}$ эквивалентно ${ displaystyle forall x ( phi lor psi)}$;

и

${ Displaystyle ( существует х фи) земля пси}$ эквивалентно ${ Displaystyle существует х ( фи земля psi)}$,

${ Displaystyle ( существует х фи) лор psi}$ эквивалентно ${ Displaystyle существует Икс ( фи лор фунт / кв. дюйм)}$ при дополнительном условии ${ Displaystyle существует х наверх}$.

Эквивалентности действительны, когда ${ displaystyle x}$ не появляется как свободная переменная из ${ displaystyle psi}$; если ${ displaystyle x}$ действительно кажется свободным в ${ displaystyle psi}$, можно переименовать границу ${ displaystyle x}$ в ${ Displaystyle ( существует х фи)}$ и получим эквивалент ${ Displaystyle ( существует х ' фи [х / х'])}$.

Например, на языке кольца,

${ Displaystyle ( существует х (х ^ {2} = 1)) земля (0 = у)}$ эквивалентно ${ Displaystyle существует х (х ^ {2} = 1 земля 0 = у)}$,

но

${ Displaystyle ( существует х (х ^ {2} = 1)) земля (0 = х)}$ не эквивалентно ${ Displaystyle существует х (х ^ {2} = 1 земля 0 = х)}$

потому что формула слева верна в любом кольце, когда свободная переменная Икс равно 0, а формула справа не имеет свободных переменных и ложна в любом нетривиальном кольце. Так ${ Displaystyle ( существует х (х ^ {2} = 1)) земля (0 = х)}$ будет сначала переписан как ${ Displaystyle ( существует х '(х' ^ {2} = 1)) земля (0 = х)}$ а затем поместите в предварительную нормальную форму ${ Displaystyle существует х '(х' ^ {2} = 1 земля 0 = х)}$.

Отрицание

Правила отрицания говорят, что

${ Displaystyle lnot существует х фи}$ эквивалентно ${ Displaystyle forall х lnot phi}$

и

${ Displaystyle lnot forall х phi}$ эквивалентно ${ Displaystyle существует х lnot phi}$.

Последствия

Есть четыре правила для значение: два, которые удаляют кванторы из антецедента, и два, которые удаляют кванторы из следствия. Эти правила можно вывести, переписав импликацию${ displaystyle phi rightarrow psi}$ в качестве ${ Displaystyle lnot phi lor psi}$ и применение приведенных выше правил дизъюнкции. Как и в случае с правилами дизъюнкции, эти правила требуют, чтобы переменная, указанная в одной подформуле, не появлялась свободной в другой подформуле.

Правила удаления кванторов из антецедента следующие (обратите внимание на изменение кванторов):

${ Displaystyle ( forall x phi) rightarrow psi}$ эквивалентно ${ Displaystyle существует х ( фи rightarrow psi)}$ (в предположении, что ${ Displaystyle существует х наверх}$),

${ Displaystyle ( существует х фи) rightarrow psi}$ эквивалентно ${ Displaystyle forall х ( фи rightarrow psi)}$.

Правила удаления кванторов из консеквента:

${ Displaystyle phi rightarrow ( существует х psi)}$ эквивалентно ${ Displaystyle существует х ( фи rightarrow psi)}$ (в предположении, что ${ Displaystyle существует х наверх}$),

${ Displaystyle phi rightarrow ( forall x psi)}$ эквивалентно ${ Displaystyle forall х ( фи rightarrow psi)}$.

Пример

Предположим, что ${ displaystyle phi}$, ${ displaystyle psi}$, и ${ displaystyle rho}$ являются формулами без кванторов, и никакие две из этих формул не имеют общих свободных переменных. Рассмотрим формулу

${ Displaystyle ( фи лор существует х пси) rightarrow forall г ро}$.

Рекурсивно применяя правила, начиная с самых внутренних подформул, можно получить следующую последовательность логически эквивалентных формул:

${ Displaystyle ( фи лор существует х фунт / кв. дюйм) rightarrow forall г ро}$.

${ Displaystyle ( существует х ( фи лор фунт / кв. дюйм)) rightarrow forall z rho}$,

${ Displaystyle neg ( существует x ( phi lor psi)) lor forall z rho}$,

${ Displaystyle ( forall x neg ( phi lor psi)) lor forall z rho}$,

${ Displaystyle forall x ( neg ( phi lor psi) lor forall z rho)}$,

${ Displaystyle forall x (( phi lor psi) rightarrow forall z rho)}$,

${ Displaystyle forall x ( forall z (( phi lor psi) rightarrow rho))}$,

${ Displaystyle forall x forall z (( phi lor psi) rightarrow rho)}$.

Это не единственная предварительная форма, эквивалентная исходной формуле. Например, имея дело с консеквентом перед антецедентом в приведенном выше примере, предваряющая форма

${ displaystyle forall z forall x (( phi lor psi) rightarrow rho)}$

может быть получен:

${ Displaystyle forall Z (( фи лор существует х фунт / кв. дюйм) rightarrow rho)}$

${ Displaystyle forall Z (( существует х ( фи лор фунт / кв. дюйм)) rightarrow rho)}$,

${ Displaystyle forall Z ( forall x (( phi lor psi) rightarrow rho))}$,

${ Displaystyle forall z forall x (( phi lor psi) rightarrow rho)}$.

Интуиционистская логика

Правила преобразования формулы в предваренную форму интенсивно используют классическую логику. В интуиционистская логика, неверно, что каждая формула логически эквивалентна предваренной формуле. Связка отрицания - одно из препятствий, но не единственное. Оператор импликации также трактуется иначе в интуиционистской логике, чем в классической логике; в интуиционистской логике его нельзя определить с помощью дизъюнкции и отрицания.

В Толкование BHK иллюстрирует, почему некоторые формулы не имеют интуиционистски эквивалентной предваренной формы. В этой интерпретации доказательство

${ Displaystyle ( существует х фи) rightarrow существует у пси qquad (1)}$

функция, которая при конкретном Икс и доказательство ${ Displaystyle фи (х)}$, производит бетон y и доказательство ${ displaystyle psi (y)}$. В этом случае допустимо значение y быть вычисленным из заданного значения Икс. Доказательство

${ Displaystyle существует y ( существует х phi rightarrow psi), qquad (2)}$

с другой стороны, дает одно конкретное значение y и функция, которая преобразует любое доказательство ${ Displaystyle существует х фи}$ в доказательство ${ displaystyle psi (y)}$. Если каждый Икс удовлетворение ${ displaystyle phi}$ можно использовать для построения y удовлетворение ${ displaystyle psi}$ но нет такого y могут быть построены без знания такого Икс тогда формула (1) не будет эквивалентна формуле (2).

Правила преобразования формулы в предварительную форму, провал в интуиционистской логике:

(1) ${ displaystyle forall x ( phi lor psi)}$ подразумевает ${ Displaystyle ( forall x phi) lor psi}$,

(2) ${ displaystyle forall x ( phi lor psi)}$ подразумевает ${ displaystyle phi lor ( forall x psi)}$,

(3) ${ Displaystyle ( forall x phi) rightarrow psi}$ подразумевает ${ Displaystyle существует х ( фи rightarrow psi)}$,

(4) ${ Displaystyle phi rightarrow ( существует х psi)}$ подразумевает ${ Displaystyle существует х ( фи rightarrow psi)}$,

(5) ${ Displaystyle lnot forall х phi}$ подразумевает ${ Displaystyle существует х lnot phi}$,

(Икс не отображается как свободная переменная ${ displaystyle , psi}$ в (1) и (3); Икс не отображается как свободная переменная ${ displaystyle , phi}$ в (2) и (4)).

Использование предварительной формы

Немного исчисления доказательств будет иметь дело только с теорией, формулы которой записаны в предваренной нормальной форме. Концепция необходима для разработки арифметическая иерархия и аналитическая иерархия.

Гёдель доказательство его теорема полноты за логика первого порядка предполагает, что все формулы были преобразованы в предварительную нормальную форму.

Аксиомы Тарского ведь геометрия - это логическая система, предложения которой могут все быть написанным в универсально-экзистенциальная форма, частный случай пренексной нормальной формы, у которой все универсальный квантор предшествующий любому экзистенциальный квантор, так что все предложения можно переписать в виде ${ displaystyle forall u}$ ${ displaystyle forall v}$ ${ displaystyle ldots}$ ${ Displaystyle существует а}$ ${ Displaystyle существует б}$ ${ displaystyle phi}$, куда ${ displaystyle phi}$ предложение, не содержащее квантификатора. Этот факт позволил Тарский доказать, что евклидова геометрия разрешимый.

Смотрите также

• Арифметическая иерархия
• Гербирование
• Сколемизация

Примечания

Рекомендации

• Ричард Л. Эпштейн (18 декабря 2011 г.). Классическая математическая логика: семантические основы логики. Издательство Принстонского университета. С. 108–. ISBN  978-1-4008-4155-4.
• Питер Б. Эндрюс (17 апреля 2013 г.). Введение в математическую логику и теорию типов: к истине через доказательство. Springer Science & Business Media. С. 111–. ISBN  978-94-015-9934-4.
• Эллиотт Мендельсон (1 июня 1997 г.). Введение в математическую логику, четвертое издание. CRC Press. С. 109–. ISBN  978-0-412-80830-2.
• Хинман, П. (2005), Основы математической логики, А. К. Питерс, ISBN  978-1-56881-262-5